Thema: Parabeln [ein Bindeglied zwischen Geometrie und Algebra ]

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1 Thema: Parabeln [ein Bindeglied zwischen Geometrie und Algebra ]
Dr. Neidhardt Thema: Parabeln [ein Bindeglied zwischen Geometrie und Algebra ] Referent: Christian Schuster

2 Gliederung: Anwendungsgebiete und Vorkommen
von „Parabel“ – Erscheinungen in der Natur Parabeln: Definition, geometrische und physikalische Charakterisierung Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis Möglichkeiten der geometrischen Konstruktion von Parabeln und deren Interpretation Konstruktion mit Hilfe des Strahlensatzes Konstruktion durch den Höhen- Kathetensatz Konstruktion mit dem Sehnensatz

3 Anwendungsgebiete und natürliche Vorkommen von „Parabel“ – Erscheinungen
Wie oft die Parabel wird in unserem Alltag auftritt, wird uns meist nicht bewusst.

4 Zum Beispiel ist die Laufbahn beim Werfen eines Balles eine Parabel
Zum Beispiel ist die Laufbahn beim Werfen eines Balles eine Parabel. Der Ball fällt vom höchsten Punkt in einer Kurve, dem Scheitel, in derselben Form wieder zurück, wie er nach oben geworfen wurde. Beide Bögen bilden die Parabel. senkrechter Wurf (Annäherung) schiefer Wurf

5 Auch bei Springbrunnen fliegen die Wassertropfen auf Parabelbahnen

6 Beim Feuerwerk sieht man ganze Parabelfamilien…

7 Die Parabel ist eine ebene Kurve, die zu den Kegelschnitten gehört…
Jedoch schneidet die Ebene hier – im Gegensatz zur Hyperbel – nur einen der Kegel

8 Die Reflexionseigenschaft der Parabel wird in vielen optischen Geräten wie bei Antennen (Parabolspiegeln) ausgenutzt.

9 Auch bei Solarkraftwerken wie hier im Death Valley kommt die Parabelform zum Einsatz

10 Wenn ein Wasserglas rotiert, steigt das Wasser an den Rändern höher als innen, der Querschnitt der Wasserfläche bildet eine Parabel

11 Wenn ein Wasserglas rotiert, steigt das Wasser an den Rändern höher als innen, der Querschnitt der Wasserfläche bildet eine Parabel

12 Parabeln: Definition, geometrische und physikalische Charakterisierung
Geometrische Charakterisierung einer Parabel: Eine Parabel besteht definitionsgemäß aus genau allen Punkten P, deren Abstand von einem festen Punkt F (Brennpunkt) und einer festen Geraden L (Leitlinie) gleich ist. Physikalische Charakterisierung einer Parabel: Ein Lichtstrahl, der parallel zur x-Achse einfällt, wird an der Parabel so reflektiert, dass er durch den Brennpunkt geht. Thema 1. Stunde

13 Die Gleichung einer Parabelrelation:
Der Punkt F heißt Brennpunkt der Parabel Die Gerade L heißt Leitlinie der Parabel

14 Die Gleichung einer Parabelrelation:
Der Punkt F heißt Brennpunkt der Parabel Die Gerade L heißt Leitlinie der Parabel

15 Die Gleichung einer Parabelrelation:
Der Punkt F heißt Brennpunkt der Parabel Die Gerade L heißt Leitlinie der Parabel

16 Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

17 Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

18 Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

19 Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

20 Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

21 Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

22 Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

23 Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

24 Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

25 Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

26 Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

27 Möglichkeiten der geometrische Konstruktion von Parabeln
und deren Interpretation a) Parabelkonstruktion mit Hilfe des Höhen- und Kathetensatzes

28 , Höhensatz: Pythagoras: daraus hergeleitet – der Höhensatz: und –
der Kathetensatz: ,

29 eine Parabelgleichung
x y d eine Parabelgleichung

30 x y p d ( ) ist die Konstante, welche die Parabelöffnung festlegt. x und y werden jeweils durch den Punkt P1 abgetragen, welcher sich natürlich senkrecht über dem X-Achsen- abschnitt befinden muss. Daher die Hilfskonstruktion des Rechtecks SAP1C

31 Aufgabe: Zeichne mit Hilfe des Höhensatzes den Graph der quadratischen Funktion, die folgende Gleichung hat: Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ?

32 Aufgabe: Zeichne mit Hilfe des Höhensatzes den Graph der quadratischen Funktion, die folgende Gleichung hat: Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ?

33 Aufgabe: Zeichne mit Hilfe des Höhensatzes den Graph der quadratischen Funktion, die folgende Gleichung hat: y=2x2-12x+19 y=2(x2-6x)+19 y=2(x2-2*3x+32)-2*32+19 y=2(x-3)2+1 S(3,1) Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ?

34 Aufgabe: Zeichne mit Hilfe des Höhensatzes den Graph der quadratischen Funktion, die folgende Gleichung hat: Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ?

35 Aufgabe: Zeichne mit Hilfe des Höhensatzes den Graph der quadratischen Funktion, die folgende Gleichung hat: Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ? Leitlinie L

36 Aufgabe: Zeichne mit Hilfe des Höhensatzes den Graph der quadratischen Funktion, die folgende Gleichung hat: Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ? Leitlinie L

37 b) Parabelkonstruktion mit Hilfe des Sehnensatzes

38 Sehnensatz Schneiden sich zwei Sehnen im Kreis, dann ist das Produkt der beiden Abschnitte auf einer Sehne gleich dem Produkt der beiden Abschnitte auf der anderen Sehne.

