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Veröffentlicht von:Clemens Messner Geändert vor über 6 Jahren
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Die Geschichte der Idee von einer berechenbaren Welt
Vortrag NWG Referent K.-H. Klapdohr Die Geschichte der Idee von einer berechenbaren Welt
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Abstraktionen und Verallgemeinerungen als Methoden
Teil I Abstraktionen und Verallgemeinerungen als Methoden im Umgang mit unseren Informationen
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Berechnungen sind Menschensache
Berechnungen sind Menschensache. Notwendig ist dabei der Rückgriff auf das Gedächtnis, das Informationen speichert, die dann logisch verknüpft werden. In Bezug auf die biologischen Prozesse, die unser Gedächtnis ermöglichen, haben wir in den letzten Jahrzehnten viel dazugelernt: Aplysia californica (kalifornischer Seehase) bevorzugtes Forschungsobjekt des Nobelpreisträgers Eric Kandel Zwischen den ungefähr 100 Milliarden Nervenzellen bestehen schätzungsweise 100 bis 500 Billionen Synapsen. Viele Synapsen sind anatomisch anpassungsfähig. Dadurch können sie die Effizienz der Übertragung zwischen den Neuronen verändern. Außerdem werden Übertragungseigenschaften durch Neubildung und Abbau von Synapsen angepasst. Das ist aber nur ein Aspekt unter vielen anderen in den komplizierten neuronalen Netzwerken. Von einem befriedigenden Verständnis der Vorgänge, die zum Gedächtnis führen, sind wir aber noch weit entfernt. Immerhin nähern wir uns der Realität in großen Schritten. Die aber ist sehr komplex.
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Auch die Abstraktion hat eine biologische Basis:
Hauptmerkmal der Abstraktion ist das Ausfiltern von Informationen, die für das Erreichen des Ziels eines Lebewesen irrelevant sind. Interessanterweise gelingen in der Physik mit ihren vielen Ab-straktionen faszinerende Aussagen, die sich experimentell bestätigen und technisch nutzen lassen. Die Natur verzeiht uns in vielen Bereichen, das „unter den Teppich kehren“ von Informationen. Die vergleichbaren Sinnesorgane der Lebewesen zeigen unterschiedliche Sensibilitätsbereiche. Wir Menschen riechen nicht so gut wie die Hunde und können bei Nacht nicht so gut wie die Eulen sehen. Elektro-chemische Vorgänge in den Nervensträngen vom Sinnesorgan zum Gehirn filtern von Natur aus -je nach Gattung- Informationen aus: Abbn.: Medizinformum Die Evolutionstheorie bietet für beide Erscheinungen plausible Erklärungen an.
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Das abstrakte Denken: Logik als Produkt der Evolution
Unsere Begriffe bestehen aus weiteren Abstraktionen innerhalb des gefilterten Informationsmaterials, das im Gehirn ankommt. Danach hat das Gehirn die Fähigkeit, Begriffe in Aussagen zu verknüpfen. Eindeutige Aussagen (wahr/falsch) Aussagen mit wahrscheinlichem Wahrheitsgehalt Spekulative Aussagen, deren Wahrheitsgehalt nicht überprüfbar ist, die aber unvermeidbar sind Logik als Produkt der Evolution Die Mathematiker haben wichtige Regeln des logischen Denkens in der Mengenlehre und Aussagenlogik (boolesche Algebra) formalisiert. Anmerkungen: Zum abstrakten Denken gehört neben der von der Natur vorgegebenen Fähigkeit auch, es nutzen zu wollen. (Grundproblem der Pädagogik!) Wie die Erfolge der Physik und der darauf aufbauenden Technik zeigen, ist das mathematisch-logische Denken sehr erfolgreich, und niemand möchte ernsthaft in das vorindustrielle Zeitalter zurück. In diesem Vortrag geht es darum, die Grenzen dieses Denkens am Beispiel der Physik auszuloten.
