Diskrete Mathematik R (R/R+-Baum).

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1 Diskrete Mathematik R (R/R+-Baum)

2 Übersicht über das Semester
Die Vorlesung besteht aus 3 Blöcken räumliche Datenbanken Zugriffsstrukturen zur Unterstützung der Suche R/R+ - Baum Quadtree Softwaretechnologie (Dr. Gröger) (fortgeschrittene) Klassendiagramme Dynamische UML-Diagramme Software-Demo: CASE-Tool „Together“ Korrektheit von Programme – Testen Normen und Standards in GIS

3 Übersicht über das Semester
Die Vorlesung besteht aus 3 Blöcken Internet: Protokolle, Dienste und Formate (Dr. Kolbe) Offene Systeme, Rechnernetze und Internet eXtensible Markup Language (XML) XML Dokumenttyp-Definition, UML -> XML, Namespaces XML-Schema Geography Markup Language (GML 2) Form: Vorlesung mit Übungsanteilen

4 Übersicht Einordnung MBR – minimum bounding rectangle Idee des R-Baums
1 Übersicht Einordnung MBR – minimum bounding rectangle Idee des R-Baums Neues laufendes Beispiel R-Baum als B-Baum Exkurs: B-Baum Eigenschaften Einfügen in einen B-Baum Löschen in einem B-Baum Der R-Baum als solcher Einfügen in einen R-Baum Strategien zum Spalten eines Knotens Suchen in einem R-Baum Nachteil des R-Baums Alternative: Der R+-Baum R+-Baum Suche im R+-Baum

5 R-Baum Einordnung Bisher: Zerlegung des Objekts (->Trapezkarte)
2 R-Baum Einordnung Bisher: Zerlegung des Objekts (->Trapezkarte) Konstruktion einer Zugriffstruktur für das Objekt (->Trapezkarte) Alternatives Vorgehen: Approximation der Maschen durch umschließende achsenparallele Rechtecke: Minimal Bounding Rectangle (MBR) Verwaltung der Rechtecke R-Baum R+-Baum

6 R-Baum MBR – minimum bounding rectangle
3 R-Baum MBR – minimum bounding rectangle y Außen x A 4x

7 R-Baum Idee In welcher Masche M liegt der Punkt P?
4 R-Baum Idee In welcher Masche M liegt der Punkt P? Neue Frage: In welcher Bounding Box einer Masche M liegt der Punkt P? Verwende effizientes Verfahren, um alle Rechtecke R1, ... Rn zu finden, die P enthalten Jedem Rechteck Ri entspricht eine Masche Mi Prüfe, ob P in einer der Maschen M1, ... Mn vorkommt Verwende dazu das Standardverfahren Problem: Zugriffsstruktur für Rechtecke Rechtecke sind einfacher zu handhaben als Maschen im allgemeinen Nur die Rechtecke interessieren uns hier, nicht die zugrundeliegenden Maschen A 1x

8 R-Baum Beispiel 15 16 R11 R13 R12 R14 R15 R16 01 02 11 12 01 02 03 04
06 09 05 07 13 14 08 10 03 07 04 08 05 09 10 06

9 R-Baum R-Baum als B-Baum
5 R-Baum R-Baum als B-Baum Ein R-Baum ist ein B-Baum mit zusätzlichen Eigenschaften Was ist denn ein B-Baum? Ein B-Baum ist (wie der AVL-Baum) ausgeglichen Aber: Jeder Knoten enthält mehr als einen Schlüssel B-Bäume werden oft in kommerziellen Datenbanken für den schnellen Zugriff auf Festplattenspeicher genutzt. Die inneren Knoten entsprechen dann den kleinsten ansprechbaren Einheiten („Kacheln“ von 1 Kbyte oder mehr) der Festplatte.

10 B-Baum Exkurs B B B B B B B B B

11 B-Baum Beispiel der Ordnung 2
6 B-Baum Beispiel der Ordnung 2 49 16 31 52 62 78 90 13 14 15 20 29 30 38 41 50 51 55 59 63 66 71 75 80 82 86 91 95

12 7 B-Baum Allgemeines Der B-Baum wurde nach seinem Entwickler R. Bayer benannt. Die Suche eines Elementes in einem B-Baum unterscheidet sich nur wenig von der Suche in anderen Such-Bäumen. Das Einfügen und Entfernen von Elementen ist jedoch an vielen Stellen anders als in Binär-Such-Bäumen.

