Georg Lilitakis Katja Schmidt

Präsentation zum Thema: "Georg Lilitakis Katja Schmidt"—  Präsentation transkript:

1 3.2.06 Georg Lilitakis Katja Schmidt
Modellbilden 3.2.06 Georg Lilitakis Katja Schmidt

2 Gliederung Definition Modellbilden Sachrechnen
Deskriptive und normative Modelle Modellkreislauf Ziele Kalender Sonne, Erde, Mond Mathematische Teil (Modellbilden Beispiel)

3 Definition Modellbilden
Reale Situation mit Hilfe mathematischer Modelle beschreiben und damit zur Problemlösung zu gelangen „Etwas Bekanntes benutzen um etwas Unbekanntes zu beschreiben“ (Wollring)

4 Deskriptive und normative Modelle
Deskriptive Modelle Normative Modelle - Gegenstandsbereiche (Realwelt) in best. Zügen und auf verschiedene Weisen nachahmen - Nachahmung kann physisch, bildlich oder sprachlich-symbolisch sein - gewonnene Daten und Schlussfolgerungen sollten auf den Realbereich zurückgespiegelt werden können und sich dort als zutreffend erweisen - daher sollen sie zu Einsichten führen, die man ohne Modellbildung nie hätte gewinnen können (explodierende Funktion von Modellen) - Paradebsp.: Globus als Modell der Erde - dienen als Muster, Vorbild, als Norm für die Realisierung von Gegenständen oder Handlungen - Beurteilung: sie sollen praktikabel sein und sich möglichst freiwilliger Akzeptanz erfreuen - Paradebsp.: Schnittmuster (Schreinerei), Baupläne (Architektur)

5 Unterschied: Deskriptive Modelle beschreiben die Wirklichkeit und normative Modelle nehmen Einfluss auf die Wirklichkeit.

6 Wichtig: Dabei müssen zwischen Modell und Wirklichkeit möglichst weitgehend Analogien bestehen. Die erarbeiteten Konsequenzen müssen schließlich mit der Realität verglichen werden. Diese Überprüfung kann zu einer Modifikation oder auch zur Notwendigkeit eines neuen Ansatzes führen. Die Interpretation der Problemlösung im Modell führt zu Aussagen über die Lösung des realen Problems.

7 Wege Um die Lösung zu finden geht man einen ganz bestimmten Weg, den man MODELLIEREN nennt. Den gegenteiligen Prozess nennt man VERANSCHAULICHEN

8 Modellkreislauf

9 Beachten Beim Modellierungsprozess werden neben mathematischen Kenntnissen und Fertigkeiten auch interpretierende und wertende Fähigkeiten im Zusammenspiel von Mathematik und Wirklichkeit verlangt. Es geht also nicht ausschließlich um das Bearbeiten von innermathematischen Aufgaben, sondern um die Auseinandersetzung mit Problemen der Lebenswelt, die sich mit Hilfe von Mathematik behandeln lassen.

10 Alltäglich Modellbildungsprozesse sind im Alltag allgegenwärtig.
Grundlegendes Beispiel ist der Abstraktionsprozess vom gegenständlichen Zählen zum symbolischen Zählen. 2 Stühle + 3 Stühle = 5 Stühle (gegenständlich) 2 + 3 = 5 (symbolisch)

11 Ziele von Modellbildung:
Erschließung der konkreten uns umgebenden Welt Erschließung der Mathematik

12 Kurze Pause

13 Modellbildungskreislauf am Beispiel des Kalenders

14 Kalender werden von drei Naturereignissen bestimmt:
Erdumdrehung (die Erde dreht sich um sich selbst) Mondumlauf (Umlauf des Mondes um die Erde) Erdumlauf (Umlauf der Erde um die Sonne)

15 Sonne, Erde und Mond Die Erde
Mittlerer Abstand zur Sonne km (=1 AE) Umlaufzeit um die Sonne: , Tage Rotationsdauer um die eigene Achse 1,0 Tag Der Mond Mittlerer Abstand zur Erde km  Umlaufzeit um die Erde siderisch ,32166 Tage synodisch ,53059 Tage Rotationsdauer 27,32166 Tage Nach einem siderischen Monat (27,32 d) nimmt der Mond wieder die gleiche Stellung zu den Fixsternen ein (von der Erde aus beobachtet). Nach einem synodischen Monat (29,53 d; Periode der Mondphasen) erreicht der Mond wieder die gleiche Stellung zur Sonne (von der Erde aus beobachtet), d.h. z.B. von Vollmond zu Vollmond.

