Lehrerkompetenzen für den Geometrieunterricht erörtert an einer „großen Unterrichtsvorbereitung“ zum Thema Kreismessung Lothar Profke Institut für Didaktik.

Lehrerkompetenzen für den Geometrieunterricht erörtert an einer „großen Unterrichtsvorbereitung“ zum Thema Kreismessung Lothar Profke Institut für Didaktik der Mathematik Justus-Liebig-Universität Gießen Vortrag zum Einsehen und Herunterladen unter Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Aufgaben der Geometriedidaktik in der Lehrerausbildung
Vortrag bei der Herbsttagung des Arbeitskreises Geometrie in Rummelsberg Lothar Profke Institut für Didaktik der Mathematik Justus-Liebig-Universität Gießen Vortrag zum Einsehen und Herunterladen unter Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

0 Einleitung Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Erörtern der folgenden Fragen am Beispiel Kreismessung:
0 Einleitung Aufgabe des Referats Erörtern der folgenden Fragen am Beispiel Kreismessung: Welche Qualifikationen (Kompetenzen) braucht ein Lehrer, um allgemeinbildenden Mathematikunterricht zu erteilen und um die Forderungen der Bildungsstandards Mathematik zu erfüllen? Wo und wie erwirbt ein Lehrer solche Qualifikationen? Was darf man einem angehenden Mathematiklehrer in der Ausbildung zumuten? Tagungsthema „Lehrerkompetenzen für den Geometrieunterricht“ ... wurde schon mehrfach erörtert ... und ist eine der Hauptaufgaben des Arbeitskreises Geometrie seit seiner Gründung. Vgl. Schlussbemerkungen Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Wie bei einer großen Unterrichtsvorbereitung mit Sachanalyse
0 Einleitung Durchführung Wie bei einer großen Unterrichtsvorbereitung mit Sachanalyse didaktische Analyse methodische Analyse ... Diese Einteilung erfolgt nachträglich. Wegen der Interdependenz aller Aspekte springt das Denken zwischen ihnen hin und her. Vieles nur andeutungsweise, da bekannt. Zustimmung oder Ablehnung zu Einzelheiten der Unterrichts-vorbereitung berührt nicht die Folgerungen für die Ausbildung von Mathematiklehrern. Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Manche Aussagen, die wie Feststellungen klingen, sind fragend gemeint.
0 Einleitung Hinweise Manche Aussagen, die wie Feststellungen klingen, sind fragend gemeint. Etliche Fragen lassen meine Antworten erkennen. Gelegentlich übertreibe ich. Einige Folien werden hier übersprungen. Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

1 Sachanalyse zur Kreismessung
0 Einleitung Gliederung 0 Einleitung 1 Sachanalyse zur Kreismessung und Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung 2 Didaktische Analyse zur Kreismessung 3 Methodische Analyse 4 Mathematikunterricht aus dem Schulbuch 5 Schlussbemerkungen Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

0 Einleitung Quellen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathe-matik für den Mittleren Schulabschluss. Beschluss der Kultus-ministerkonferenz vom Hessisches Kultusministerium: Lehrplan Mathematik, Bildungsgang Realschule, Jahrgangsstufen 5 bis 10. Hessisches Kultusministerium: Abschlussarbeit Mathematik Bildungsgang Realschule, Versionen A und B, Haupttermin Führer, L.: Über einige Fragen künftiger Geometriedidaktik. math.did. 25(2002), Band 1, Kirsch, A.: Zur Mathematikausbildung der zukünftigen Lehrer - im Hinblick auf die Praxis des Geometrieunterrichts. JMD 1(1980), Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Profke, L.: Didaktik der Mathematik I, II. Vorlesung mit Übungen
0 Einleitung Profke, L.: Brauchen wir einen Mathematikunterricht? Mathematik in der Schule 33(1995), frei nach: Brauchen wir einen Geometrieunterricht? Vortrag 1994 AK Geometrie in Heidelberg Festhalten an alten Gewohnheiten - Stillstand als Trend? (?) In: Parisot, K. J.; Vasarhely, E. (Hrsg.): Trends im Geometrieunterricht. Salzburg: Abakus 1996, S Profke, L.: Didaktik der Mathematik I, II. Vorlesung mit Übungen Aufgaben der Geometriedidaktik in der Lehrerausbildung Vortrag 1996 AK Geometrie in Rummelsberg Grundlagen der Schulgeometrie - Inhalte und Qualifika-tionen. Vortrag 1999 AK Geometrie in Ottmaring Geometrieunterricht in der Grundschule - was sollte der Lehrer können. Vortrag 2003 AK Geometrie in Soest Einsehen und herunterladen unter Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

1 Sachanalyse zur Kreismessung
Was soll eine Sachanalyse leisten? Über Mathematik nachdenken Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