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Segen und Fluch von Verallgemeinerungen
Es gibt Fälle, wo Verallgemeinerungen möglich und zugleich nützlich sind: Vorsicht für heißen Öfen! Funktionen, die aus Messreihen extrapoliert werden: (induktive Methode der Physik) Verallgemeinerungen sind möglich, wenn etwas dahinter steht, das wir Naturgesetz nennen. Beachte den Geltungsbereich innerhalb der jeweilig erreichbaren oder gewünschten Messgenauigkeit!!! Muster einer Grenzbereichsüberschreitung: Bewegung auf dem Laufband: vgesamt = vReisender + vLaufband (Gültig für Alltagsgeschwindigkeiten!) Verallgemeinerung:Raketen, die selber wieder Raketen oder abschießen (oder Linearbeschleuniger) : v0 = 0 und Dv = 1000 km/s => v1 = v0 + Dv = 1000 km/h, v2 = v0 + 2 Dv = 2000 km/h, …, v500 = km/h. Verallgemeinerung: Es gibt unendliche Geschwindigkeiten. Das ist falsch: (siehe Relativitätstheorie im Einklang mit den Erfahrungen beiTeilchenbeschleunigern!) Die Lichtgeschwindigkeit c ≈ km /s ist eine unüberschreitbare Grenze!!! Im Alltag gibt es viele gefährliche Verallgemeinerungen!!! Ich habe gestern und vorgestern wohlbehalten eine Straße überquert, ohne nach links und rechts zu schauen. Verallgemeinerung: Das geht immer gut.
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Wichtige Weichenstellungen in der Ideengeschichte
Teil II Wichtige Weichenstellungen in der Ideengeschichte bis Newton
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Neolitikum: Berechenbares scheint es zunächst nur am Himmel zu geben.
Permanente Himmelsbeobachtungen: Steinzeitoberservatorien von Gosek, Stonehege, … Sterne als Uhren: Jahreszeit ↔ Sternbildsichtbarkeit (Nebra-Scheibe) (Man beachte den Unterschied zwischen Sonnen- und Sternuhr!) Die Babylonier, Ägypter und Chinesen führen Schriftzeichen für Begriffe und Zahlen ein. Babylonische und ägyptische Priester können durch Aufzeichnen und Vergleiche der Beobach-tungen Regelmäßigkeiten am Himmel entdecken und sogar Mondfinsternisse vorhersagen. Segen und Fluch der Nutzung der Fixierungsmöglichkeiten und der damit verbundenen Fähigkeiten werden sichtbar: Großartige Werke werden gespeichert:„Enuma elisch“, Gilgameschepos, Illias, philosophische Schriften, Bibel, Elemente des Euklid, Koran, … Mit ihnen werden Empfindungen und wichtige Erfahrungen früherer Epochen konserviert. Unangenehme Nebenwirkungen: Die Empfindungen, Beobachtungen und Erfahrungen früherer Gesellschaften werden von vielen Generationen vielfach unkritisch aus hoch geachteten Büchern übernommen. Eigene Erfahun-rgen bleiben auf der Strecke, oder werden sogar unterdrückt. Dadurch kann die großartige Anpassungsfähigkeit unserer Jäger- und Sammler-Vorfahren an die sich ändernden Lebensbedingungen verloren gehen. Dogmatiker können zur Gefahr werden.
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Weichenstellungen der Griechen:
Die Griechen übernehmen das Wissen der Babylonier und Ägypter: Thales soll sogar eine Sonnenfinsternis vorhergesagt haben, was damals ein Glücksfall gewesen wäre. Mathematische Beweise in der Geometrie werden entdeckt: Bewiesene Aussagen über abstrahierte Figuren halten jeder Nachmessung stand!!! Schul-Beispiele: Satz des Thales: Winkel über dem Halbkreis 900 Beweis: 1800 = a‘‘+ a‘+ b‘ + b‘‘ = 2 a + 2b =2 (a‘ + b‘) = 2 g => g = 900 Winkelsumme im Dreieck 1800 Beweis: Rückführung auf die Winkelsätze an Parallelen: = a‘ + g + b‘ = a + g + b Beginn einer Systematisierung der Mathematik: Es sind nur wenige Grundsätze (Axiome) nötig. Den Rest kann man deduzieren. Frage: Wie weit macht die Natur über die Erfahrungen beim Ausmessen von Figuren hinaus mit? Die Mathematik bekommt eine religiöse Dimension: Der göttliche Logos spiegelt sich im abstrakten menschlichen Denken. Um 500 v.Chr. beginnen Denker (z.B. die Vorsokratiker) an den menschenähnlichen Göttern zu zweifeln. Ihre Probleme und Fragestellungen sind bis heute relevant. Jaspers Vermutung: Es gibt eine „Achsenzeit“ des weltweiten Umbruchs um 500 v. Chr., die schwer zu erklären ist.