16 Welche Bewegungen sind für die Zeitmessung relevant?
Drehung der Erde um sich selbst

17 Erdumlaufbahn Sonnenumlauf: 365, Tage (tropisches Jahr)

18 Was wollen wir überhaupt ausrechnen?
Unterschied zwischen dem tropischen Jahr zu dem Kalenderjahr Rest von 0, Tagen Als Bruch Zahl der Tage, die wir in Jahren mehr brauchen, um den Überschuss zu erhalten.

19 Reale Situation 1 Jahr = 365,242196759 Tage
Problem: wahrer Sonnentag nicht immer gleich lang (Realität) Längster Tag: 23.Dezember Kürzester Tag: 16.September Unterschied: 51 Sekunden

20 Mathematisches Modell
Wir rechnen mit einem durchschnittlichen Sonnentag Annahme: alle Tage sind gleich lang Mathematisch suchen wir eine möglichst gute Näherung an den Rest

21 Mathematische Lösung In Jahren haben wir Schaltjahre (mit 366 Tagen) und normale Jahre (mit 365 Tagen)

22 Abgleich mit dem realen Modell
Problem: Verteilungsregel ist schwierig Erdumlaufzeit (Jahr) schwankt innerhalb erheblich Modell passt nicht!!!

23 Mathematisch neuer Ansatz
Ziel: Suche nach einer Näherung an 0, Dieser Bruch sollte: Möglichst genau sein Und einen möglichst kleinen Nenner haben

24 Mathematische Lösung Wir suchen Näherungsbrüche an 0,242196759
Diese erhalten wir durch: Euklidischen Algorithmus Kettenbrüche Und aus den Kettenbrüchen die Näherungsbrüche

25 Euklidischer Algorithmus
= 0 ∙ = 4 ∙ = 7 ∙ = 1 ∙ = 3 ∙ = 6 ∙ = 2 ∙ = 1 ∙ = 132 ∙ = 3 ∙ 898 = 3 ∙ 277 = 4 ∙ 67 = 7 ∙ 9 = 2 ∙ 4 = 4 ∙

26 Kettenbrüche Zur Erinnerung: Kettenbrüche entwickeln sich wie folgt:

27 Kettenbruch Ein Kettenbruch funktioniert: weil man durch einen Bruch dividiert, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert. Kettenbrüche liefern sehr schnell und sehr genaue Näherungen an einen Dezimalbruch. Der folgende Kettenbruch entspricht Kurz: (0, 4, 7, 1, 3, 6, 2, 1, 132, 3, 3, 4, 7, 2, 4)

28 Näherungsbrüche? Die Näherungsbrüche lauten:

29 Überlegung Näherungsbrüche ergeben so keine „schöne“ Verteilung der Schaltjahre

30 Beispiel Verteilung von 194 Schaltjahre auf 801 Jahre
800 Jahre unser Kalender 802 würde eine neue Periode beginnen Periode würde mit Jahr 1 beginnen Dann wäre 805 das erste Schaltjahr Kritik?

31 Keine Schaltjahre mehr im gewohnten Rhythmus
(Teilbarkeit durch 4) Mathematische Idee: Wir suchen Brüche, die dem Überschuss 0, möglichst nah kommen. Dazu multipliziert man den Nenner mit dem Überschuss und bestimmt die dem Produkt am nächsten liegende ganze Zahl.

32 Schalttage pro Periode Abweichung in Tagen pro 1000 Jahre
Rang Periode in Jahren Produkt von Jahresüberschuss und Periodenlänge Schalttage pro Periode Abweichung in Tagen pro 1000 Jahre 1 Tag Abweichung nach … Jahren 1 801 193, 194 0, 2 929 225, 225 0, … 25 900 217, 218 0, 39272 26 450 108, 109 197 1000 242, 242 0,196759 5082 198 500 121, 121 243 33 7, 8 0, 4396 307 800 193, 0,303241 3298 308 400 96, 97 705 29 7, 7 0, 1223 976 4 0, 7,803241 128 998 3 0, 91, 11 999 0, 242,196759 0,

33 Seminaraufgaben Überlegt Euch eine Verteilung für
900 Jahre mit 218 Schaltjahren 500 Jahre mit 121 Schaltjahren 33 Jahre mit 8 Schaltjahren

34 Vielen Dank für Eure Zeit