1 Sachanalyse: Warum eine Sachanalyse?
Was soll eine Sachanalyse leisten? Eine Hintergrundstheorie des Lehrers reaktivieren Soll, darf er die Sachanalyse von Anfang an auf die Lerngruppe ausrichten? „Das können meine (Haupt-, Real-) Schüler nicht.“ Ehrliches Argument oder Ausrede für eigene Schwierig-keiten mit der Mathematik? Wie ausführlich muss diese Hintergrundstheorie des Lehrers entwickelt sein (und dargestellt werden)? Welche Begriffe, Sätze und Verfahren? In welcher Jahrgangsstufe? Verschiedene Entwicklungen des Gebietes? Zuerst Formel U = ·d „herleiten“, dann A = ·r2 oder umgekehrte Reihenfolge Mehrere Herleitungen von Sätzen und Verfahren? Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

1 Sachanalyse: Warum eine Sachanalyse?
Welche Probleme treten bei der Kreismessung auf? Existenz von Formeln für Umfang und Flächeninhalt jedem unvoreingenommenem Menschen klar Art der Maßfunktionen bei Kreisen: Proportionalität d  U(d) evident: U(d) = 1·d r2  A(r) sicherlich sehr einfach, Proportionalität A(r) = 2·r2 auch evident? Zusammenhang zwischen 1 und 2: 1 = 2 =  Numerisch effektive Verfahren zur Berechnung von  Bogenlänge und Flächeninhalt muss für Gekrümmtes (in Ebene und Raum) erst definiert werden, aber nur im Rahmen einer axiomatisch-deduktiven Theorie der (Raum-) Geometrie. Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

1 Sachanalyse: Metamathematisches
Über Mathematik nachdenken Verallgemeinern eines Konzepts Länge von Kurvestücken, Flächeninhalt krummlinig berandeter und gekrümmter Flächenstücke Handlungsvorstellungen ausformen und mathematisch modellieren Reale Sachverhalte und ihre mathematischen Modelle von-einander unterscheiden Geometrische Objekte sind Gedankengebilde: ihre Eigenschaften fordert man oder sichert sie durch Nachdenken; nur für sie treten die mathematischen Probleme auf:  als transzendente Zahl In der Praxis genügen Näherungen. Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Was braucht man zum Bearbeiten realer Sachverhalte? Hineinsehen verfügbarer mathematischer Konzepte Dabei erforderliche Vereinfachungen vornehmen und kontrollieren Effektive Verfahren Berechnungsformeln für Kreisförmiges Wie verändert sich eine Größe, wenn ...? Umfang und Flächeninhalt von Kreisen bei Verviel-fachen ihrer Durchmesser Verwenden von Informationsquellen Informationen auf Glaubwürdigkeit prüfen Wichtige Aufgabe der Mathematik: bereit stellen von Rezepten Grundsätze numerischen Rechnens Folie 32 Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

1 Sachanalyse: Wesentliches
Was sollte eine Sachanalyse „unbedingt“ klären? Motiv: Warum beschäftigt man sich mit dem betreffenden Sachverhalt? Weshalb sind Parallelogramme bemerkenswert? Wieso soll man ein Konstruktionsproblem lösen? Was ist das Besondere an Dreieckskongruenzsätzen? Kern: Welches sind die eigentlichen Probleme? Metamathematisches zum betreffenden Sachverhalt Weg: Wie kommt man (der Schüler) auf das Motiv, den Kern und auf Antworten? Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

1 Sachanalyse: Mathematiklehrerausbildung
Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung Wo sollte der angehende Lehrer die Fähigkeiten für Sach-analysen erwerben? Auf der Universität in Veranstaltungen zur Mathematik dabei mathematisches Denken vermitteln zu Lasten schnell vergessenen Wissens Darf man jedem (auch dem mittelmäßigen) Lehrer eine solche Sachanalyse zumuten? Wirkt sich die Sachanalyse auf den realen Mathematik-unterricht aus oder stellt sie nur ein Ritual dar in der Referendars-ausbildung? Viele Lehrer halten sich eng an das eingeführte Schulbuch oder sonstige verfügbare Unterrichtsmaterialien. Warum nicht? Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Wer muss eine Sachanalyse durchführen (können)? Einzelne Expertenlehrer an jeder Schule, in einem Schulverbund, ... Schulbuchautoren, Lehrplankonstrukteure? Wie soll eine Sachanalyse zu einem Thema entstehen? Jedes Schuljahr ganz neu, oder nur bei geplanten Änderungen und dann weitgehend Vorlagen nachvollziehend? Didaktische Funktionen von Sachanalysen in der ersten und der zweiten Phase der Mathematiklehrerausbildung: Auslegung und Bewertung von Lehrgängen, Lehrplänen, Bildungsstandards Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Die Fragen reizen zur Differenzierung. Die Antworten werden dadurch nicht leichter: Wo sollen Grenzen verlaufen? Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

2 Didaktische Analyse zur Kreismessung
Auswahl von Lehrzielen Didaktische Prinzipien Entscheidungen Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

