Mathematik in der Natur

Präsentation zum Thema: "Mathematik in der Natur"—  Präsentation transkript:

1 Mathematik in der Natur
am Beispiel Fibonacci-Folge und Goldener Schnitt Aktuelle Themen der Fachdidaktik Christoph Eidenberger

2 Voraussetzungen, Lehrplan
abgeschlossenes Kapitel „Folgen“ rekursiv angegebene Folgen Konvergenz Im Lehrplan in der 10. Schulstufe vorgesehen

3 Grober Umriss 1. Einheit: Behandlung der Fibonacci-Folge anhand der Vermehrung von Bienen (Arbeitsblatt, Partnerarbeit) a) menschlicher Stammbaum:

4 b) Ahnentafel einer Drohne (Vorwissen aus Biologie)

5 anderer Zugang: Kaninchenpopulation
c) Ende der Stunde: Vergleich der Ergebnisse und Zusammenfassung anderer Zugang: Kaninchenpopulation (Leonardo da Pisa)

6 2. Einheit: Behandlung des Goldenen Schnitts anhand von Beispielen aus der Kunst (Arbeitsblatt, Einzelarbeit) a) „Der vitruvianische Mensch“, L. da Vinci, 1492

7 b) Parthenon in Athen

8 c) Pentagon (Sitz des US-amerikanischen Verteidigungsministeriums)
regelmäßiges Fünfeck

9 d) Geige

10 Herleitung des Goldenen Schnitts
e) Vergleich der Ergebnisse Offensichtlich stehen viele Verhältnisse von Strecken zueinander in einem bestimmten Verhältnis (≈ 1,6 / 1 oder 1/ 0,6) Dieses Verhältnis war bereits den alten Griechen bekannt und war damals schon der Inbegriff für Ästhetik und Schönheit. Herleitung des Goldenen Schnitts 1 Kehrwert: x

11 3. Einheit: Verwandtschaft von Fibonacci-Folge und Goldener Schnitt (eher fragend-entwickelnd)
a) Austeilen folgender Abbildung: Schüler sollen den Winkel zwischen zwei nacheinander gewachsenen Blättern messen

12 prozentueller Anteil am Vollwinkel (Bruch) in Dezimalschreibweise
ca. 138° würde man den Winkel andersherum messen  ca. 222° In der Natur kommt nicht exakt dieser Winkel vor, sondern: Pflanze prozentueller Anteil am Vollwinkel (Bruch) in Dezimalschreibweise Linden: 180° 1/2 0,5 Buchen: 240° 2/3 0,67 Apfelbäume: 216° 3/5 0,6 Birnbäume: 225° 5/8 0,625 Weiden: 221,5° 8/13 0,6153

13  Phänomen „Phyllotaxis“
Was fällt auf? Zähler und Nenner sind aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen!  Phänomen „Phyllotaxis“ Würde man die Tabelle weiterführen: 13/21 0,6190 21/34 0,6176 34/55 0,6182 55/89 0,6180  Brüche nähern sich immer mehr dem Goldenen Schnitt an!

14 weitere Möglichkeiten der
Veranschaulichung: Ananas:

15 Sonnenblume Spiralen im Blütenkorb Anordnung der Kerne