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Haus 7: Fortbildungsmaterial Herausfordernde Lernangebote – Gute Aufgaben „Rechenkwadrate mit Ohren“ (Eren, 1. Klasse) Oktober 2012 © PIK AS (

Überblick Theoretische Einbettung: Übe-Verständnis im Wandel Charakteristika intelligenter Übe-Systeme Die „Rechenquadrate mit Ohren“: Kennen lernen Analyse der mathematischen Strukturen Bewerten Unterrichtlicher Einsatz: Schülerdokumente: „So haben Kinder damit gearbeitet“ Einführung Variationsmöglichkeiten Kommentar zu Folie 2: Überblick über die drei Schwerpunkte der Fortbildung geben. Oktober 2012 © PIK AS (

„Altes Üben - Der noch farblose Hund“
Kommentar zu Folie 3 und Folie 4: „Altes“ Üben - sicher kennen auch Sie noch die „Bunten Hunde“ und „grauen Rechenpäckchen“. Willkürliche Aufgabenauswahlen sollen dem automatisierenden Üben dienen und ihnen wird auch heute noch zugesprochen, dass sie Motivation bei den Kindern erzeugen, „die Kinder sie gern machen“. Aber worauf gründet diese Motivation? Auf Mathematik, also dem Erarbeiten und Entdecken mathematischer Strukturen oder der Motivation beschäftig zu sein und in Ruhe gelassen zu werden ...? Quelle: Wittmann 1994, S.161 Oktober 2012 © PIK AS (

„Farblose Drachen und spazierende Katzen“
Literatur-Tipp: In dem Aufsatz „Wider die Flut der bunten Hunde“ von Wittmann (1990) ist nachzulesen, was diese Art des Übens leisten und nicht leisten kann. Ich möchte das hier nicht als grundsätzliche Kritik am automatisierenden Üben missverstanden wissen, sondern: Es wäre doch geschickt, wenn automatisiertes Üben so in ein System eingebettet wäre, dass zudem weitere Lernziele (Argumentieren, das Erkennen von Zusammenhängen und Strukturen, als Schlagworte dazu: „Beziehungsreiches Üben“, „Operatives Üben“) – insgesamt die integrierte Förderung prozess- und inhaltsbezogener Kompetenzen) verfolgt werden können. In diesem Sinne stehen den „Bunten Hunden“ seit den 80-er Jahren intelligente Aufgaben- und Übe-Systeme gegenüber, die sich durch die folgenden Eigenschaften charakterisieren lassen: Quelle: Welt der Zahl 1, Schroedel 2008 Oktober 2012 © PIK AS (

Eigenschaften intelligenter Übe-Systeme
Sie enthalten einen hohen Anteil von gleichartigen Aufgaben, die den Übungseffekt gewährleisten. Sie basieren auf mathematisch reichhaltigen Kontexten (mit oder ohne Wirklichkeitsbezug), die es erlauben, allgemeine Lernziele zu verfolgen. Sie bieten unterschiedliche Problemstellungen mit verschiedenem Schwierigkeitsgrad, die im Idealfall – auf dem jeweiligen Niveau – im ersten Schuljahr wie auch im achten Semester der Lehrerausbildung eingesetzt werden können. Sie sind auch innerhalb eines bestimmten Problemkontextes offen genug, um Bearbeitungen einzelner Schüler auf unterschiedlichen Niveaus im Sinne der natürlichen Differenzierung zu ermöglichen. Quelle: Selter 1997, S Kommentar zu Folie 5: Im Rahmen dieses Zitats sind die Eigenschaften intelligenter Übe-Systeme sehr präzise formuliert. Überleitung zu Folie 6: ... Etwas unschärfer verdeutlichen sie sich ebenso in den Worten des aktuellen Lehrplans. Oktober 2012 © PIK AS (