2 Didaktische Analyse: Auswahl von Lehrzielen
Was soll man erreichen wollen? Vgl. Checkliste zur Unterrichtsvorbereitung (Folie 21) Mögliche Entscheidungshilfen: Schulbuch, sonstiges Unterrichtsmaterial Lehrplan Abschlussprüfungen Bildungsstandards (Folie 24) Beobachtungen: Auf Handlungsvorstellungen zu geometrischen Größen greift man frühestens bei bestimmtem Integralen zurück. Man benutzt später nur noch die Formeln. Berechnungsverfahren von  bleiben isoliert. Ein Nachdenken über Mathematik findet in Schulbüchern nicht statt. (Folie 13) Folie 47 Folie 32 Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Checkliste zur Unterrichtsvorbereitung: Seite 1
Was will ich erreichen mit der Behandlung dieses Inhalts? “Ich”: Der Lehrer als Repräsentant und Beauftragter der Gesellschaft sowie als Anwalt seiner Schüler. Frage meint allgemeine und spezielle Lehrziele. Mit welchen Schülern? Problem der Differenzierung nach Leistungsvermögen und nach Interesse Lerngruppe nicht als Kollektiv fiktiver mittlerer Schüler behandeln, sondern jeden Schüler als Individuum. Was kann ich erreichen? Keine unerfüllbaren Forderungen stellen. Nicht zu wenig verlangen. Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Weshalb setze ich gerade diese Ziele? Abwägen zwischen allgemeiner Bildung und speziellen Wünschen Konzentrieren auf Wesentliches Wie gehe ich vor, um die gewählten Ziele zu erreichen? Mit welcher “Wolle stricken”? Frage nach der methodischen Entwicklung des Stoffs Frage nach den Aktivitäten von Schülern und des Lehrer, nach der Gestaltung der Unterrichtskultur Frage nach dem Einsatz von Medien Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Habe ich Erfolg? Welchen Erfolg verspricht der Plan? Frage nach Lernerfolgskontrollen: Woran erkenne ich, welche Ziele wie gut oder schlecht im Unterricht erreicht werden? Kritische Nachbereitung von Planung und Unterricht Gibt es andere, vielleicht bessere Gelegenheiten, meine Ziele zu erreichen? “Konkurrenz belebt das Geschäft.” Zum Wettbewerb zugelassen sind andere Themen des-selben Fachs und andere Fächer. Weg vom Egoismus des eigenen Fachs. Das “Ganze von Schule” über die Interessen eines Faches stellen. Folie 20 Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Hessisches Kultusministerium: Lehrplan Mathematik, Bildungsgang Realschule, Jahrgangsstufen 5 bis 10. Teil A Grundlegung für das Unterrichtsfach Mathematik Zeitgemäße Allgemeinbildung: In erster Linie die Befähigung zur Bewältigung von Anforderungen aus der Lebenswelt Entwicklung inhaltlicher, anwendungsbezogener Vorstellungen zu mathematischen Begriffen Teil B Unterrichtspraktischer Teil 9.4 Berechnung von Kreisen Verbindlich: Herleitung und Berechnung der Länge eines Kreisbogens sowie des Flächeninhalts eines Kreisausschnitts, Sachaufgaben hierzu Fakultativ:  als irrationale Zahl Arbeitsmethoden: Computerberechnung der Zahl , Messen von Größen am Fahrrad Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Abschlussprofil der Jahrgangsstufe 10 Fähigkeiten, Fertigkeiten, Qualifikationen: Überschaubare Größen abschätzen Umfangs- und Flächenberechnungen am Rechteck, …, Kreis einschließlich der Umkehraufgaben Informationen beschaffen Kenntnisse: Wesentliche Formeln der Flächenberech-nung (auch der Längenberechnung?) Methoden: Schätzen, Messen und sinnvolles Runden, Sachaufgaben mit Hilfe der Mathematik beschreiben und lösen Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Hessisches Kultusministerium: Abschlussarbeit Mathematik Bildungsgang Realschule, Versionen A und B, Keine Berechnung von Kreisteilen Hessisches Kultusministerium: Abschlussarbeit Mathematik Bildungsgang Hauptschule, Version B, Teil2 (Taschenrechner erlaubt) Aufgabe 7 Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss 1 Der Beitrag des Faches Mathematik zur Bildung Grunderfahrungen ermöglichen Mathematik ... in der Bedeutung für die Beschrei-bung und Bearbeitung von Aufgaben und Proble-men inner- und außerhalb der Mathematik kennen und begreifen 2 Allgemeine mathematische Kompetenzen im Fach Mathematik (K 1) Mathematisch argumentieren Fragen stellen, die für die Mathematik charakteris-tisch sind ( ... ) und Vermutungen begründet äußern Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

(K 2) Probleme mathematisch lösen vorgegebene und selbst formulierte Probleme bearbeiten, dabei geeignete heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien auswählen und anwenden die Plausibilität von Ergebnissen überprüfen Lösungswege und das Finden von Lösungsideen reflektieren. (K 3) Mathematisch modellieren (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden unterschiedliche Darstellungsformen je nach Situation und Zweck auswählen und zwischen ihnen wechseln (K 6) Kommunizieren Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse dokumentieren Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