39 eine Parabelgleichung
In dem Spezialfall nun mit : y x und x d eine Parabelgleichung

40 Mit Hilfe einer kleinen Hilfskonstruktion [K1(S,x1); K2(R,y)]
werden nun die jeweiligen X- bzw. Y-Achsenabschnitte der Sehensatz- konstruktion durch die Spur von P1, P2 oder P3, P4 ins Koordinatensystem übertragen.

41 Aufgabe: e Was bewirkt eine Veränderung von e?
Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ?

42 Aufgabe: e Was bewirkt eine Veränderung von e?
e entspricht dem Sehnenabschnitt p, der die Parabelöffnungskonstante darstellt. Verlängert man die Strecke e, wird die Parabelöffnung größer, da d in der Parabelformel als Kehrwert eingeht. Wie kann ich beim Sehnensatz die Lage der Leitlinie L bzw. des Brennpunktes F herausfinden ? Gleichung aus Sehnensatz: allgemeine Parabelgleichung:

43 Aufgabe: e Was bewirkt eine Veränderung von e?
e entspricht dem Sehnenabschnitt d, der die Parabelöffnungskonstante darstellt. Verlängert man die Strecke e, wird die Parabelöffnung größer, da d in der Parabelformel als Kehrwert eingeht. Wie kann ich beim Sehnensatz die Lage der Leitlinie L bzw. des Brennpunktes F herausfinden ? Gleichung aus Sehnensatz: allgemeine Parabelgleichung:

44 Aufgabe: e Was bewirkt eine Veränderung von e?
e entspricht dem Sehnenabschnitt p, der die Parabelöffnungskonstante darstellt. Verlängert man die Strecke e, wird die Parabelöffnung größer, da d in der Parabelformel als Kehrwert eingeht. Wie kann ich beim Sehnensatz die Lage der Leitlinie L bzw. des Brennpunktes F herausfinden ? Gleichung aus Sehnensatz: allgemeine Parabelgleichung:

45 b) Parabelkonstruktion mit Hilfe des Strahlensatzes

46 d

47 Der Strahlensatz: die Strahlensatzfigur gibt uns zwei Parallelen [ || ] wobei D,E so gewählt wurden, dass sie auf einem Kreis K um A liegen. dies ermöglicht uns in der Strahlensatzformel A mit zu sagen, dass und somit gilt ; nach y aufgelöst ergibt sich: - eine Parabelgleichung!!

48 Nun haben wir einen x- und einen y- Achsenabschnitt und können
ebenfalls wieder mit einer Hilfskonstruktion aus K1(0, ) um den Ursprung die X-Koordinate unserer Parabel festlegen. Mit Hilfe zweier weiterer Kreise K2(+X, ) und K3(-X, ) um jeweils diese X-Koordinaten haben wir die Y-Spurlinie und damit den Graphen unserer konstruierten Parabel. Durch bewegen des Punktes D im Programm GeoNext, werden die Parabeläste gezeichnet.

49 Aufgabe: 1. Welche Eigenschaft muss die Strahlensatzkonstruktion aufweisen, damit Parabelkonstruktion überhaupt ermöglicht wird? 2. Wie verhält sich die Parabel, wenn der Neigungswinkel, den die Parallelen in der Strahlensatzkonstruktion zur Grundlinie einnehmen verändert wird, wie wenn d verkleinert bzw. vergrößert wird?

50 Aufgabe: 1. Welche Eigenschaft muss die Strahlensatzkonstruktion aufweisen, damit Parabelkonstruktion überhaupt ermöglicht wird? E,D müssen auf einem Kreis um A liegen => Parabelgleichung 2. Wie verhält sich die Parabel, wenn der Neigungswinkel, den die Parallelen in der Strahlensatzkonstruktion zur Grundlinie einnehmen verändert wird, wie wenn d verkleinert bzw. vergrößert wird?

51 Aufgabe: 1. Welche Eigenschaft muss die Strahlensatzkonstruktion aufweisen, damit Parabelkonstruktion überhaupt ermöglicht wird? E,D müssen auf einem Kreis um A liegen => Parabelgleichung 2. Wie verhält sich die Parabel, wenn der Neigungswinkel, den die Parallelen in der Strahlensatzkonstruktion zur Grundlinie einnehmen verändert wird, wie wenn d verkleinert bzw. vergrößert wird? wenn d durch Bewegen von a geändert wird, verändert sich die Parabelöffnung

52 Aufgabe: 3. Welche Besonderheit muss in der Strahlensatzkonstruktion vorliegen, damit eine Normalparabel entsteht? 4. Wie finde ich meine Leitlinie bzw. meinen Brennpunkt?

53 Aufgabe: 3. Welche Besonderheit muss in der Strahlensatzkonstruktion vorliegen, damit eine Normalparabel entsteht? 4. Wie finde ich meine Leitlinie bzw. meinen Brennpunkt?

54 Aufgabe: 3. Welche Besonderheit muss in der Strahlensatzkonstruktion vorliegen, damit eine Normalparabel entsteht? 4. Wie finde ich meine Leitlinie bzw. meinen Brennpunkt? Parabel aus dem Strahlensatz allgemeine Para- belgleichung

55 Aufgabe: 3. Welche Besonderheit muss in der Strahlensatzkonstruktion vorliegen, damit eine Normalparabel entsteht? 4. Wie finde ich meine Leitlinie bzw. meinen Brennpunkt? Parabel aus dem Strahlensatz allgemeine Para- belgleichung und F und L liegen jeweils bei bzw. auf dem Lot auf x durch S

56 Diese Konstruktion einer Parabel durch den Strahlensatz ist nur möglich,
indem ich mir geeignete Strecken günstig wähle und gewisse Parameter (Einschränkungen) in Kauf nehme... hier: Die Punkte E,D liegen auf einem Kreis um A, wodurch sich eine Parabelgleichung aufstellen lässt.