Physik für Studierende der Fakultät III: Punktmechanik

Präsentation zum Thema: "Physik für Studierende der Fakultät III: Punktmechanik"—  Präsentation transkript:

1 Physik für Studierende der Fakultät III: Punktmechanik
Vorlesung SS 2006 Prof. Adalbert Ding

2 Physikalische Grundgrößen bestehend aus Zahlenwert und Einheit
Größe Einheit Abk. Ort Meter [m] Zeit Sekunde [s] Ladung Coulomb [C] Masse Kilogramm [kg] (Temperatur Kelvin [K]) (Stoffmenge Mol [1] )

3 Abgeleitete Größen (differentiell)
Dies sind Vektorgrößen, die orts- und zeitabhängig sein können

4 Vektoren (1) Vektoren beschreiben gerichtete Größen. Sie können durch Länge (Größe) und Richtung oder durch Komponenten beschrieben werden Dreidimensionaler (3D) Vektor (Normalfall) 3 Komponten (z.B. x, y, z) oder 1 Länge, 2 Winkel Zweidimensionaler (2D) Vektor (ebenes Problem) 2 Komponten (z.B.x,y) oder 1 Länge [r], 1 Winkel[φ] Mehrdimensionaler Vektor n Komponten (z.B.x1,..xi,..xn)

5 Vektoren (2) Haben 2 Multiplikationsarten:
Inneres Produkt: Ergebnis skalar Vektorprodukt: Ergebnis vektoriell Keine Division! Sonderfall: komplexe Zahlen definiert durch 2 Komponenten, bzw. Länge und Winkel Produkt: Ergebnis komplex (nicht skalar) Division: Ergebnis komplex (nicht skalar)

6 Vektorfelder Die ortsabhängigen Vektoren werden in
Vektorfeldern zusammengefasst: Beispiele: Geschwindigkeitsfelder (z.B. Wetter, Meeresströmung) Wärmeströmung Elektrische und magnetische Felder

7 Beispiele für Vektorfelder: Meeresströmung im Schwarzen Meer

8 Beispiele für Vektor-felder: Ostsee

9 Erhaltungssätze (nichtrelativistisch) Ladung Masse Energie Impuls
Drehimpuls

10 Der Impuls Die Größe der Bewegung ist durch die Geschwindigkeit v und die Masse m (Menge der Materie) bestimmt: p = m·v Sie wird Impuls genannt. Der Impuls ist eine Vektorgröße, ist also gerichtet. Der Impuls kann nur durch das Einwirken einer Kraft geändert werden (s. 1. bzw. 2. Newtonsches Axiom).

11 Einzel- und Gesamtimpuls
V2 V1 p1 p2 P = p1 + p2 = m1V1+ m2V2 V: Geschwindigkeit im Laborsystem

12 Erstes Newtonsches Axiom
Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte Fi gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern, d.h. bei abwesenden Kräften bleibt der Impuls konstant: p = const. wenn Fi = 0

13 Zweites Newtonsches Axiom
Die Änderung des Impulses ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und wirkt in die Richtung der einwirkenden Kraft: F = dp/dt =m·dv/dt + v·dm/dt Sonderfall m = const.: F = m·dv/dt = m·a NB: Das 1. Newtonsche Axiom ist ein Sonderfall des 2. Newtonsche Axioms für F=0

14 Drittes Newtonsches Axiom
Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich oder Die Wirkung zweier Körper aufeinander ist stets gleich und von entgegengesetzter Richtung

15 Lineare Superposition von Kräften
Kräfte werden vektoriell überlagert Die meisten physikalischen Größen können linear (skalar oder vektoriell) überlagert werden Da die Vektoren ortsabhängig sind entstehen ortsabhängige Vektorfelder

16 Überlagerung von Kräften
An der Masse greifen 6 Kräfte an (Pfeile zeigen die Richtung an). Wie groß ist die resultierende Kraft? 5N Wie groß ist die resultierende Kraft? Geben Sie diese graphisch und numerisch an! Welche Kraft muss addiert werden, damit die Masse in Ruhe (d.h. kraftfrei) bleibt. 6N 4N 60° 60° 60° 60° 60° 2N 4N 3N