3.2 Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen (L 1) Leitidee Zahl runden Rechenergebnisse entsprechend dem Sachverhalt sinnvoll Ergebnisse in Sachsituationen prüfen und interpretieren (L 4) Leitidee Messen Grundprinzip des Messens nutzen, auch in Naturwissenschaften und in anderen Bereichen Flächeninhalt und Umfang von einfachen Figuren berechnen in der Umwelt gezielt Messungen vornehmen, mit Maßangaben rechnen, die Ergebnisse sowie den Rechenweg in der Sachsituation bewerten Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

(L 3) Leitidee Raum und Form geometrische Figuren im Koordinatensystem darstellen Sätze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen, Berechnungen und Beweisen anwenden (L 4) Leitidee Funktionaler Zusammenhang Funktionen nutzen zum Beschreiben quantitativer Zusammenhänge, funktionale Zusammenhänge sprachlich, graphisch tabellarisch, sowie gegebenenfalls durch einen Term darstellen 4 Aufgabenbeispiele (keine) Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

„Nachdenken über Mathematik“ findet man nur versteckt in den Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss: 2 Allgemeine mathematische Kompetenzen im Fach Mathematik (K 1) Mathematisch argumentieren (K 2) Probleme mathematisch lösen 3.1 Mathematische Leitideen Standards für inhaltsbezogene mathematische Kompe- tenzen ... sind jeweils ausgewählten mathematischen Leitideen zugeordnet, um Verständnis von grundlegen- den mathematischen Konzepten zu erreichen, Besond- erheiten mathematischen Denkens zu verdeutlichen sowie Bedeutung und Funktion der Mathematik für die Gestaltung und Erkenntnis der Welt erfahren zu lassen. Folie 20 Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Was geht verloren, verzichtet man hier auf gewisse Lehrziele? Gibt es andere bessere Möglichkeiten für diese Lehrziele? Mathematische Kompetenzen: Herleiten von Formeln: Vielecke Messen: Sachaufgaben Wie verändert sich eine Größe, wenn ...? ... Effektive Algorithmen konstruieren: schriftliche Rechenverfahren, Gleichungslehre, ... Numerische Fähigkeiten: Sachaufgaben Nachdenken über Mathematik: Verallgemeinern von Begriffen: Zahl, Rechen-operation, Funktion, Figur, Größe, ... Reale Sachverhalte von ihren mathematischen Modelle unterscheiden: Sachaufgaben, Zufall usw. Folie 13 Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Allgemeinere Lehrziele erreicht man nur langfristig bei besonders typischen Gelegenheiten und mit geeigneten Unterrichtsmethoden, vor allem mit Muße. Bei einem Thema nicht alles wollen. Lehrziele und Lehrgang Lehrziele zu setzen genügt nicht, um sie auch zu erreichen. Konstruiere zu gewünschten (speziellen und allge-meineren) Lehrzielen einen verträglichen Lehrgang. Analysiere vorliegenden Lehrgang auf Lehrziele, die sich mit ihm verknüpfen lassen. Dies auch beim eigenen Unterrichtsentwurf Kombiniere Beides miteinander. Folie 44 Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

2 Didaktische Analyse: Mögliche Lehrziele
Auszug aus Profke, L.: Didaktik der Mathematik I. Vorlesung mit Übungen SS 2004 1 Aufgaben und Ziele des Mathematikunterrichts 1.3 Beispiel Kreismessung Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

2 Didaktische Analyse: Mögliche Lehrziele
Mögliche Lehrziele durch Analyse von Lehrgängen Formeln U(d) =  d und A(r) =  r² kennen und sicher anwenden. Mit den Formeln anschauliche Vorstellungen verbinden. Änderung von Umfang und Flächeninhalt bei ähnlicher Transfor-mation einer Figur kennen. Einsehen, dass gilt: (1) U(d) : d = 1 und A(r) : r2 = 2 (2) 1 = 2 Zahlenwert für  näherungsweise bestimmen. Herleitungen der Formeln verstehen. Erkenntnisse in der Mathematik experimentell gewinnen. Mathematische Konzepte Länge und Flächeninhalt erweitern. Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

2 Didaktische Analyse: Geometrische Größen berechnen (1)
Spezielle Lehrziele als Beitrag zu allgemeineren Lehrzielen Formeln kennen und sicher anwenden. Formeln vernünftig gebrauchen können: Formeln syntaktisch und semantisch verstehen. Formeln auf Plausibilität prüfen. Angemessenheit von Formeln beurteilen. Informationen beschaffen und verwerten können. Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

2 Didaktische Analyse: Geometrische Größen berechnen (2)
Veranschaulichung und Plausibilitätsprüfung Umfang(Sechseck) < Kreisumfang < Umfang(Quadrat) 6·r = 3·d < U(d) < 4·d „<“ -Zeichen: Ränder der Figuren als gespannte Gummibänder Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

2 Didaktische Analyse: Transformation von Größen (1)
Änderungen von Umfang und Flächeninhalt bei ähnlicher Transformation einer Figur kennen, zunächst für Kreise, dann für beliebige ebene Figuren: durch Nachrechnen anhand von Formeln durch Mittransformieren des Messverfahrens anschaulich durch Konstanz von Anteilen Änderung von Oberflächeninhalten und Rauminhalten bei ähnlicher Transformation Änderung physikalischer Größen bei Transformationen Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