13 B-Baum Eigenschaften I
8 B-Baum Eigenschaften I Eigenschaften eines B-Baumes der Ordnung n: Ein B-Baum ist nicht binär Ein B-Baum ist ausgeglichen Alle Blätter haben das gleiche Niveau Jeder Knoten enthält höchstens 2n Elemente Jeder Knoten außer der Wurzel enthält mindestens n Elemente Jeder innere Knoten hat m+1 Nachfolgeknoten, wobei m die Anzahl der Schlüssel des inneren Knotens ist

14 B-Baum Eigenschaften II
8 B-Baum Eigenschaften II Eigenschaften eines B-Baumes der Ordnung n: Die m Elemente eines Knotens werden in aufsteigender Reihenfolge gespeichert: x1 < x2 < ... < xm Für jeden i-ten Teilbaum Si eines Knotens gilt: Die Elemente seiner Knoten sind größer als xi und kleiner als xi+1 (ganz links und ganz rechts analog) Bei einigen Varianten des B-Baums stehen alle Informationen in den Blättern

15 9 B-Baum Einfügen 49 52 62 52 62 78 90 50 51 55 59 63 66 71 75 80 82 86 91 95 A 31x

16 9 B-Baum Einfügen 49 61 Einfügen eines Elements mit dem Wert 61 52 62 78 90 61 > 49  rechter Ast 50 51 55 59 63 66 71 75 80 82 86 91 95 A 31x

17 9 B-Baum Einfügen 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 61 52 62 78 90 61 61 > 49  rechter Ast 52 < 61 < 62  2. Ast von links 50 51 55 59 63 66 71 75 80 82 86 91 95 A 31x

18 9 B-Baum Einfügen 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 61 52 62 78 90 61 > 49  rechter Ast 52 < 61 < 62  2. Ast von links 59 < 61  Einfügen 50 51 55 59 63 66 71 75 80 82 86 91 95 61 A 31x

19 9 B-Baum Einfügen 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 61 52 62 78 90 61 > 49  rechter Ast 52 < 61 < 62  2. Ast von links 59 < 61  Einfügen 50 51 61 55 59 63 66 71 75 80 82 86 91 95 A 31x

20 9 B-Baum Einfügen 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 61 52 62 78 90 61 > 49  rechter Ast 52 < 61 < 62  2. Ast von links 59 < 61  Einfügen 50 51 61 55 59 63 66 71 75 80 82 86 91 95 A 31x

21 9 B-Baum Einfügen 49 64 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 52 62 78 90 64 > 49  rechter Ast 50 51 61 55 59 63 66 71 75 80 82 86 91 95 A 31x

22 9 B-Baum Einfügen 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 52 62 78 90 64 64 > 49  rechter Ast 62 < 64 < 78  3. Ast von links 50 51 61 55 59 63 66 71 75 80 82 86 91 95 A 31x

23 9 B-Baum Einfügen 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 52 62 78 90 64 > 49  rechter Ast 62 < 64 < 78  3. Ast von links 63 < 64 < 66  Einfügen 50 51 61 55 59 63 66 71 75 80 82 86 91 95 64 A 31x

24 9 B-Baum Einfügen 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 52 62 78 90 64 > 49  rechter Ast 62 < 64 < 78  3. Ast von links 63 < 64 < 66  Einfügen 50 51 61 55 59 64 63 66 71 75 80 82 86 91 95 A 31x

25 9 B-Baum Einfügen 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 52 62 78 90 64 > 49  rechter Ast 62 < 64 < 78  3. Ast von links 63 < 64 < 66  Einfügen 50 51 61 55 59 64 63 66 71 75 80 82 86 91 95 A 31x

26 9 B-Baum Einfügen 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 52 62 78 90 Problem: Speicherüberlauf Lösung: Knoten sprengen 50 51 61 55 59 64 63 66 71 75 80 82 86 91 95 A 31x

27 9 B-Baum Einfügen 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 52 62 78 90 Setze das mittlere Element um eine Position nach oben Bilde zwei neue Zweige 50 51 61 55 59 63 64 66 71 75 80 82 86 91 95 A 31x

28 9 B-Baum Einfügen 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 52 62 66 78 90 50 51 61 55 59 63 64 71 75 80 82 86 91 95 A 31x

29 9 B-Baum Einfügen 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 52 62 66 78 90 50 51 61 55 59 63 64 71 75 80 82 86 91 95 A 31x

30 9 B-Baum Einfügen 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 52 62 66 78 90 Problem: Speicherüberlauf Lösung: Knoten sprengen 50 51 61 55 59 63 64 71 75 80 82 86 91 95 A 31x

31 9 B-Baum Einfügen 49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 52 62 66 78 90 Setze das mittlere Element um eine Position nach oben Bilde zwei neue Zweige 50 51 61 55 59 63 64 71 75 80 82 86 91 95 A 31x