Eigenschaften intelligenter Übe-Systeme
Die Qualitätsmerkmale guter Aufgaben in den Worten des aktuellen Lehrplans Kommentar zu Folie 6: Wenn auch insgesamt etwas übergreifender formuliert, so wird doch ersichtlich, dass dieselben Charakteristika angesprochen und die „allgemeinen Lernziele“ heute als „prozessbezogene Kompetenzen“ gefasst werden ... siehe Lehrplan S. 55. Weiterführende Informationen zu Charakteristika guter Aufgaben finden Sie auch in unserem Modul 7.1 Kommentar zur Überleitung auf Folie 7: Als ein Beispiel unter mehreren dieser Übe-Systeme möchte ich Ihnen heute die Rechenquadrate mit Ohren vorstellen. Oktober 2012 © PIK AS (

Was ist ein Rechenquadrat mit Ohren?
Das Format Rechenquadrat basiert auf den folgenden Regeln: Der Zusammenhang zwischen den Basiszahlen (Innere Zahlen): Die Summen der Basiszahlen jeder Zeile müssen identisch sein. a+b=c+d Der Zusammenhang zwischen den Basiszahlen und den äußeren Zahlen: Die Summe der Basiszahlen einer Spalte wird als Ergebnis in das anliegende äußere Zahlenfeld eingetragen. x=a+c und y=b+d Oktober 2012 © PIK AS (

Einige Beispiele zum Warm-Up
Erinnerungshilfe: a+b=c+d Kommentar zu Folie 8: Bis zu 3 Beispiele an der Tafel machen: Das 1. Beispiel: Selber unter Verbalisierung der Regeln (an Tafel) vormachen. Dabei die Begriffe „Basiszahlen“, „Äußere Zahlen“, „Zeilensumme“ und „Spaltensumme“ im ersten Rechenquadrat beschriften. Anschließend evtl. noch einmal mit Hilfe der Regeln überprüfen. Die beiden weiteren Beispiele: Im Plenumsgespräch erarbeiten. Zusätzlicher Hinweis hier: Rechnen steht bei diesen drei Beispielen im Vordergrund. Oktober 2012 © PIK AS (

Arbeitsaufträge Kommentar zur Folie 9 und zur Orientierung während der Arbeitsphase: Die Aufgabentypen sind unter dem Aspekt verschiedener Gegeben-Gesucht-Situationen zusammengestellt. Orientierung: Jeder von Ihnen erhält gleich ein Arbeitsblatt mit den Arbeitsaufträgen. Arbeiten Sie zunächst erst einmal allein. Sie sollen sich dann aber auch gern mit Ihrem Nachbarn über Vorgehensweisen, Strategien und charakteristische Merkmale der Aufgabentypen austauschen. Integrierte Eventualphase: Vorne werden die einzelnen Aufgabentypen auf Flipchart-Blättern an der Tafel (oder an Stellwänden) hängen. Sie dienen zur Sammlung Ihrer herausgearbeiteten Charakteristika. Daher möchte ich Sie bereits jetzt schon darum bitten, dass Sie diese auch während der Arbeitsphase hier vorne aufschreiben! (Je nach zeitlichen Kapazitäten eventuell das Aufschreiben rauslassen). Für die Arbeitsphase habe ich insgesamt 35 Minuten eingeplant. Nach ca. 25 Minuten werde ich Ihnen als zusätzliche Herausforderung eine Folie mit ausgewählten Forscheraufträgen zur Auseinandersetzung zeigen (jetzt schon einmal den Teilnehmern zeigen, damit sie nicht in der Arbeitsphase unterbrochen werden – eine Folie weiterklicken. Alternativ: auf den OHP auflegen) – siehe Kommentar zu Folie 10. Oktober 2012 © PIK AS (

Ausgewählte Forscheraufträge
Bei welchen Rechenquadraten sind die beiden äußeren Zahlen gleich? Wie kannst du aus vier aufeinander folgenden Zahlen, die als Basis-Zahlen verwendet werden sollen, ein Rechenquadrat erstellen? Gilt dies auch für vier aufeinander folgende gerade/ ungerade Zahlen? Warum sind bei den Rechenquadraten die beiden äußeren Zahlen immer gerade oder ungerade? Kannst du ein Rechenquadrat mit Ohren machen, das die Gesamtsumme i) 23 ii) 26 iii) 28 hat. Wie viele kannst du finden? Kommentar zur Folie 10: Mit diesen ausgewählten Forscheraufträgen sollen vor allem Verallgemeinerungsaspekte bzgl. der Rechenquadrate beleuchtet werden. Sicher werden Sie es kaum schaffen, alle zu bearbeiten. Wählen Sie daher nach Belieben einen oder zwei der vier aus. Kopien an Fortbildungsteilnehmer verteilen. Beginn der Arbeitsphase. Zurück zu den Arbeitsaufträgen klicken. Nach ca. 25 Minuten erneut zu dieser Folie klicken. Oktober 2012 © PIK AS (