2 Didaktische Analyse: Transformation von Größen (2)
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2 Didaktische Analyse: U(d):d = A(r):r2 =  (1)
Einsehen, dass gilt: (1) U(d) : d = 1 und A(r) : r2 = 2 (2) 1 = 2 Vermutungen sind zu bestätigen oder zu widerlegen: für der Praxis genügt 1  3,14  2 , in der Geometrie ist entweder 1 = 2 oder 1  2. Logische Abhängigkeit von Aussagen untersuchen. Aus U(d) = ·d folgt A(r) = ·r2 und umgekehrt. Zwischen realen Objekten und idealen geometrischen Figuren unterscheiden. Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

2 Didaktische Analyse: U(d):d = A(r):r2 =  (2)

2 Didaktische Analyse: Geometrische Größen messen
Erkenntnisse in der Mathematik experimentell gewinnen. Bogenlängen und Flächeninhalte einzelner Objekte empirisch bestimmen können. Durch Experimente Gesetzmäßigkeiten suchen Naturwissenschaftliche Arbeitsweise kennen: Welche und wie viele Daten sammeln? Vernünftige Messgenauigkeit anstreben und berücksichtigen Daten übersichtlich darstellen. Plausible Vermutungen aufstellen. Vermutungen testen, Extremfälle untersuchen. Vermutungen theoretisch verstehen wollen, Zusammenhänge mit anderen Erkenntnissen herstellen. Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

2 Didaktische Analyse: Zahlenwert für  bestimmen
Zahlenwert für  näherungsweise bestimmen. Punktschätzung aus einer Messung gewinnen:   3,14 Intervallschätzungen angeben: 3 <  < 4 Beliebig genaue Eingrenzungen durch Angabe von Bildungsgesetzen Näherungswerte von Zahlen bestimmen. Mit Näherungswerten umgehen. Funktion von Zahlensymbol und (dezimalem) Zahlenwert einschätzen. Symbole wie , 3, sin(10°) erleichtern das Wieder- erkennen von Zahlen. Bedeutung „exakter“ Ergebnisse Aus c  3,14 folgt noch nicht c = . Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

2 Didaktische Analyse: Didaktische Prinzipien
Didaktische Prinzipien berücksichtigen Lehrziele festigen und überprüfen: Schüler lernen allenfalls, was gefestigt und abgeprüft wird. Meistens hat eine Einführung andere Lehrziele als die Festigung und die Lernerfolgskontrolle. Dies gilt bereits für fachliche Ziele, erst recht für übergreifende (methodische, soziale, ... ) Ziele. Wozu also Herleitungen, Experimente, ... ? Verfahren zum Berechnen von  Durchführen von Messreihen Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Veranschaulichen, Handlungsorientierung, ... Was soll und kann man wie für wen veranschaulichen? d  U(d), Proportionalitätskonstante 1 r2  A(d), Proportionalitätskonstante 2 1 = 2 Handlungsorientierung ist mehr als Geschäftigsein. Was leisten experimentelle Zugänge? Umfang durch Abrollen messen formt Begriff der Bogenlänge aus, veranschaulicht auch d  U(d)??? Flächeninhalt durch Auswiegen bestimmen Gewicht  Flächeninhalt  ??? Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Einstieg und Motivation Überlegungen und Entscheidungen stützen durch pädagogisch-psychologische Theorien Leitendes Problem suchen Umfang und Flächeninhalt einer gegebenen Kreisfläche vs. Formeln für alle Kreisflächen Vorinformation geben Inhalt und Ziele Aufmerksamkeit gezielt auf den Unterrichtsgegenstand richten Animation genügt nicht. Verbindlichkeit von Tipps kritisch prüfen Viele sogenannte „didaktische Prinzipien“ beruhen auf unreflektierten Erfahrungen Einzelner, drücken Wünsche und Hoffnungen aus. Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

2 Didaktische Analyse: Entscheidungen
Mögliche Entscheidungen Entweder (1) Hauptlehrziel: Formeln U(d) =  d und A(r) =  r² kennen und sicher anwenden. dabei Formeln nachschlagen (Folie 20) als Beispiel für das Beschaffen von Informationen Ergänzendes Lehrziel: Formeln veranschaulichen oder (2) Hauptlehrziel: Bogenlängen und Flächeninhalte empirisch bestimmen können Ergänzendes Lehrziel: Durch Experimente Gesetzmäßigkeiten suchen als Beispiel für empirisches Vorgehen Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

