GeoNet Seminar Theta-Graph. Strukturen Motivation Definition von Theta-Graph Beispiel nach der Definition Eingenschafen von Theta-Graph Implemetierungsalgorithmus.

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1 GeoNet Seminar Theta-Graph

2 Strukturen Motivation Definition von Theta-Graph Beispiel nach der Definition Eingenschafen von Theta-Graph Implemetierungsalgorithmus von Theta-Graph Beispiel nach des Algorithmus Definition des Spanners Theta-Graph ist Spanner Beweis Folgerung

3 Motivation Realisierung Spanner (approximativ vollständiger Graph ) Entwicklung der Approximationsalgorithmen oder in der Heuristik

4 Definition von Theta-Graph Theta-Graph In Fläche um jeden Knote in Sektoren von Koordinatesystem mit dem örtlichfestgelegten Winkel und schließen den Knote an den nächsten Nachbar in jedem Sektor

5 Beispiel nach der Definition

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28 Eingenschafen von Theta-Graph =,wobei k ist eine Ganzzahl(k > 8) Jeder Knoten hat höchsten k Kanten Im allgemeinen hat ein Knoten Typ i Kanten wobei 1<=i<=k und der winkel von eine kante und x-coordinate ist.

29 Implemetierungsalgorithmus von Theta-Graph Methode Man findet alle Kanten nach Typ i (zuerste ist Typ1, dann ist Typ2, usw.) für jede Knote. Defintion Drei Ordnungen : In jeder Ordnung werden die Knoten durch die Einrichtung ihrer Projektionen auf die orientierte Linie georgernet,die durch den Nullpunkt einen Winkel von mit der X-Achse bildet.

30 Ordnung : Implemetierungsalgorithmus von Theta-Graph

31 ImplemetierungsAlgrorithmus 1) Insert point p into table T. 2) If p has a predecessor q in T then report that pq is a type i edge. 3) Repeat Forver If p has a successor r in T then If (r) > (p) then delete r from T else exit loop Bemerkung: 1) Abtastung in unaufsteigender Ordnung 2) Am Anfang ist Tablle T leer 3) Nach Ordnung stecketet die neue Knote ein Implemetierungsalgorithmus von Theta-Graph

32 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus

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34 = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus

35 = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j}

36 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a}

37 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) a

38 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) a

39 = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus KnotenKanten(Typ 1) a

40 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) c a

41 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) c a

42 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) c a

43 = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus KnotenKanten(Typ 1) c b a

44 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) c b abc,

45 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) c b (a)bc,

46 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) c d b (a)bc,

47 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) c d b (a)bc,dc,

48 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) c d b (a)bc,dc,

49 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) g c d b (a)bc,dc,

50 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) g c d b (a)bc,dc,

51 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) g c d b (a)bc,dc,

52 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) g c d e b (a)bc,dc,

53 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) g c d e b (a)bc,dc,ed

54 = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus KnotenKanten(Typ 1) g c d e (b) (a)bc,dc,ed

55 = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus KnotenKanten(Typ 1) g c f d e (b) (a)bc,dc,ed

56 = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus KnotenKanten(Typ 1) g c f d e (b) (a)bc,dc,ed,fc

57 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) g c f d e (b) (a)bc,dc,ed,fc

58 = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus KnotenKanten(Typ 1) g h c f d e (b) (a)bc,dc,ed,fc

59 = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus KnotenKanten(Typ 1) g h c f d e (b) (a)bc,dc,ed,fc,hg

60 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) g h (c) f d e (b) (a)bc,dc,ed,fc,hg

61 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) i g h (c) f d e (b) (a)bc,dc,ed,fc,hg

62 = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus KnotenKanten(Typ 1) i g h (c) f d e (b) (a)bc,dc,ed,fc,hg

63 = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus KnotenKanten(Typ 1) i (g) h (c) f d e (b) (a)bc,dc,ed,fc,hg

64 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) i (g) h j (c) f d e (b) (a)bc,dc,ed,fc,hg

65 Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) i (g) h j (c) f d e (b) (a)bc,dc,ed,fc,hg, jh

66 = {e,b,a,j,d,f,h,c,i,g} = {a,c,b,d,g,e,f,h,i,j} = {i,g,h,j,c,f,d,e,b,a} KnotenKanten(Typ 1) i (g) h j (c) (f) (d) e (b) (a)bc,dc,ed,fc,hg, jh Beispiel Nach Implemetierungsalgorithmus

67 Vergleichen

68 Definition des Spanners Difintion p,q= zwei beliebige konten in graph G d(p,q)=euklidische distanz G(p,q)=länge eines kürzesten wegs in graph G Spanner Spanner ist ein Subgraph von G und im Spanner ist der Maximalwert des Verhältnisse G(p,q) / d(p,q) in konstantem Rahmen.

69 Theta-Graph ist Spanner Definiton : L änge eines kürzesten Wegs von p bis q in theta-graph m: die Anzahl von Knoten in d(p,q) : euklidische distanz Lemma Wenn es ein kürzesten Weg von p bis q in Theta-graph, (k ist eine Ganzzahl und k > 8 ) gibt, und der Weg fährt über m Knoten durch,dann

70 Beweis des Lemmas Methode durch Induktionsbeweis Definition : n-te Knoten im Weg von p bis q in theta- graph ( 0<=i<=m ),davon : Länge eines kürzesten Wegs von p bis q in theta-graph : Länge eines Wegs p bis q in theta- graph mit solche Beschränkung:

71 Beschränkung für : Wenn der Winkel von und x-achse ist d.h ist ein Kanten von Typ i,dann ist die Kanten von auch Typ i Offenbar: Beweis des Lemmas

72 Falls wir bewiesen haben, dann gilt auch Beweis des Lemmas

73 1) Wenn m=0 ist, dann ist ; 2)Annahme: ist richtig Claim: Verhältnis hat Maximumswert,genau dann wenn (a) q im x-achse ist (b) der Winkel von und x-achse maximal ( ) hat Beweis des Lemmas

74 Setzt in p ein => und => Beweis des Claims

75 q und werden sich im beschränkte Rahmen ( )beweget,aber die Verhältnis wird nicht weniger,d.h. und werden nicht weniger,und wird sich nicht erhöht. Beweis des Claims

76 Falls < ist,dann müssen wir und umtauschen,dann werden und nicht weniger,und wird sich nicht erhöht,wenn q sich um ins x-achse dreht. => Beweis des Claims

77 (a) q ist im x-achse Beweis des Claims wenn q sich um ins x- achse dreht, ändern und nicht,und > => wird sich nicht erhöht. D.h wenn q im x-achse ist,dann ist minimal.

78 (b) der Winkel von und x-achse maximal ( ) hat Beweis des Claims Wenn sich entlang y-coordinate beweget,dann wird vergrössert aber, und werden sich erhöht,aber ändert nicht D.h.wenn ist,dann ist maximal.

79 => Nach Claim,ist und ist minimal und ist maximal. => Beweis des Lemmas

80 3) Setzt und ein => Beweis des Lemmas

81 => Beweis des Lemmas

82 Folgerung Wenn im theta-graph ist und k>8, dann ist,deshalb ist Verhältnisse =B kB 104.52 151.97 201.56 251.39 301.30 351.24 401.20

83 GeoNet Seminar Schönen Dank