Präsentation Arbeitsaufträge
Kommentar zur Folie 11: Präsentation: An der Tafel oder an den Stellwänden hängen die Flip-Chart-Bahnen mit den Aufgabentypen und den gesammelten Charakteristika der Fortbildungsteilnehmer: Erläuterung der Charakteristika im Rahmen eines Plenumsgesprächs, bei dem der Fokus auf den folgenden Aspekten liegen sollte: Regeln, Zahlzerlegungen, Unterschiede, Anzahl der Lösungen, Vorgehensweisen und Strategien, Schwierigkeiten, Anforderungen. Vorschlag zum methodischen Vorgehen: Zunächst daran erinnern, dass die Aufgabentypen zum „Ausrechnen“ und „schrittweisen Ausrechnen“ bereits im Warm-Up integriert waren und daher nicht bei den Arbeitsaufträgen vorkamen. Die ersten beiden Aufgabentypen ausführlich besprechen, um darauf basierend auf die Nachfolgenden eingehen zu können. Den dritten Aufgabentyp ausführlicher als Zusammenführung von 1 und 2, darauf aufbauend dann Nr. 4 (nur kurz) Charakteristika der einzelnen Aufgabentypen: Nur Zahlzerlegungen. Unterschied vorgegeben (3) – beliebige Zahlzerlegung mit diesem Unterschied gesucht. Die gefundenen Summanden müssen als Basiszahlen so in die vorgesehenen Felder eingetragen werden, dass identische Zeilensummen entstehen. Zu einem vorgegebenen Unterschied und einer vorgegebenen Summe muss eine Zahlzerlegung mit diesem Unterschied gefunden werden. Die gefundenen Summanden müssen als Basiszahlen so in die vorgesehenen Felder eingetragen werden, dass identische Zeilensummen entstehen. Was wäre, wenn die Summe im Ohr 16 betragen würde? Siehe 3, aber aufgrund des zu großen Unterschieds keine Lösung möglich (6 kann nicht so in zwei Summanden zerlegt werden, dass eine Differenz von 8 entsteht). Je nach noch vorhandenen zeitlichen Kapazitäten entweder das folgende „Fett markierte“ weiter im moderierten Plenumsgespräch präsentieren lassen oder aber selber machen: Zu einer vorgegebenen Summe eine Zahlzerlegung selbst bestimmen, dadurch ist die Zeilensumme festgelegt und alles Weitere ergibt sich. Hierbei können Zahlzerlegungen entstehen, bei denen die sich ergebende untere Zeilensumme kleiner ist als der 1. Summand in der oberen Zeilensumme Bsp: 8+1. Allgemeiner: Dies passiert immer dann, wenn Zahlzerlegungen der Ohrenzahl entstehen können, bei denen jeweils ein Summand größer als die Zeilensumme ist. Siehe 5, wobei alle Zahlzerlegungen möglich. Warum? (s.o.) Zahlzerlegung selbst bestimmen, dadurch wird ein Unterschied erzielt, der ebenfalls mit der 2. Zahlzerlegung erzielt werden muss. Ebenso wie 7), allerdings nicht möglich. Warum? Auftrag für daheim. Oktober 2012 © PIK AS (