32 9 B-Baum Einfügen 49 66 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64 52 62 78 90 50 51 61 55 59 63 64 71 75 80 82 86 91 95 A 31x

33 B-Baum Löschen Suche des Knotens, der das zu löschende Element enthält
10 B-Baum Löschen Suche des Knotens, der das zu löschende Element enthält Falls Knoten gefunden, unterscheiden wir folgende Fälle: Löschen in einem Blatt: Entfernen des Elements a) die Anzahl der Elemente des Blattes ist weiterhin >= n b) die Anzahl der Elemente des Blattes ist < n  „Unterlauf“ bereinigen Löschen in einem inneren Knoten: Eintrag durch das nächstgrößere oder nächstkleinere Element im Baum ersetzen (rechtester Eintrag im linken Unterbaum oder linkester im rechten (vgl. AVL-Bäume). a) die Anzahl der Elemente des Blattes ist weiterhin >= n b) die Anzahl der Elemente des Blattes ist < n  „Unterlauf“ bereinigen

34 B-Baum Löschen in einem Blatt
10 B-Baum Löschen in einem Blatt 14 49 66 Löschen des Elements mit dem Wert 75 52 62 78 90 Element suchen Element gefunden: Löschen 49 50 51 54 55 59 64 63 71 75 80 82 86 91 95 97 A 17x

35 B-Baum Löschen in einem Blatt
10 B-Baum Löschen in einem Blatt 14 49 66 Löschen des Elements mit dem Wert 75 52 62 78 90 Speicherunterlauf Über Vater- und Nachbar- knoten (nächstgrößeres Element) ausgleichen 49 50 51 54 55 59 63 64 71 80 82 86 91 95 97 A 17x

36 B-Baum Löschen in einem Blatt
10 B-Baum Löschen in einem Blatt 14 49 66 Löschen des Elements mit dem Wert 75 52 62 78 90 49 50 51 54 55 59 63 64 71 80 82 86 91 95 97 A 17x

37 B-Baum Löschen in einem Blatt
10 B-Baum Löschen in einem Blatt 14 49 66 Löschen des Elements mit dem Wert 75 52 62 80 90 49 50 51 54 55 59 63 64 71 78 82 86 91 95 97 A 17x

38 B-Baum Löschen in einem inneren Knoten
10 B-Baum Löschen in einem inneren Knoten 14 49 66 Löschen des Elements mit dem Wert 90 52 62 80 90 Element suchen Element gefunden: Löschen 49 50 51 54 55 59 63 64 71 78 82 86 91 95 97 A 17x

39 B-Baum Löschen in einem inneren Knoten
10 B-Baum Löschen in einem inneren Knoten 14 49 66 Löschen des Elements mit dem Wert 90 52 62 80 Speicherunterlauf Ersetzen durch nächst- größeres Element 49 50 51 54 55 59 63 64 71 78 82 86 91 95 97 A 17x

40 B-Baum Löschen in einem inneren Knoten
10 B-Baum Löschen in einem inneren Knoten 14 49 66 Löschen des Elements mit dem Wert 90 52 62 80 91 49 50 51 54 55 59 63 64 71 78 82 86 95 97 A 17x

41 Zurück zum R-Baum R R R R R R R R R

42 11 R-Baum ...als solcher Ein Blattknoten ist ein Paar (R,O), R ist das kleinste umschließende Rechteck, welches das Objekt O umschließt Jeder innere Knoten hat m Paare (R,T), R ist das kleinste umschließende Rechteck des Teilbaums T Ordnung beim R-Baum: (m, M) - Jeder Knoten außer der Wurzel enthält zwischen m M/2 und M Einträgen Die Wurzel hat mindestens zwei Einträge sofern sie kein Blattknoten ist Beachte: Rechtecke können sich überlappen Struktur des R-Baums hängt von Reihenfolge des Einfügens ab Jedes Paar (R,O) kommt genau einmal vor R kann mehrere umschließenden Rechtecke schneiden

43 R-Baum ...als solcher 15 16 R11 R13 R12 R14 R15 R16 01 02 11 12 01 02
03 04 06 09 05 07 13 14 08 10 03 07 04 08 05 09 10 06