2 Didaktische Analyse: Mathematiklehrerausbildung
Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung Wo sollte der angehende Lehrer die Fähigkeiten für didaktische Analysen erwerben? In mathematikdidaktischen Veranstaltungen (erste Phase) didaktische Analysen vormachen und trainieren, zuerst in Teilen bei „jeder“ Gelegenheit, dann an wenigen Beispielen komplett: Abzeichnen mit Hilfe von Rastern (ab Klasse 3) Wurzelrechnung Kreismessung ... einzelne Themen in einem Schulbuch, im Lehrplan, in Abschlussprüfungen, in den Bildungsstandards didaktisch analysieren. Positive und negative Beispiele Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Darf man jedem (auch dem mittelmäßigen) Lehrer eine solche didaktische Analyse zumuten? Vielen Lehrerstudenten fallen didaktische Analysen schwer. Wie wirkt sich eine didaktische Analyse auf den realen Mathematikunterricht aus? Viele Lehrer halten sich eng an das eingeführte Schul-buch oder sonstige verfügbare Unterrichtsmaterialien. Darf ein Lehrer sich didaktische Entscheidungen abnehmen lassen vom eingeführten Schulbuch, vom Lehrplan, ...? Warum nicht? Aber didaktische Entscheidungen können pädagogische Auswirkungen haben. Muss jeder Lehrer das Weglassen von Stoff können oder reichen kollegiale Abmachungen? Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Wer muss eine didaktische Analyse durchführen (können)? Einzelne Expertenlehrer an jeder Schule, in einem Schulverbund, ... ? Schulbuchautoren? Lehrplankonstrukteure? Wie soll eine didaktische Analyse zu einem Thema entstehen? Jedes Schuljahr ganz neu oder nur bei geplanten Änderungen und dann weitgehend Vorlagen nachvollziehend? Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Lehrziele und Unterrichtsmethoden Entdeckenlassend vs. darbietend
3 Methodische Analyse Lehrziele und Unterrichtsmethoden Entdeckenlassend vs. darbietend Lehrziele festigen Arbeitsblätter Unterrichtsentwurf Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

3 Methodische Analyse: Lehrziele und Methoden
Lehrziele und Unterrichtsmethoden Irgendeine Behandlung von Stoff sichert nicht das Erreichen von Lehrzielen. Entscheidend ist die Unterrichtskultur: Wie gehen Lehrer und Schüler miteinander und mit dem Stoff um? Schüler müssen ausreichend Gelegenheiten bekommen, wünschenswerte Aktivitäten auszuüben, zu lernen, zu festigen, anzuwenden. Beobachtung: Schüler lernen in jedem Unterricht etwas, aber oft Dinge, die wir nicht wünschen. Heimliche Lehrpläne beschreiben solche nicht beabsichtigten Auswirkungen. Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Negativbeispiele Lehrziel: Aufgaben selbstständig planen, ausführen, kontrollieren Tatsächlicher Mathematikunterricht: Kleinschrittiges enges Führen durch den Lehrer Über Richtig/Falsch entscheidet alleine der Lehrer. Lehrziel: Genau, zuverlässig, ausdauernd arbeiten; nachlässige Tafelbilder, schlampige Heftführung unpräzise Formulierungen bei Merksätzen Lehrer nimmt Schülern viele Mühen ab. Lehrziel: Argumentieren lernen Herleitungen wirkungslos, wenn der Lehrer fast alles nur vormacht, dann nur mechanische Übungen folgen. Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Lehrziel: Verstehen „Das habe ich verstanden“ meint oft nur die Abfolge von Handlungsschritten. Analysiere daher fertige Unterrichtsvorbereitung auf (nicht) beabsichtigte Auswirkungen, ebenso den gehaltenen Unterricht. Einheitliches Gestalten des Mathematikunterrichts in typischen Situationen? Einführen Begriff, Satz, Verfahren Festigen Anwenden Erleichterung für das Planen und methodische Starrheit? Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

3 Methodische Analyse: Selbsttätigkeit
Entdeckenlassend vs. darbietend Entdeckenlassendes Lehren Selbstständiges Entdecken durch Schüler kommt nur selten im Mathematikunterricht vor. Entdecken als Tätigkeit muss zuvor unter Anleitung gelernt werden: Entdeckenlassendes Lehren unter Führung Schüler sollen den Eindruck gewinnen: „Darauf hätte ich auch selbst kommen können.“ „Das habe ich selbst gefunden.“ Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Darbietendes Lehren Der Lehrer bereitet den Stoff inhaltlich und methodisch bis ins Einzelne auf und lehrt ihn plangemäß: Erarbeitend mit den Schülern oder ihnen darbietend Lernschwierigkeiten voraussehen und Wege zum Überwinden solcher Probleme planen. Sorgfältige methodische Stufung des Lehrstoffs Bereitstellen von Hilfen: Impulse, Hinweise, ... Vereinfachungen, didaktische Modelle Veranschaulichungen Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Entdeckenlassendes vs. darbietendes Lehren? Darbietender Unterricht möchte dieselben Ziele erreichen, welche beim entdeckenlassenden Lehren genannt sind. Häufig wird der Schüler auch im angeblich entdecken-lassenden Unterricht gegängelt: Sehr kleinschrittiges Vorgehen, damit möglichst alle Schüler ohne viel Nachdenken zu Erfolgen kommen (besonders bei Arbeitsblättern). Hilfen sind sehr direkt (verraten zu viel). Über die Brauchbarkeit von Schülerbeiträgen entscheidet meistens nur der Lehrer. Kein Vergleich verschiedener Bearbeitungswege. Nur selten wird die Wahl eines Weges begründet. Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Darbietender Unterricht kann auch produktive Leistungen von Schülern anregen. Dem Schüler Gelegenheit zur Eigentätigkeit und zu kleinen „Entdeckungen“ geben. Verschiedene Bearbeitungswege zulassen, anregen, ... Heuristische Hilfen thematisieren (vor, während, darnach). So wenig Hilfe geben wie möglich. Lehren nach der genetischen Methode „Genetisches Dozieren“ Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