Überblick: Die Gegeben-Gesucht-Situationen
Kommentierungen zu Folie 12: Differenzierte Anforderungen: grün: Aufgabentypen zum Kennen lernen/ Prüfen und einfachen Ausrechnen. hellgrün: Aufgaben zum schrittweisen Ausrechnen. gelb: Aufgabentypen zum einfachen Ermitteln der Zahlzerlegungen. orange: Aufgabentypen zum schrittweisen Ermitteln der Zahlzerlegungen. rot: Aufgaben zum Ermitteln voneinander abhängiger Zahlzerlegungen. Das Struktur-Diagramm kann als Leitfaden zur unterrichtlichen Konzeption dienen. Neben den unterschiedlichen Rechenanforderungen stellen die Reihenfolge des Vorgehens und das Auffinden/Entwickeln, Anwenden und Begründen geeigneter Strategien Merkmale der differenzierten Anforderungen dar. Diese Charakteristika selbst eignen sich bereits als Reflexionsanlässe. Während es beim Kennen lernen durch Prüfen (Rechenquadrat/ Kein Rechenquadrat) oder einfaches Ausrechnen zunächst um das Verstehen der Aufgabenstruktur und Anwenden der Regeln geht (grün), rückt zunehmend das Üben der Grundrechenarten und Zahlzerlegungen in den Mittelpunkt (grün und gelb). Anspruchsvollere Aufgabenstellungen erfordern darüber hinaus das Erkennen, Beschreiben und Begründen von Zusammenhängen, Vorgehensweisen und Lösungswegen, wobei die Grundrechenarten noch mit-geübt werden (hellgrün, orange und rot). Oktober 2012 © PIK AS (

Präsentation ausgewählte Forscheraufträge
Bei welchen Rechenquadraten sind die beiden äußeren Zahlen gleich? Wie kannst du aus vier aufeinander folgenden Zahlen, die als Basis-Zahlen verwendet werden sollen, ein Rechenquadrat erstellen? Gilt dies auch für vier aufeinander folgende gerade/ ungerade Zahlen? Warum sind bei den Rechenquadraten die beiden äußeren Zahlen immer gerade oder ungerade? Kannst du ein Rechenquadrat mit Ohren machen, das die Gesamtsumme i) 23 ii) 26 iii) 28 hat. Wie viele kannst du finden? Kommentar zur Folie 13: Je nach noch vorhandenen zeitlichen Kapazitäten und Bearbeitungsstand der Fortbildungsteilnehmer bietet es sich an, die Folie und damit diesen Teil der Präsentation auszulassen oder aber im Rahmen des Plenumsgesprächs Ergebnisse präsentieren zu lassen. Überleitung zur nächsten Folie 14: Warum eignen sich die Rechenquadrate mit Ohren für den Einsatz im Mathematikunterricht? Was lernen die Kinder bei der Auseinandersetzung mit diesem Format? Dazu schauen wir uns jetzt noch einmal die Charakteristika substanzieller Aufgabenformate an: Oktober 2012 © PIK AS (