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Pythagoras, Platon und Aristoteles
Pythagoras ( v. Chr.) Der Mathematiker Pythagoras: Euklid sieht in ihm den Urheber des Satzes c² = a² + b² für rechtwinklige Dreiecke, Seine Ausstrahlung reicht bis in die modernen Mathematik: Auf seinem Satz beruht die euklidische Metrik Einstein veranschaulicht die Zeitdilatition an fiktiven Lichtuhren und nutzt dazu den Satz des Pythagoras. Der Forscher Pythagoras: Entdeckung des Zusammenhang zwischen den Tonhöhen und den Seitenlängen der Instrumente Verallgemeinerungen: Harmonie der Sphären (Diese Vorstellung spielt noch bei Goehte eine Rolle.) Fourieranalyse und Stringtheorie als Weiterentwicklung pythagoreischen Gedankenguts Kehrseite: Wut seiner späteren Anhänger über den Nachweis, dass die Diagonale im 1-Quadrat und p nicht rational, also keine Brüche sind. Der Guru Pythagoras: Er gründet die Sekte der Pythagoräer. Man erzählt sich viele Geschichten über ihn, der selbst nichts Schriftliches hinterlassen hat: Sohn des Gottes Hermes der ihm die Erinnerung an seine früheren Existenzen und die seiner Zwischenleben(= reine Mathematik) schenkt. Bei ägyptischen Priestern geht er in die Lehre, wo er ein goldenes Blatt auf dem Schenkel tätoviert bekommt. Von kanaanäischen Propheten lernt er, wie man Wunder macht (Decrecenzo: Die Geschichts der gr. Philosophie, J.-F. Mattei: pythagore et les pythagoiciens Sorbonne, Paris) Durch ihn bekommt die Mathematik religiöse Aspekte (Zweifler an der göttlichen Harmonie wurden verbrannt). Der Politiker Pythagoras: Autoritärer Pythagoreerstaat in Teilen Unteritaliens und Siziliens. (Philosophen als Herrscher)
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Platonisches Denken ist bis heute in der Geistesgeschichte lebendig.
Platon ( v.Chr.): Platon war ein Pythagoräer: Mathematische Deduktionen sind für ihn wie bei Pythagoras Erinnerungen an jenseitige Ideen Siehe Menon: Sokrates entlockt einem „unwissenden“ Sklaven mathematische Aussagen durch Fragen ohne vorherige Belehrung Man denke auch an das Höhlengleichnis! Heute: Es bleibt das Staunen darüber, Teile der Realität berechnen zu können und richtige Vorhersagen zu machen zu können, unabhängig von der Theorie dies zu erklären Heute kann vieles durch Darwins Theorie besser erklärt werden. Die Rolle des Zufalls wird dabei aber ein wichtiger Punkt werden, wo sich viele Zweifler zu Wort melden. Platon war nach eigenen Angaben ein Schüler des Sokrates. Sokrates wiederum soll von der Priesterin Diotima beeinflusst gewesen sein. => Spekulationen in Ermangelung von Wissen: War Diotima Priesterin des uralten (nur im Geheimen wirkenden) Kultes von Eleusis? Im Gegensatz zu der öffentlichen Verehrung der Staatsgötter könnten hier meditative und ekstatische Erfahrungen (wie auch im Isiskult und im Dionysoskult) eine Rolle gespielt haben. Epileptiker waren schon bei den Jägern Sammlern prädestiniert für das Amt des Schamanen. War die erwähnte körperliche Starrheit auf seinem Weg zum Gastmahl, … bei Sokrates eine Folge von Meditation oder von Epilepsie? Platonisches Denken ist bis heute in der Geistesgeschichte lebendig.