44 Animiertes Beispiel der Ordnung (2,3)
12 R-Baum Einfügen Ausgangspunkt: Einfügen eines neuen Knotens in einen R-Baum Problem hier: an welche Stelle wird (R,O) eingefügt? Durchlaufe den R-Baum mit der Wurzel als Ausgangspunkt Wähle an jedem inneren Knoten den Teilbaum, der durch Einfügen von R minimal vergrößert würde Füge (R,O) schließlich als Blatt ein Beim Überlauf verfahre wie beim B-Baum Besonderheit gegenüber B-Baum: Es gibt keine lineare Ordnung zwischen den Einträgen der Knoten Verschiedene Strategien zum Spalten eines Knotens Animiertes Beispiel der Ordnung (2,3)

45 Minimierung der Gesamtfläche Minimierung des Durchschnitts
13 R-Baum Strategien zum Spalten eines Knotens Minimierung der Gesamtfläche Minimierung des Durchschnitts

46 R-Baum Punktsuche Welche (R,O) enthalten den Punkt P?
14 R-Baum Punktsuche Welche (R,O) enthalten den Punkt P? Beginne an der Wurzel innere Knoten: Durchsuche jeden Sohnknoten der Paare (R,T), die P enthalten Blattknoten: Suche alle (R,O), die P enthalten Fertig! Achtung: Ggf. muss in mehreren Teilbäumen gesucht werden! Animiertes Beispiel

47 R-Baum Bereichssuche Welche (R,O) schneiden das Rechteck Q?
15 R-Baum Bereichssuche Welche (R,O) schneiden das Rechteck Q? Beginne an der Wurzel innere Knoten: Durchsuche jeden Sohnknoten der Paare (R,T), die Q schneiden Blattknoten: Suche alle (R,O), die Q schneiden Fertig! Animiertes Beispiel

48 16 Nachteil des R-Baums Um das richtige Blatt zu finden, sind meist mehrere Durchläufe erforderlich Dies gilt insbesondere dann, wenn die Suche erfolglos ist Abhilfe: R+-Baum

49 Alternative: Der R+-Baum
17 Alternative: Der R+-Baum Alle inneren Rechtecke sind disjunkt Ein Objekt / umschließendes Rechteck kann in mehreren Blättern vorkommen Jedes Blatt repräsentiert den Teil von (R,O), der von dem Vaterknoten umschlossen wird

50 18 R+-Baum Aufbau E H A B D G J F C I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 34x

51 18 R+-Baum Aufbau 2 1 E H A B D G J F C I 1 2 A 34x

52 18 R+-Baum Aufbau 2 1 E H A B D G J F C I 4 3 1 2 3 3 4 A E A 34x

53 R+-Baum Aufbau 2 1 E H A B D G J F C I 4 5 1 2 3 3 4 5 A E D E H A 34x
18 R+-Baum Aufbau 2 1 E H A B D G J F C I 4 5 1 2 3 3 4 5 A E D E H A 34x

54 R+-Baum Aufbau 6 2 1 E H A B D G J F C I 4 5 1 2 3 3 4 5 6 A E D E H B
18 R+-Baum Aufbau 6 2 1 E H A B D G J F C I 4 5 1 2 3 3 4 5 6 A E D E H B D I A 34x

55 R+-Baum Aufbau 6 2 1 E H A B D G J F C I 7 4 5 1 2 3 3 4 5 6 7 A E D E
18 R+-Baum Aufbau 6 2 1 E H A B D G J F C I 7 4 5 1 2 3 3 4 5 6 7 A E D E H B D I B C D A 34x

56 R+-Baum Aufbau 6 2 1 E H A B D G J F C I 4 7 5 1 2 3 3 8 4 5 6 7 8 A E
18 R+-Baum Aufbau 6 2 1 E H A B D G J F C I 4 7 5 1 2 3 3 8 4 5 6 7 8 A E D E H B D I B C D E G A 34x

57 R+-Baum Aufbau 6 2 1 E H A B D G J F C I 4 7 5 1 2 3 3 9 4 5 6 7 8 9 8
18 R+-Baum Aufbau 6 2 1 E H A B D G J F C I 4 7 5 1 2 3 3 9 4 5 6 7 8 9 8 A E D E H B D I B C D E G F J A 34x

58 R+-Baum Aufbau 6 2 1 E H A B D G J F C I 4 7 5 1 2 3 3 9 4 5 6 7 8 9 8
18 R+-Baum Aufbau 6 2 1 E H A B D G J F C I 4 7 5 1 2 3 3 9 4 5 6 7 8 9 8 A E D E H B D I B C D E G F J A 34x

59 R+-Baum Suche 6 2 1 E H A B D G J F C I 7 4 5 2 3 1 4 5 A E D H 6 7 B
18 R+-Baum Suche 6 2 1 E H A B D G J F C I 7 4 5 2 3 1 4 5 A E D H 6 7 B I C 8 9 G F J 3 9 8 A 6x