17 Überlagerung von Kräften (2)
An der Masse greifen 5 Kräfte an (Pfeile zeigen die Richtung an). Wie groß ist die resultierende Kraft? 11N Wie groß ist die resultierende Kraft? Geben Sie diese graphisch und numerisch an! Welche Kraft muss addiert werden, damit die Masse in Ruhe (d.h. kraftfrei) bleibt. 4N 45° 90° 6N 45° 45° 4N 3N

18 Grundlegende Kräfte Gravitationskraft Elektrostatische Kraft
Magnetische (Lorenz-)Kraft 2 Kernkräfte

19 Gravitationsgesetz r12: Abstand der Massenmittelpunkte,
r120 gibt die Richtung an (Länge = 1) G: Gravitationskonstante G = 6,67·10-11 Nm2kg-2 Für einen kleinen Körper auf der Erdoberfläche ist r12 = rE Erdradius, m2 = mE Erdmasse, m1 Probemasse: F = m(1)·g; g: Erdbeschleunigung=9,81 m·s-2

20 Große Physiker und Astronomen vor 1700 °
Thales v. Milet ( v.u.Z.) Pythagoras ( v.u.Z) Demokrit (ca. 420 v.u.Z.) Archimedes ( v.u.Z.) Erathosthenes ( v.u.Z.) Hipparch ( v.u.Z.) Ibn Junus (ca. 1000) Leonardo da Vinci (1452 – 1519) Gallileo Gallilei (1564 – 1642) Nikolaus Kopernikus (1473 – 1543) Johannes Kepler (1571 – 1630) Rene Descartes (1596 – 1650) Pierre Fermat (1601 – 1665) Otto v. Guericke (1602 – 1686) Christian Huygens (1629 – 1695) Isaac Newton (1643 – 1727) E. Torricelli (1608 – 1647) Blaise Pascal (1623 – 1662) Robert Boyle (1627 – 1691) E. Maylotte (1620 – 1684)

21 Experimentelle Bestimmung der Gravitationskonstante G °
G: Gravitationskonstante G = 6,67·10-11 Nm2kg-2

22 Kräfte (abgeleitete) Reibungskräfte Fliehkräfte Corioliskraft °
Atomare und molekulare Kräfte ° z.B. zwischen Teilchen im Atom, zwischen Atomen, aber auch in Flüssigkeiten und Festkörpern

23 Spezifische Größen: Druck p
Druck: Kraft pro Fläche p = Fn/A

24 Kinetische Energie ist mechanische Bewegungsenergie Ekin =m/2 v2
Energiesatz gilt

25 Erhaltungssätze (nichtrelativistisch) Ladung Masse Energie Impuls
Drehimpuls

26 Energie, Arbeit, Leistung
Mechanische (kinetische) Energie: m/2·v2 Mechanische Arbeit W = F·s   F·ds Leistung N= W/t Wenn die Arbeit, einen Gegenstand von Punkt nach Punkt B zu bringen, unabhängig ist vom Weg, kann die Kraft F als 3D-Ableitung (Gradient, Steigung) eines Potentials V geschrieben werden: F = -grad V (-dV/dx, -dV/dy, -dV/dz) Solche Kräfte werden konservativ genannt Die Gravitationskraft, die Coulombkraft sind konser-vative Kräfte, die Reibungskräfte, die Corioliskraft sind nicht konservativ.