Charakteristika substanzieller Aufgabenformate
Sie enthalten einen hohen Anteil von gleichartigen Aufgaben, die den Übungseffekt gewährleisten. Sie basieren auf mathematisch reichhaltigen Kontexten (mit oder ohne Wirklichkeitsbezug), die es erlauben, allgemeine Lernziele zu verfolgen. Sie bieten unterschiedliche Problemstellungen mit verschiedenem Schwierigkeitsgrad, die im Idealfall – auf dem jeweiligen Niveau – im ersten Schuljahr wie auch im achten Semester der Lehrerausbildung eingesetzt werden können. Sie sind auch innerhalb eines bestimmten Problemkontextes offen genug, um Bearbeitungen einzelner Schüler auf unterschiedlichen Niveaus im Sinne der natürlichen Differenzierung zu ermöglichen. Generell zu Folie 14: Abhängig vom Zielpublikum kann die Folie entweder übersprungen werden (da Mathe-Experten sicher direkt auf einen Blick die Substanz erkennen). Mit Studierenden jedoch sollte noch einmal rückblickend darüber reflektiert werden, worin die Substanz des Formats besteht. Kommentierungen zu den einzelnen Punkten: Das haben wir - denke ich - gesehen. Während bei den ersten drei Beispielen an der Tafel die Hauptaufmerksamkeit auf dem Ausrechnen und dem Vertiefen der Regeln lag, und dadurch also Aufgabentypen zum automatisierenden Üben darstellen, liegen bei den anschließend bearbeiteten Aufgabentypen die Schwerpunkte deutlich anders, wobei das Üben aber noch integriert mit-verfolgt wird. Das, was Sie gerade in den 25 Minuten diskutiert haben. Bezug hier: Lösen von Gleichungen mit 0-6 Unbekannten, keine, eine, eine gewisse Anzahl, unendlich viele Lösungen. Wir haben herausgearbeitet: Ich muss gegebene Bedingungen erfüllen und kann Bedingungen selber gestalten. Dieses Format wurde bereits mehrfach im Grundschulunterricht in den Klassen 1-4 eingesetzt, auch die Forscheraufträge. Zudem ist es im Rahmen von Examensarbeiten erforscht worden. Ich hoffe, dass die Aufgabentypen auch für Sie anspruchsvoll waren, als Sie sich in der letzten ¾-Stunde mit Aufgabenstellungen im Zahlenraum bis 20 auseinandergesetzt haben ... Auch das haben wir herausgearbeitet. Stichpunkte dazu: Unterschiedliche Repräsentationsebenen, Rekurieren auf „Operatives Handeln“, Verweis Plättchen, Petra Scherer, die sich als Expertin für Förderschulen mit Aufgabenformaten im Einsatz in Förderschulen auseinandergesetzt hat. (Literatur-Verweis: Produktives Lernen für Kinder mit Lernschwächen – Fördern durch Fordern, Klett 1999.) Quelle: Selter 1997, S Oktober 2012 © PIK AS (

So haben Kinder damit gearbeitet ...
David (2. Klasse) Henrik (3. Klasse) macht es „passend“ Kommentar zur Folie 15: David: Die schwarz geschriebenen Zahlen waren im Rahmen eines Schülerdokuments „Kinder machen Forscheraufträge für Kinder“ von einem Kind vorgegeben. Auch wenn sich dabei ein Fehler eingeschlichen hat (die Summe der schwarzen Basiszahlen ist 51 statt 31), so möchte David durch seine beiden – durch Striche getrennten Lösungen verdeutlichen a) 1, 2 und 3 b) 2,3 und 5 , dass unendlich viele Lösungen zu diesem Rechenquadrat existieren. Henrik: Er macht es passend, indem er den Bereich der natürlichen Zahlen verlässt. In seinem nächsten Dokument verdeutlicht sich sein bereits erworbenes Stellenwertverständnis im Zahlbereich N. Dieses Rechenquadrat findet Henrik (3. Klasse) „besonders“ Oktober 2012 © PIK AS (

Caspar (1. Klasse) Kommentar zur Folie 16: Caspar nannte sein Vorgehen zunächst einfach „logesch“ . Bald darauf kann er jedoch seine Entdeckungen mitteilen, indem er eine zu verifizierende These aufstellt: „Es müssen von oben nach unten das Ergebnis bei beiden Seiten gleich sein“ . Hiermit beschreibt er die zentrale Lösungsbedingung für die Rechenquadrate. Dabei verwendet er den Begriff Ergebnis synonym zu seinem zuvor genutzten Begriff Abstand. Oktober 2012 © PIK AS (

Loena (3. Klasse) Kommentar zur Folie 17: Mit 11+7 fokussiert Loena auf die Gesamtsumme des Rechenquadrates mit Ohren, die sich aus den Basiszahlen zusammensetzt. Da die einzelnen Zeilensummen identisch sein müssen, dividiert sie durch 2 und erhält so die jeweilige Zeilensumme. Hiervon subtrahiert sie die bekannte Basiszahl 4 und erhält somit die fehlende Basiszahl 5 der ersten Zeilensumme. Der Rest war ja dann „puppich“. Oktober 2012 © PIK AS (

Melvin (3. Klasse) Kommentar zur Folie 18: Melvin untersucht, warum es keine Lösungen bei einem Rechenquadrat geben kann, bei dem eine äußere Zahl gerade und die andere ungerade ist. Beachtlich ist hierbei, dass er von konkreten Beispielen zu einer allgemeinen Aussage abstrahiert. Oktober 2012 © PIK AS (