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Aristoteles (384 - 322 v. Chr.) Bahnbrechende Leistungen:
Er ist ein guter Naturbeobachter (Schwerpunkt Biologie) Er ist ein der Realität verbundener Pragmatiker im Gegensatz zu seinem Lehrer Plato. Er ist Verfasser einer brauchbaren Sprachanalyse und Logik Die Scholastik ehrt Aristoteles, da man bei ihm Vorstufen für einen Gottesbeweis zu finden glaubt (Gott als der unbewegte Beweger, der die Welt erschafft.) Aristoteles: philosoph. Grundlage in der Mullahausbildung!!! (siehe Mottahedeh „Der Mantel des Propheten“) Aristotelische Blockaden: Fast Jahre haben sie den Fortschritt der Physik verhindert. Aus dem Wissen seiner Zeit heraus, hatte er gute Gründe, Ideen des Aristarch und der Atomisten als Spekulation anzusehen. Die abgelehnten Erkenntnisse Aristarchs: Arsitarch kann im Prinzip den Mondabstand bestimmen. Er „misst“ bei Halbmond den Winkel zur Sonne. (Damit sind 3 Stücke im Dreieck bekannt, aus denen er es bestimmt.) Begründung der damaligen Ablehnung des heliozentrischen Weltbilds: Es konnte noch keine eine Parallaxe bei den Sternen gemessen werden. Aristoteles kontra die Atomisten: Es gab damals noch keine Hinweise darauf, dass die Verallgemeinerung, die Dinge seien unendlich oft teilbar, falsch sein könnte. Die konnten erst im 19. Jahrhundert geliefert werden. Höchstens der begrenzte Ölfleck auf einer Wasseroberfläche hätte schon damals stutzig machen können. Verneinung des Nichts: „Horror vacui“ (ungerechtfertigte Verallgemeinerung der cleps hydra-Erfahrung)
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Große Denker in der Zeit des Hellenismus:
Philosophenschule der Stoiker, gegründet von Zenon von Kition ( ). (In der Antike dominierend). Zusammenfassung der stoischen Lehre durch Marc Aurel (121 – 180): „Alles ist wie durch ein heiliges Band miteinander verflochten. Nahezu nichts ist sich fremd. Alles Geschaffene ist einander beigeordnet und zielt auf die Harmonie derselben Welt. Aus allem zusammengesetzt ist eine Welt vorhanden, ein Gott, alles durchdringend, ein Körperstoff, ein Gesetz, eine Vernunft, allen vernünftigen Wesen gemein, und eine Wahrheit, so wie es auch eine Vollkommenheit für all diese verwandten, derselben Vernunft teilhaftigen Wesen gibt.“ Heutige Aspekte zu diesem Thema: Die Erkenntnis der Einheit des Kosmos scheint hier vorausgeahnt zu sein. Das Licht der Sterne zeigt uns in der Spektralanalyse, dass es größtenteils von Wasserstoff stammt, der auf der Erde dieselben Spektrallinen zeigt wie wie sie von fernen Sternen empfangen. Entsprechend sieht es mit den Spektren der übrigen Elemente aus, die in den Sonnen aus Kernfusionen aus Wasserstoff gebraut werden. Die Spektrallinien der Elemente sind charakteristisch für sie die Fingerabdrücke für die Menschen. Der Kosmos besteht überall aus denselben Stoffen Die Bwegungen der Sterne folgen denselben Gesetzen, wie die Körper auf der Erde. Einschränkung: Die Stoiker lehnten die Atomvorstellung ab und bezogen sich nur auf die überall gleichen Gesetzmäßigkeiten. Prädestinations- und Determinationsvorstellung, im Gegenbsatz zu den Epikureern und Bibelautoren! In der Ethik gehen die Stoiker von gottgegebenen Ordnungen aus. Der Mensch wird glücklich, wenn er sie akzeptiert. (Statisches Denken kontra Evolution) Der Logos der Stoiker tritt auch im NT auf, das aber auch Kompromisse mit den uralten Mysterienkulten eingeht und die Handlungsfreiheit des Menschen aufrecht erhält. Die Epikuräer: Philosophenschule des Epikur ( ) im niedergehenden politisch uninteressierten Athen. Übernahme von Demokrits Atom-Idee aus dem 5. Jahrhundert v. Chr., die von den Stoikern nur als wilde Spekulation abgetan wurde, ab dem 19. Jahrhundert aber experimentell abgesichert werden konnte. Die Epikureer lehnten auf Grund ihrer Idee von den dynamischen Atomen die Prädestinationslehre ab. Ihre ganze Denkweise war dynamischer, als die der Stoiker. Statt einer Gesinnungsethik auf Grund göttlicher Vorgeben vertraten sie eine Folgenethik. Die galt aber den Stoikern und Christen als verwerflich gottlos, obwohl die Epikureer oft eine höhere Moral als die anderen hatten.
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Euklid (Alexandria, 3. Jahrhundert v. Chr
Euklid (Alexandria, 3. Jahrhundert v. Chr. ): Seine Werke prägen die Mathematik bis heute. Seine Lehre basiert auf Abstraktionen, wie Punkten und Geraden. Methode: Aus Definitionen, wenigen Axiomen (Aussagen, die nicht bewiesen werden aber unmittelbar einsichtig erscheinen) und zuvor bewiesenen Sätzen werden alle übrigen Sätze der Geometrie hergeleitet. Beispiele für euklidische Definitionen unter Verwendung von -Abstraktionen: Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Eine Linie ist breitenlose Länge. Die Enden einer Linie sind Punkte. Eine gerade Linie ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr gleichmäßig liegt... Heutige Fragen: Warum kommt man über Deduktionen aus Axiomen, basierend auf Abstraktionen, zu richtigen Aussagen über das Verhalten der Natur? Ist das, was wir bei Abstraktionen ausblenden auch für die uns interessierenden Abläufe in der Natur weniger wichtig? Eine tiefere Begründung steht noch aus. Es klappt halt in manchen Bereichen, denn Physiker, Architekten und Ingenieure nutzen die von Euklid dargelegten mathematische Methoden mit sensationellem Erfolg. Ist aus heutiger Sicht der Erfolg, die Mathematik anzuwenden, der darwinschen Evolutionstheorie zu verdanken? Hat sich unser Denken einer der Natur innewohnenden Logik angepasst? Hat die Nutzung der Punktgeometrie Grenzen, da es Bereiche gibt, wo das bei der Abstraktion Ausgeblendete doch relevant wird, so dass sie nicht mehr funktionieren kann?