27 Erhaltung der mechanischen Energie
Egesamt = Epot + Ekin + Erot + Etherm + Ephoton + Eelstat + Emagn + ( Egrav ) Bei Abwesenheit anderer Energieformen (Thermische Energie, Photonen, Feldenergien) gilt

28 Erhaltung der mechanischen Energie
Beginn: Ekin=0, Erot =0 Egesamt = Epot (1) Ende: Egesamt = Epot(2) + Ekin + Erot V12 = Epot(2) - Epot (1) = Ekin + Erot

29 Freier Fall Die Energie eines im Erdfeld fallenden Körpers ist
F· h = m·g·h Nach Durchfallen der Höhe h ist die kinetische Energie

30 Die Vakuumkanone(2) Lösung: l Arbeit = kinetische Energie = F·l
Ein Tennisball mit Leitwerk wird in ein evakuiertes Rohr (blau) hineingesaugt und durchläuft dort die Strecke l=1m. Der Außendruck beträgt 1000 hPa. Wie groß ist die kinetische Energie Ekin und die Geschwindigkeit v nach Durchlaufen dieser Strecke? Lösung: l Arbeit = kinetische Energie = F·l Beispiel Tennisball: 68g Durchmesser: 6,6 cm m=0,08kg (inklusive Leitwerk); A =34,2 cm2 =34,2·10-3m2 p 105 Pa (1000 hPa) Ekin = 34,2 ·10-4m2·105 ·Nm-2 · 1m = 342 J Ekin = m/2·v2  v = (2E/m)0,5 =85530,5  92,5 m ·s-1 {332 km/h} F=A·p

31 Schwerpunkt Der Schwerpunkt eines Körpers ist ein ideeller Punkt, in dem man sich die gesamte Masse des Körpers oder der Körper (z.B. Punktmassen) vereinigt denken kann. Im Schwerefeld kann der Körper durch eine Gegen-kraft, die auf den Schwerpunkt wirkt und gleich aber entgegengesetzt der Kraft ist, die auf die Gesamt-masse wirkt, im Gleichgewicht gehalten werden Der Schwerpunkt kann auch außerhalb des oder der Körper liegen

32 Schwerpunktgeschwindigkeit
P = p1 + p2 = m1V1+ m2V2 Vi: Geschwindigkeit im Laborsystem vi: Geschwindigkeit im Schwerpunkt- system vs: Geschwindigkeit des Schwerpunkts P = M·vs = (m1+ m2)Vs Schwer- punkt r2 r1 rs m1 m2 V2 V1 v2 v1 y z R1 R2 p1 p2 vs x

33 Schwerpunkt von 2 Punktmassen
rs Ri: Koordinaten im Laborsystem ri: Koordinaten im Schwerpunkt- system rs: Koordinate des Schwerpunkts mi: Punktmassen r1 z y x

34 Schwerpunkt von mehreren Punktmassen
rs z y x

35 Einfaches Tragwerk Regal (2D) Fdübel = Fhor Zug Dübel Fhor y=1m Fdiag
Druck x=2m Last FL Wand Beispiel: gegeben m=10 kg, y=1m, x=2m gesucht: FL, Fhor, Fdiag (Druck oder Zugkräfte?) Lösung: FL=100N, Fhor=(x/y)·FL=200N; Fdiag=(FL2+Fhor2)0,5 =224N

36 Unsymmetrische Schaukel (2D)
Einfaches Tragwerk (2) Unsymmetrische Schaukel (2D) Flx Frx Fry Fly Flx + Frx = 0 Newton I Fly + Fry + FG = 0 Fly FG Gegeben: m, h, xl, xr Gesucht: FG, Fl, Fr (in Komponenten) und Vektordarstellung h Last FG = m·g xl xr Fundament

37 Drehgrößen Neue Größen: Winkelgeschwindigkeit  = dφ/dt
Winkelbeschleunigung  = d/dt Drehimpuls : l = r x p Drehmoment : M = r x F Rotationsenergie : Erot = p2/2m = I/2 · 2 Drehimpuls- und Drehmomentvektoren zeigen in Richtung Drehachse !