Laurien (3. Klasse) Kommentar zur Folie 19: Laurien begründet, warum es keine Lösung geben kann. Oktober 2012 © PIK AS (

Kommentar zur Folie 20: Julians Bearbeitung des 4. Forscherauftrages unserer Arbeitsphase: Durch systematisches Probieren findet er heraus, dass es immer 4er-Sprünge zum nächsten Rechenquadrat mit Ohren sein müssen. Ebenso Anna, die ihre Beobachtungen schlussfolgernd formuliert. Tim stellt fest, dass 26 nicht zweimal gerade ist, also 26 nicht zweimal hintereinander durch 2 teilbar (oder insgesamt durch 4 teilbar ist) und es daher kein Rechenquadrat mit Ohren geben kann, dass die Gesamtsumme 26 hat. Anna (4. Klasse) Tim (4. Klasse) Julian (4. Klasse) Oktober 2012 © PIK AS (

Rückschau auf den eigenen Lernprozess
„Ich fand die gut, die man selbst machen konnte.“ (Jona) „Mein Tipp: Helfen. Ich habe Luise geholfen, mir hat Madleen geholfen.“ (Michelle) „Ich habe gelernt, dass man immer genau rechnen muss und alle Regeln beachten muss.“ (Caspar) Wenn die äußeren Zahlen vorgegeben sind, weiß Eva: „Dass die Ergebnisse aus den Ohren kommen und man die Ergebnisse vorher angucken muss.“ „Einige waren zu schwer!“ (Ali) Einleitend zu Folie 21: Im Rahmen einer Rückschau auf den eigenen Lernprozess merkten die SchülerInnen an: Zum letzten Punkt: - Dennoch konstruiert Ali genau dazu als Beispiel folgendes Rechenquadrat. Oktober 2012 © PIK AS (

Unterrichtlicher Einsatz - Einführung
Viviane Lily Henrik Kommentar zur Folie 22: Einführung einfache Rechenquadrate: Schülerdokument aus der ersten Erprobungsphase (Layout Kreise): Hier geht es es um das Identifizieren von einfachen Rechenquadraten (ohne Ohren) und insbesondere auch um die Vertiefung der 1. Regel (Zeilensumme) Die Schülerdokumente von Viviane, Lily und Henrik solllen exemplarisch aufzeigen, in welchen unterschiedlichen Zahlräumen Kinder einer dritten Klasse in dieser Einführungsphase gearbeitet haben. Oktober 2012 © PIK AS (

Kommentar zur Folie 23: Einführung einfache Rechenquadrate: Hier geht es es um das Identifizieren von einfachen Rechenquadraten (ohne Ohren) und zudem um Variationen der Gegeben-Gesucht-Situationen. Insbesondere soll hierdurch die Vertiefung der 1. Regel (Zeilensumme) erfolgen. Oktober 2012 © PIK AS (

Kommentar zur Folie 24: Einführung einfache Rechenquadrate: Kinder sollen selber eigene Arbeitskarten im Rahmen einer zu erstellenden Klassendatei entwerfen. Insgesamt geht es es hier ebenfalls um das Identifizieren von einfachen Rechenquadraten (ohne Ohren) und zudem um Variationen der Gegeben-Gesucht-Situationen. Insbesondere soll hierdurch die Vertiefung der 1. Regel (Zeilensumme) erfolgen. Oktober 2012 © PIK AS (

Kommentar zur Folie 25: Einführung einfache Rechenquadrate: Forscheraufträge zu den einfachen Rechenquadraten in Form von sogenannten „Schnipselaufgaben“. Hinweis: Ebenso finden Sie unter dem Unterrichtsmaterial die weiterführenden Arbeitskarten zu den Rechenquadraten mit Ohren. Oktober 2012 © PIK AS (

Unterrichtlicher Einsatz – Variationsmögl.
Einbezug zusätzlicher Bedingungen Nur äußere Zahlen sind vorgegeben: Mache ein Rechenquadrat, bei dem der Unterschied der Basiszahlen einer Spalte jeweils d beträgt. Kommentar zur Folie 26: Reichhaltigkeit möglicher Problemstellungen ... ... Am Beispiel des Einbezugs zusätzlicher Bedingungen, Oktober 2012 © PIK AS (