3 Methodische Analyse: Lehrziele festigen
Allgemeinere Lehrziele festigen Zugehörige Aktivitäten muss jeder Schüler selbst (aus-) üben und der Lehrer kontrollieren und korrigieren. Einsichtiges Üben vs. rezeptartigem Nachvollziehen Verstehen vs. „Verstehen“ Durcharbeiten, Vertiefen Anfangs im Klassenunterricht fragend-entwickelnd festigen mit Hilfe des Lehrers: Nachfragen, wiederholen lassen, Wichtiges hervor-heben, an der Tafel festhalten, ... Musterlösung(en) vorbildliche Aufschriebe nicht zu schnell automatisieren (wenn überhaupt) Unterrichtsmaterialien enthalten nur selten Aufgaben zum Festigen allgemeinerer Lehrziele. Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

3 Methodische Analyse: Arbeitsblätter
sollen Schüler zur Eigentätigkeit veranlassen, entdecken-lassendes Lehren unterstützen und dem Lehrer Zeit geben, einzelnen Schülern zu helfen. Viele Arbeitsblätter erfüllen diese Zwecke nicht: s.o. sind festgelegt und können sich nicht spontan dem Unter-richtsgeschehen anpassen, wie man es vom Lehrer im Unter-richtsgespräch erwartet. erlauben dem Schüler, sein Arbeitstempo selbst zu wählen. Dieser Vorteil verwandelt sich oft in einen Nachteil: Wenn der Lehrer die Arbeit unterbricht, um für die Stunde ein ordentliches Ende zu finden. „Der Rest ist Hausaufgabe.“ erleichtern nach Leistungsvermögen differenzierten Unterricht. Folie 71 Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

3 Methodische Analyse: Unterrichtsentwurf (1)
Skizze eines Unterrichtsentwurfs (für alle Schularten) mit Texten für Tafel und Heft mit didaktisch-methodischen Kommentaren Hauptlehrziel: Formeln U(d) =  d und A(r) =  r² kennen und sicher anwenden. Ergänzendes Lehrziel: Formeln veranschaulichen Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Erste Stunde Einstieg Überschrift: Umfang und Flächeninhalt von Kreisen Aufgabe: Aus der Abschlussprüfung vom ... Wie groß ist der Umfang der gesamten Figur? Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Einführung Aufträge Übertrage die Figur ins Heft Überlege einen Berechnungsplan Figur als Tafelbild, OHP-Folie oder Arbeitsblatt Wiederholung zum geometrischen Konstruieren Impliziter Hinweis auf Zerlegen der Figur Impliziter Hinweis auf Formeln zum Berechnen geometrischer Größen bei einfachen Figuren Zusammenfassen (im Klassengespräch) Berechnungsplan: (1) Zerlege die Figur in ein Rechteck, ..., ihren Rand in ... (2) Berechne die Flächeninhalte und die Längen der Teile. (3) Die Summen ergeben die gesuchten Größen. Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Auftrag Durchführung !! ??? Problem (im Klassengespräch und in Einzelarbeit) Wie berechnet man den Flächeninhalt und die Länge eines Halbkreises? Wo findet man Informationen? Schulbuch, Formelsammlung, Internet Welche Größe lässt sich bei einem Halbkreis leicht messen? Welche Größen sollten in den Formeln vorkommen? ... Wie gehen wir mit den Informationen um? Was bedeuten die Buchstaben in den Formeln? Wie geht man mit anderen Bezeichnungen um? ... Wie muss man rechnen? ... Hausaufgabe: Löse die Prüfungsaufgabe Ende der Stunde Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Nächste Stunde Rückblick als Einstieg Hausaufgabenkontrolle als Lernerfolgskontrolle Einführung und Wiederholung Frage Wie kann man die berechneten Ergebnisse durch Überschlag prüfen? (1) Abschätzen von Flächeninhalten mit Hilfe annähernder Vielecke (2) Abschätzen von Kurvenlängen mit Hilfe einbeschriebener Streckenzüge Durchführung an Beispielen Information über Standardveranschaulichungen bei Kreisen Folien teilweise als Hausaufgabe Ende der Stunde Folie 70 Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

3 Methodische Analyse: Unterrichtsentwurf (5.1)
Veranschaulichung und Plausibilitätsprüfung Umfang(Sechseck) < Kreisumfang < Umfang(Quadrat) 6·r = 3·d < U < 4·d „<“ -Zeichen: Ränder der Figuren als gespannte Gummibänder Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Veranschaulichung und Plausibilitätsprüfung Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Veranschaulichung und Plausibilitätsprüfung Fläche(12-eck) < Kreisfläche < Fläche(Quadrat) Flächeninhalt(12-eck) = 3·r2 < Kreisflächeninhalt < 4·r2 Folie 65 Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Nächste Stunde Rückblick als Einstieg Hausaufgabenkontrolle Festigung planen Was muss man üben? Abschlussprüfungen, Bildungsstandards Mathematik heranziehen Wie sehen Übungsaufgaben aus? Schulbuchaufgaben einschätzen und lösen alles im Klassengespräch Übungen, Anwendungen erst gemeinsam, dann einzeln oder in Partnerarbeit Ende der Stunde Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