38 Erhaltungssätze Ladung Masse Energie Impuls Drehimpuls
(im geschlossenen System, nichtrelativistisch) Ladung Masse Energie Impuls Drehimpuls

39 Drehgrößen vs. Lineare Größen
Drehimpuls Drehmoment Rotationsenergie Lineare Größen Impuls Kraft Kinetische Energie

40 Gegenüberstellung von linearen Größen und Drehgrößen (1)
Strecke s  Drehwinkel  Geschwindigkeit v  Winkelgeschwindigkeit  Beschleunigung a  Winkelbeschleunigung  Masse m  Trägheitsmoment J Kraft F  Drehmoment M Impuls p  Drehimpuls l Man beachte die unterschiedlichen Dimensionen auf der linken und der rechten Seite

41 Gegenüberstellung von linearen Größen und Drehgrößen°

42 Zentrifugal- beschleunigung
|v1| = |v2| = v v1 v·sin() v·   v0 v·cos()  v·1 = v t

43 Zentrifugalkraft r v1   v0 t

44 Karussel r θ Beispiel: m=50 kg, r = 10 m, =2πf = 1 s-1 (1 Umdrehung in ca.6 s) gesucht: Fg , Fzent , Fres , θ Fres  700 N ; θ = 45° (θ unabhängig von der Masse)

45 Corioliskraft ° Verschiedene Koordinatensysteme, die sich gegenseitig linear bewegen, haben dieselben Naturgesetze (Inertialsysteme). Rotieren sie gegeneinander, so treten zusätzliche (Pseudo-)Kräfte auf: Die Zentrifugalbeschleunigung (s.o) Corioliskräfte

46 Corioliskraft (1) ° Das Foucaultsche Pendel: Ein auf der Erde in x-y-Richtung beweg-liches Pendel erfährt eine Coriolis-Beschleunigung , die senkrecht zur Pendelbewegung wirkt. Dadurch wird die Ebene, in der das Pendel schwingt, gedreht (an den Polen: 360°/d).

47 Corioliskraft (2) ° Wettersystem: rechts: Nordhalbkugel
unten: Südhalbkugel

48 Corioliskraft (3): Tornado °

49 Anwendung Newtonsche Axiome: Statik
Keine beschleunigte Bewegung, wenn die Summe aller an einem Punkt angreifenden Kräfte gleich Null wird: Keine beschleunigte Drehung, wenn die Summe aller Momente verschwindet:

50 Einfaches Tragwerk (alternative Berechnungsmethode)
Fdübel Anwendung von Momenten: ML+ MD= 0 y=1m Regal (2D) Dübel Zug MD=y·Fdübel ML=x·FL Druck Drehpunkt x=2m FL Last Beispiel: gegeben m=10 kg, y=1m, x=2m gesucht: FL, ML,, MD, Fdübel (Druck oder Zugkraft?) Beispiel: m=10 kgFL=100NML=200Nm Fdübel= MD/y = -ML/y = -200N Wand

51 Belasteter Balken (2D) FLager x y m1 FL1 FL2 FLS m2 m3 w s1 sS s2 s3
Schwerpunkt des Balkens w s1 sS s2 s3 Beispiel: gegeben x=2m, y=3m, w=10m, m1=100kg, m2=200kg, m3=0 (gewichtsloser Balken) oder m3= 50kg (Gewicht des Balkens) gesucht: FL1, FL2, FLS, FLager (linkes und rechtes Lager; Kraftrichtung?) und die entsprechenden Drehmomente Anleitung: der Drehpunkt wird in das linke oder das rechte Lager gelegt!

52 Belasteter Balken (Fortsetzung)
Aufgabe: gegeben x=2m, y=3m, w=10m, m1=100kg, m2=200kg, m3=0 (gewichtsloser Balken) oder 50kg (Gewicht des Balkens) gesucht: FL1, FL2, FL3, FLager (linkes und rechtes Lager; Kraftrichtung?) und die entsprechenden Drehmomente Anleitung: der Drehpunkt wird in das linke oder rechte Lager gelegt! Lösung: Gewichtsloser Balken: FL1=1000N, FL2=2000N, FLS=0, s1=2m, s2=7m, sS=5m, s3=10m, M1=200Nm, M2=1400Nm, M3=10*Flager >M1+M2+M3= > M3=-16000Nm, FLager =-1600N Balken mit Gewicht: FL1=1000N, FL2=2000N, FLS=500N, s1=2m, s2=7m, sS=5m, s3=10m, M1=2000Nm, M2=14000Nm, M1S=250Nm, M3=100* Flager > M1+M2 +MS +M3 = > M3=-16250Nm, FLager =-1625N

