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Veröffentlicht von:Waldemar Dresdner Geändert vor über 8 Jahren
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Escherization Craig S. KaplanDavid H. Salesin Präsentation von Matthias Kaufmann Fachseminar Aktuelle Themen der graphischen Datenverarbeitung Institut für wissenschaftliches Rechnen, ETH Zürich 6. Juni 2001
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Motivation M. C. Escher -holländischer Grafiker -1898-1972 inspiriert durch orientalische Verzierungen entwickelte seine Bilder durch „Ausprobieren“
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Motivation Ziel: automatische Erzeugung von Pseudo-Escherbildern Algorithmus benötigt Vorlage Escherisierungs- Algorithmus Input Output
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Übersicht Tile Ähnlichkeit von Polygonen Optimierung Generierung Resultate
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Tile - Definitionen Tiling Tilingeigenschaft eines Polygons Tile: Grundbaustein eines Tilings Vorlage normalerweise kein Tile Hauptproblem: wie Vorlage abändern, dass sie nur leicht vom Original abweicht und Tilingeigenschaft erlangt Escherisierungsproblem Gegeben ein Polygon S, finde zweites Polygon T, so dass: T und S sind „möglichst ähnlich“ Kopien von T passen zusammen und füllen Ebene
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Tile - Polygone Beschränkung auf Polygone einfache Manipulierbarkeit nur wesentliche Ecken/Kanten betrachten
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Tile - Isoeder Beschränkung auf Klasse der Isoeder 93 Isoedertypen Eigenschaften eines Isoeders: –Tilingeigenschaft –Verschiebungseinheit erzeugt Tiling nur durch Translation –alle Elemente einer Verschiebungseinheit haben verschiedene Orientierungen und Farben –Abbildung eines beliebigen Isoeders auf anderes bildet gesamtes Tiling auf sich selber ab –jede Ecke hat dieselbe Wertigkeit
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Tile - Isoeder Isoeder
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Tile - Isoeder jeder Isoedertyp definiert, –welche Bedingungen für die Tilingeigenschaft eingehalten werden müssen –wie einzelne Isoeder zu einem Tiling zusammengefügt werden müssen –Abhängigkeiten bei Kantendeformationen –Anzahl Farben für Escherbild formale Beschreibung nötig Parametrisierung Inzidenzsymbol
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Tile - Isoederparametrisierung Bedingungen für Tilingeigenschaft Parametrisierung notwendig für Manipulation 0 bis 6 Freiheitsgrade Parameter
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Tile – Inzidenzsymbol Konstruktion: 1.Bezeichnung / Richtung für jede Kante 2.bei symmetrischen Kanten Bezeichnung entsprechend kopieren 3.Bezeichnungen im Gegen- uhrzeigersinn aufschreiben (+/-) 4.Symbole kopieren 5.für jede Bezeichnung die Symbole der entsprechen- den Nachbarskante aufschreiben (mit umge- kehrtem Vorzeichen) nicht eindeutig [a + b + c + c - b - a - ; a - c + b + ] a b c c b a a a c b b c
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Tile - Kantensymmetrien bis jetzt nur einfache Isoeder mit geraden Kanten weiterer Freiheits- grad: Kanten Bedingungen aus Inzidenzsymbol ableitbar 4 Kantentypen: S,U,I,J [...a +...;...a +...]
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Tile - Kantensymmetrien [...a +...;...a -...][...a...;...b x...][...a +/-...;...b +/-...] [...a...;...a...]
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Ähnlichkeit von Polygonen vollständige Beschreibung von Isoedern mittels Parametrisierung (inklusive Kanten) Metrik, um Polygone zu vergleichen: –Input: zwei Polygone –0 bei kongruenten Polygonen –je grösser Unähnlichkeit, desto grösser Wert –unabhängig von Rotation, Skalierung, Translation Idee: –Repräsentation als Drehfunktion –Normierung
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Optimierung Ziel: in Parameterraum aller Isoeder dasjenige mit grösstmöglicher Ähnlichkeit finden Tilingeigenschaft automatisch erfüllt Optimierungsproblem optimale Lösung schwierig zu finden Approximationsalgorithmus Simulated Annealing
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Optimierung Input: Vorlagenpolygon Output: ähnliches Polygon mit Tilingeigenschaft (Isoeder) Idee: Aufwand nur bei Isoedern mit Chance Algorithmus: 1.kreiere eine Instanz jedes Isoedertyps 2. 1. verbessere jede Instanz, so dass sie Vorlage ähnlicher wird 2. entferne sehr „schlechte“ Instanzen 3.iteriere 2., bis noch eine einzige Instanz übrig bleibt
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Optimierung Verbesserung eines Tile: for i := 1..n do while „Temperatur noch zu hoch“ do verbessere Tile mittels Parameter und Metrik reduziere Temperatur od glätte, wo sinnvoll, Ecken füge neue Ecken ein reduziere Minimaltemperatur od
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Optimierung
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Generierung Polygon mit Tilingeigenschaft Textur Markierungen zum Übertragen der Originaltextur Automatisierung möglich eventuell manuelle Nachbearbeitung nötig
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Generierung Füllen der Ebene –Tile mittels Inzidenzsymbol und Isoederinformation kopieren –Verschiebungseinheit „bleichen“ Farbtöne einbringen Maleffekte
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Resultate
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je komplizierter Form, desto länger Optimierungsdauer schlecht approximierbare Figuren Verbesserung: Kantengewichte weniger comic-mässig als Escherbilder manuelle Nachbearbeitung kann Lösung verbessern
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Zusammenfassung Input: Polygon der Vorlage die Parameter eines Isoeders so wählen, dass Ähnlichkeit zum Vorlagenpolygon maximal wird (Optimierung) Isoeder texturieren und Escherbild generieren
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Meinung Resultate überzeugend Aufwand riesig: –Parametrisierung Isoeder –Kantenparametrisierung –Simulated Annealing –Simplex –Grafiktools für einfache Manipulation Verwendbarkeit? Grafiker, Verschnittminimierung andere Verfahren?
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Literatur, Links http://www.cs.washington.edu/homes/csk/tile/ papers/kaplan_siggraph2000.pdf Grünbaum und Shephard: Tilings and Patterns, W. H. Freeman, 1987 Arkin et al., An efficiently computable metric for comparing polygonal shapes, PAMI(13), Nr. 3, März 1991, S. 209-216 www.mcescher.com, www.worldofescher.com
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