Einbezug zusätzlicher Bedingungen Eine Zeilensumme und die äußeren Zahlen sind vorgegeben: Mache ein Rechenquadrat. Warum ist die Summe der Ohren das Doppelte der Zeilensumme? Die Gesamtsumme ist vorgegeben als Summe i) der Basiszahlen, ii) aller Zahlen: Mache ein Rechenquadrat mit der Gesamtsumme x. Gibt es mehrere Lösungen? Warum ist die Gesamtsumme immer gerade? Kommentar zur Folie 27: Reichhaltigkeit möglicher Problemstellungen ... ... Am Beispiel des Einbezugs zusätzlicher Bedingungen, Oktober 2012 © PIK AS (

Operative Veränderungen – „Was passiert … wenn …? Verändere i) eine (mehrere) Basiszahl(en) ii) eine (beide) äußere(n) Zahl(en) um ± 1 (dann auch um andere Werte). Welche Auswirkungen hat (haben) diese Veränderung(en) und was kannst du tun? Erweiterung des Aufgabenformats: Das Format wird um eine dritte äußere Zahl erweitert, welche sich als Zeilensumme ergibt Einsatz in den unteren Jahrgangsstufen der Sekundarstufe in den erweiterten Zahlbereichen Z und Q Kommentar zur Folie 28: Reichhaltigkeit möglicher Problemstellungen ... ... Am Beispiel Operative Veränderungen und Beobachtungen gemäß dem Motto „Was passiert, wenn …?“ vorzunehmen. Ebenso können Erweiterungen des Formats im Hinblick auf die Anzahl möglicher Einträge sowie im Hinblick auf Zahlbereiche vorgenommen werden. Oktober 2012 © PIK AS (

Die Rechenquadrate ... zu finden im Haus 7

Schlussbemerkung „Man konstruiere Aufgabenserien, die mehrere Schichten haben: einen unmittelbaren Übungszweck und dazu eine innere Systematik, die auf weiterführende Einsichten verweist und deren eigentätige Verfolgung anregt. Auf diese Weise wird »übend entdeckt und entdeckend geübt«“. Heinrich Winter (1984) Kommentar zur Folie 32 Substantielle Aufgabenformate eignen sich in diesem Sinne als intelligente Aufgaben- und Übungssysteme zum Üben, zum Entdecken – Beschreiben – Begründen und zum Differenzieren. Heute haben Sie eines von mehreren substantiellen Aufgabenformaten ein wenig kennengelernt. (Als weitere Beispiele werden Sie in Ihrem Studium sicher noch die Rechendreiecke, Zahlengitter, Zahlenmauern oder Rechenketten kennenlernen.) Oktober 2012 © PIK AS (

Literaturverzeichnis
HUHMANN, TOBIAS (2008): Rechenquadrate mit Ohren. Ein substanzielles Übungsformat für den Mathematikunterricht ab der ersten Jahrgangsstufe. In: Grundschulmagazin 4/08, Oldenbourg Verlag, S MINISTERIUM FÜR SCHULE UND WEITERBILDUNG (2008): Lehrplan Mathematik. Ritterbach. RINKENS, HANS-DIETER & HÖNISCH, KURT (2008): Welt der Zahl 1. Schroedel. SELTER, CHRISTOPH (1997): Entdecken und Üben mit Rechendreiecken. Eine substanzielle Übungsform für den Mathematikunterricht. Friedrich Jahresheft, S WINTER, HEINRICH (1984): Begriff und Bedeutung des Übens im Mathematikunterricht. In: Mathematik lehren, (1984) 2, S WITTMANN, ERICH (1990): „Wider die Flut der ‚bunten Hunde‘ und der ‚grauen Päckchen‘.“ In: Wittmann, Erich Ch. und Müller, Gerhard N.: Handbuch produktiver Rechenübungen: Bd.1: S Oktober 2012 © PIK AS (

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