53 Komplexes Tragwerk ° Fachwerkbrücke
Modell einer Fachwerkbrücke mit 2 Lagern und 5 Knoten belastet durch 2 x 50 Krafteinheiten (Pfeile nach unten). Berechnet werden die Druckspannungen (blau) und die Zugspannungen (rot) sowie die auf die Lager wirkende Kraft (Pfeil nach oben). In allen Knoten muss die Summe der Kräfte gleich Null sein. Zusätzlich muss die Summe der externen Kräfte (Pfeile) verschwinden.

54 Erhaltungssätze (nichtrelativistisch) Ladung Masse Energie Impuls
Drehimpuls

55 Energiearten Kinetische Energie Potentielle Energie Thermische Energie
Elektrostatische Energie Magnetostatische Energie Elektromagnetische Energie (z.B. Licht) Kernenergie

56 Beispiel Energiespeicher
Mechanischer Energieinhalt eines Wasserbeckens: Epot=Fs·h=m ·g ·h m: Masse, h:Höhe, g:Erdbeschleunigung Beispiel: Becken (50m·20m·2m=2000t), Höhe 20m 2·106kg ·10ms-2 ·10m=2·108 kgm2s-2 (Nm=J) 55kWh

57 Keplersche Gesetze

58 Keplersche Gesetze (1) Die Planeten laufen auf Elipsenbahnen, in deren (einem) Brennpunkt die Sonne steht. Das Produkt aus Bahnradius und Geschwin-digkeit ist konstant (Erhaltung des Dreh-impulses) Das Quadrat der Umlaufzeit ist proportional zur 3. Potenz des Bahnradius

59 Keplersche Gesetze (1a)°
Wie ist die Umlaufzeit definiert? Ein (siderischer) Umlauf eines Him-melskörpers entspricht einem Bahn-winkel von 360° (in Richtung auf weit entfernte Sterne und nicht auf die Sonne). Beispiel: Mond (Zentralgestirn Sonne). Die scheinbare Umlaufzeit (gleiche Richtung (Sternbild) am nächtlichen Himmel) ist mit 27,32 d 2,2 d kürzer als die Zeit (29,5 d) zwischen Neumond und Neumond (gleiche Richtung zur Sonne)

60 Keplersche Gesetze (2)

61 Beispiele zu den Keplerschen Gesetzen
Die Keplerschen Gesetze gelten nicht nur für die Bewegung der Planeten um die Sonne, sondern auch für die Bewegung der Monde und Satelliten um die Planeten Beipiel Erde: Mond: Bahnradius: rMond  3,84·105 km Umlaufzeit: TMond  27,32 d Frage: Wie gross ist der Bahnradius, wenn die Umlaufzeit TSat = 1d beträgt (geostationäre Satelliten)?

62 Beispiele zu den Keplerschen Gesetzen (2) ° (genauere Berechnung: siderale Umlaufzeiten und Berücksichtigung des Schwerpunkts zwischen Erde und Mond) Beipiel geostationärer Satellit : Mond: Bahnradius: rM-E  3,84402·105 km siderale Umlaufzeit: TMond  27,32 d Abstand vom Schwerpunkt: Frage: Wie gross ist der Bahnradius, wenn die siderale Umlaufzeit beträgt? Die Bahnradien werden vom Mittelpunkt der Massen gemessen!