4 Mathematikunterricht aus dem Schulbuch

Lehrer unterrichtet eng nach einem Schulbuch. Dies ist der Regelfall. Heutige Schulbuchwerke für den Mathematikunterricht sind hierfür geschrieben. Lehrerhandbücher mit ausführlichen didaktischen und methodischen Hinweisen haben sich nur für die Primarstufe durchgesetzt. Die Mathematiklehrerausbildung muss dies berücksichtigen. Sachanalysen und didaktische Analysen (wie hier gezeigt) fallen vielen mittelmäßigen Lehrern (zu) schwer. Solche sind im Schulalltag auch viel zu zeitaufwändig. Ziel: mit einem Schulbuch Mathematikunterricht halten ohne großen Vorbereitungsaufwand Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Ideale Planung einer Unterrichtseinheit mit dem Schulbuch Materialien Schulbuch, Checkliste zur Unterrichtsvorbereitung Schulcurriculum, Lehrplan, Abschlussprüfungen, Bildungsstandards Mathematik Kerninhalte der Unterrichtseinheit festlegen „Weniger ist mehr!“ Analysen der Vorschläge im Schulbuch Lehrzielanalysen von Einführung und Festigungen Lassen sich mit den gefundenen Lehrziele allgemeinere Ziele verknüpfen? Kritik von Motivation, Veranschaulichungen, didaktischen Modellen Sind sie dem Schüler zugänglich? Leisten sie, was sie sollen? Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Auswahl von Lehrzielen „Weniger ist mehr!“ Allgemeinere Lehrziele nicht vergessen Lehrplan, Abschlussprüfungen, Bildungsstandards Mathematik berücksichtigen Rechtfertigen der Auswahl für sich selbst Stoffanordnung festlegen anhand des Buches oder anderer Materialien Wahl von Unterrichtsmethoden verträglich mit den gesetzten Lehrzielen Rückblick auf den Plan Kritik, Korrektur besonders nach gehaltenem Unterricht Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Planungen für einen Mathematikunterricht aus dem Schulbuch in allen drei Phasen der Lehrerausbildung zeigen und durchführen lassen, darüber reden, Planungsentscheidungen begründen, gelegentlich zu einer großen Unterrichtsvorbereitung ausweiten. Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

4 Schlussbemerkungen Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Was soll eine große Unterrichtsvorbereitung?
4 Schlussbemerkungen Was soll eine große Unterrichtsvorbereitung? Man verlangt sie nur im Referendariat und bei Bewerbungen. Nicht einmal beim Schreiben von Schulbüchern und Konstruieren von Lehrplänen werden solche erstellt. Die Ausbildung von Mathematiklehrern muss ein Repertoire von Unterrichtsmethoden, ein Archiv mit erprobten Vorlagen zu Standardthemen des Mathematikunterrichts, akzeptable „Weltbilder“ zur Mathematik und zum Unterricht. aufbauen auch beim mittelmäßigen Absolventen durch das bewusste Arbeiten mit fertigen und gut dokumentierten Unterrichtsmaterialien. Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Ausbildung am Mittelmaß ausrichten
4 Schlussbemerkungen Ausbildung am Mittelmaß ausrichten Anstrengungen zur Verbesserung des Mathematikunterrichts bauen zu sehr auf gute Lehrer, die man erfahrungsgemäß nicht in ausreichender Zahl hat und auch nicht bekommen wird. Die Ausbildung von Mathematiklehrern muss in allen Phasen berücksichtigen, dass Mittelmaß sowohl bei den (angehenden) Lehrern als auch bei den Ausbildern überwiegt. Keine Forderungen stellen, die nur wenige erfüllen können. Aber auch nicht „weiter wie bisher“. Wenig hilfreich für die meisten sind ausgefallene neue Themen („Orchideen“), seltene Unterrichtsformen (Projekt, Gruppenpuzzle, ...) Wichtig sind Vorschläge zum Behandeln von Standardstoffen mit bescheidenen Ausbildungszielen Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

ist kein Vorwurf an betroffene Lehrer, Studenten, Ausbilder,
4 Schlussbemerkungen „Mittelmaß“ ist kein Vorwurf an betroffene Lehrer, Studenten, Ausbilder, sondern eine Tatsachenbeschreibung (wie für jede Tätigkeit in Alltag und Beruf), ist ein Vorwurf an Pädagogik, Fachdidaktik, Politik, ..., diese Tatsache nicht zu berücksichtigen. Profke, AK Geometrie, , Marktbreit

Lehrerkompetenzen für den Geometrieunterricht erörtert an einer „großen Unterrichtsvorbereitung“ zum Thema Kreismessung Lothar Profke Institut für Didaktik.

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