Planarisierung von Cluster Graphen

Präsentation zum Thema: "Planarisierung von Cluster Graphen"—  Präsentation transkript:

1 Planarisierung von Cluster Graphen
Bihui Dai PG478

2 Übersicht Struktur eines Clustergraphs Motivation
Zeichnung eines Clustergraphs Planarisierungsalgorithmus PG478

3 Struktur eines Clustergraphs
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4 ein zugrundliegende Graph Ein ClusterGraph C(G, T) ein Inklusionsbaum
Sub-Cluster V(E) Sub-Cluster V(E) Root Root E F 13 A B 2 4 F E 1 3 5 A C B D C 6 7 D 10 8 9 11 12 1 2 3 6 7 8 9 4 5 13 10 11 12 ein zugrundliegende Graph Ein ClusterGraph C(G, T) ein Inklusionsbaum Der von V(E ) induzierte Teilgraph G(E) PG478

5 Motivation Viele Anwendungen erfordern das Zeichnen von Clustergraphen. Zum Beispiel: Netzwerke : lokale Netzwerke und Router in autonomen Systemen, autonome Systeme als Cluster Informationssysteme: Entity-Relationship Schema, anhand ähnlicher Eigenschaften in Cluster verpacken PG478

6 Zeichnung eines Clustergraphs
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7 Zeichnung Der Clustergraph C = ( G,T ) wird gezeichnet
 Punkte als Knoten  Kurven als Kanten  Regionen als Cluster PG478

8 c-planarer Clustergraph
Hat es in der Zeichnung keine diese Situationen, dann ist der Clustergraph c-planar 1. Kantekreuzung 2. Die Kanten überqueren die Regionsgrenze mehr als einmal PG478

9 Zusammenhängender Clustergraph
Der Zusammenhang spielt auch eine bedeutende Rolle in unserem Planarisierungsalgorithmus: In dem Planarisierungsalgorithmus ist gegeben für nicht c-planarer zusammenhängender Clustergraph. Ein clustergraph ist cluster-zusammenhängend , wenn für jeden Knoten  von T, G() zusammenhängend ist. Root E F A B 2 4 1 3 5 C 6 7 D 10 8 9 11 12 Zusammenhängender Clustergraph Nicht zusammenhängender Clustergraph PG478

10 Planarisierung Sei ein nicht planarer Graph G = (V, E) gegeben, dann ist eine Planarisierung von G ein eingebetteter planarer Graph G = (V, E), mit:  V  = VD; D sind unechte Knoten, jeder repräsentiert eine Kreuzung zwischen zwei Kanten;  Ein Kanten-Pfad von G ist ein Pfad mit Knoten u,d1,…,dk,v; (u ,v) ist eine Kante von E und di sind unechte Knoten. PG478

11  G ist eine Planarisierung von G;
Sei ein nicht c-planarer Clustergraph C =(G, T) gegeben, dann ist eine Planarisierung von C ein c-planarer Clustergraph C =(G, T), mit:  G ist eine Planarisierung von G;  T ist ein Baum abgeleitet aus T, wobei ein Blatt für jeden unechten Knoten von G hinzugefügt wird. PG478

12 Planarisierungsalgorithmus
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13 Ablauf: Planarisierungsalgorithmus hat zwei Schritte
Problem: Gegebenein zusammenhängender nicht c-planar Clustergraph, Wie realisiert man diese Planarisierung? Lösung: Der Planarisierungsalgorithmus wird eingeführt. Ablauf: Planarisierungsalgorithmus hat zwei Schritte 1. Maximal-cPlanar 1.1 Spannbaum 1.2 SimpleReinsertion 2. Wiedereinfügung PG478

14 Maximal-cPlanar In Maximal-cPlanar wird ein maximaler c-planarer Subgraph des gegeben Clustergraph berechnet. Idee: Anfang mit einem "einfachen" zusammenhängenden c-planaren Subgraph PG478

15 Die Berechnung besteht aus zwei Schritten: 1. Spannbaum
Ein Subgraph wird berechnet, so dass sein zugrundeliegender Graph ein Spannbaum von G ist. 2. SimpleReinsertion Der maximale c-planare Subgraph wird berechnet dadurch, dass die Kanten, die die c-Planarität nicht verletzen, in Spannbaum eingefügt werden. PG478

16 Spannbaum Nun konstruieren wir den Spannbaum von Cluster: v PG478 F(V)
ST(V) PG478

17 SimpleReinsertion Idee:
Einfügen einiger Kanten in schon konstruiertem Cluster-Spannbaum, die keine Kreuzungen verursachen können. PG478

18 wir führen jetzt SimpleReinsertion aus:
Durchlaufe T von unten nach oben Überprüft für jeden Cluster v Füge eine Kante aus G(v)-ST(v) hinzu Dabei kann keine Kreuzung entstehen Danach: Für jede noch nicht eingefügte Kante e Überprüfe c-Planarität wenn Kante e eingefügt wird Füge Kante e ein, falls planar PG478

19 Wiedereinfügen der verworfenen Kanten
Mit Cmp = ( Gmp, T) von C =( G, T) bezeichnen wir einen maximal c-planaren zusammenhängenden eingebetteten Sub-ClusterGraph. Problem: Kanteneinfügen, wobei Cluster nicht c-planar bleiben Die Kanten überqueren mehr als einmal die Regiongrenze PG478

20  Lösungsidee: (Schritt für Schritt)
-- Es wird ein planarer eingebetteter dualer Graph G‘mp von Gmp konstruiert. --Der kürzeste Weg in G‘mp wird berechnet. --Die Restkanten werden wiedereingefügt . PG478

21 Die Konstruktion der dualer Graph G‘mp von Gmp
Wir materialisieren die Grenze der Cluster v2 v1 Einfügen der Grenzkante Einfügen des kreuzungsknoten v1 Die Kante überquert die Regiongrenze PG478

22 Die Berechnung des kürzeste Weg
Die Ausrichtung und das Entfernen der Kanten von G‘mp . B D E C u v A A B E D C u PG478 v

23 Ende von Planarisierungsalgorithmus
die Komplexität des ganzen Planarisierungsalgorithmus . Gegeben: n..... die Anzahl der Knoten von G m..... die Anzahl der Kante von G c die Anzahl der Clustern von T.  die Anzahl der unechten Knoten Dann Der Algorithmus Maximal-cPlanar benötigt O(mn²); Der Algorithmus Wiedereinfügung benötigt O( m + m²c). Insgesamt: Der Planarisierungsalgorithmus berechnet eine Planarisierung von C in O( m + m²c + mn²). PG478

24 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit
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