63 Bahn- und Eigendrehimpulse der Himmelskörper °
Die Bahn- ( ) und Eigendrehimpulsvektoren ( ) von Sonne, Planeten, Monden und Planeten- bzw. Mondbahnen, zeigen ebenso wie der Drehimpuls der Sonnenbahn um die Zentralgalaxie in etwa dieselbe Richtung:

64 Schiefe Ebene ohne Reibung
Gegeben: Masse des Körpers m=1,3 kg Neigungswinkel α = 30° Länge der schiefen Ebene l=5 m Wie groß ist die Gewichtskraft FG, die Normalkraft FN und die Hangabtriebkraft FHA? Wie groß ist die Geschwindigkeit v und die Energie Ekin des Körpers am Ende der schiefen Ebene? Wie groß ist h? m FHA Was bewirkt FHA? Welche Rolle spielt FN? α FN l α FG h α

65 Reibung Reibungskraft FR
Die Reibungskraft eines festen Körpers auf einer festen Unterlage hängt nur von der senkrecht auf die Unterlage wirkenden Kraft, der sog. Normal-kraft FN ab, nicht jedoch von der Kontaktfläche. Der Proportionalitätsfaktor wird mit μ bezeichnet. Die Richtung der Reibungskraft ist immer entgegengesetzt der Bewegungsrichtung. Im Gegensatz dazu hängen die Reibungskräfte von festen Körpern, die sich in einer Flüssigkeit bzw. einem Gas bewegen von der Geschwindig-keit und der Form des Körpers ab.

66 Reibung Reibungskraft FR
Fester Körper auf Unterlage: FR=μ · FN Bewegung in einer viskosen Flüssigkeit: FR=cv·v = 6πηrv für eine Kugel v Geschwindigkeit η dynamische Viskosität, r Kugelradius Schnelle Bewegung in einem Gas. FR=cw·ρ/2 · v2 cw Widerstandsbeiwert (formabhängig), ρ Dichte

67 Reibungskraft FR Fester Körper auf Unterlage: FR=μ · FN FR
FLast FHA α Schiefe Ebene FR ~FHA ~FLast =FN

68 Reibungskraft FR Fester Körper auf Unterlage: FR=μ · FN FR FR FHA
FLast FHA α FR FLast FHA α FR Schiefe Ebene FR ~FHA ~FLast =FN

69 Reibung fester Körper Reibungskraft FR, Normalkraft: FN,
Fester Körper auf Unterlage: FR=μ · FN μ: Reibungskoeffizient Die Reibung ist vor Beginn der Bewegung am größten (Haftreibung; μH), Gleitet der Körper auf der Unterlage so verringert sich der Reibungskoeffizient (Gleitreibung; μG) Rollt der Körper so ist die Reibung am geringsten (Rollreibung; μR)

70 Reibung fester Körper ° Reibungskraft FR, Normalkraft: FN,
Reibungskoeffzient Haftreibung µ0 Gleitreibung µ Autoreifen auf Asphalt 0,95 0,8 Holz auf Holz 0,5 0,25 Stein auf Stein 0,6 0,5 Stahl auf Eis 0, ,01 Stahl auf Stahl 0,15 0,1 Stahl auf Teflon 0,04 0,04 Leder auf Metal 0,4 0,3 Ski auf Schnee 0,04...0,2 0,04...0,2

71 Reibung fester Körper: Beispiel Stein auf Stein,
Übungsaufgabe: gegeben m1,m2, μ, μ =0,4 (Stein auf Stein) gesucht:FG, FS, FN, FR, a(m1) Reibungskraft FR=μ ·FN, Normalkraft: FN=g ·m Im Gleichgewicht ist 2FS=FG und FG=10·100 =1000 N FS=500 N FN= 10·60=600 N FR=0,4 ·300 = 240 N Resultierende Kraft: Fres= FS- FR =500 – 240 =260 N Die Beschleunigung der Masse m1 ist m1 ·a(m1)=260N a(m1)=260N/60kg=4,33m·s-2 FS FN FS Rollen, Ohne Reibung FR m1=60kg FS FS FG m2 = 100kg