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Erfolge und Misserfolge der Griechen beim Versuch, die Bahnen der Planeten zu berechnen:
Falsche Weichenstellung: Die Kreibewegung wird als Naturprinzip angesehen Erde als Zentrum => Epizykeltheorie Marsbewegung 1956 und 1958/59 in Oposition Polemäus: (ca. 175 – 100 v. Chr.) nutzte Epizykeln, um Bahnen zu konstruieren, die grob mit den Beobachtungen übereinstimmten. Bei näherem Hinsehen ist die Theorie recht kompliziert, da sich auch das Zentrum des großen Kreises um einen imaginären Punkt bewegen muss, was bei einer Ellipse entfallen würde. Abbn. Astronomie I (Klett) Kopernikus musste mehr Zusatzannahmen machen, als die Griechen, um mit den Beobachtungen übereinzustimmen. Er konnte aber die Schleifen der Planeten einfacher erklären. Venusschleife 1975 in Konjunktion 15 15
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Nicolaus von Cues (1401 – 1464) Theologe, Philosoph, Politiker und Mathematiker, überall mit bahnbrechenden Ideen (auf der Grenze zur Mystik) Humanist, der Bedeutendes in der historisch-philologischen Forschung leistet: Auffindung von Handschriften teils verschollener antiker Werke Entdeckung unbekannter mittelalterlicher Quellen Kritische Auseinandersetzung mit den biblischen Quellentexten Enttarnung der Konstantinischen Schenkung Verfasser einer Kirchen- und Staatstheorie Thematisierung des Problems der Annäherung an das nicht Wissbare Koinzidenztheorie des Zusammenfalls der Gegensätze zu einer Einheit Nach dem Fall Konstantinopels: Sichtung des Korans. Anschließend untersucht er die Frage nach dem Wahrheitsgehalt der verschiedenen religiösen Lehren und fordert die Toleranz zwischen den Religionen. Politiker: Gesandter in Konstantinopel, beteiligt am Wiener Konkordat (zwischen Papst, Fürsten und Reich) Forderung einer Kirchenreform. Als Kardinal wird er leider später streng konservativ. (Erzwingung des Ablassgeschäfts, Forderung nach besonderer Kleidung für Juden.) Mathematiker und Astronom: Er hält eine Kreisquadratur nur näherungsweise für möglich und macht entsprechende Vorschläge. (Einer der Väter der Infinitesimalrechnung!) Er gehört er zu den Wegbereitern der Experimentalwissenschaft. Siehe: „Der Laie über Versuche mit der Waage“. Er hält aber noch am geozentrischen Weltbild fest. Forderung einer Kalenderreform!
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Keppler (1571 – 1631): Basierend auf Tycho Brahes Beobachtungen schloss Keppler nach anfänglichen Spekulationen mit platonischen Körpern durch Abgleich mit den Messergebnissen Brhes schließlich auf Ellipsenbahnen. Seine Berechnungen stimmten nun besser, als alle zuvor, mit den Beoabachtungen überein. Seine Gesetze sind Basis der Atronomie bis heute: 1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen um die Sonne, die in einem der beiden Ellipsen- Brennpunkte steht. 2. Der Leitstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (Drehimpulserhalt). 3. Sei T die Umlaufzeit und a die große Halbachse eines Planeten. Dann gilt für unterschiedliche Planeten: Nach Newton folgt später als Konstante k » Anmerkung zu seinen anfänglichen Spekulationen: Erdbahn ↔ Kreis, Marsbahn ↔ Dodekaeder (der die Erdbahn einhüllt), Jupiter ↔ Würfel, Venus ↔ Oktaeder,... Später merkte er, dass die Marsbahn nicht kreisförmig sein konnte und kam über das Oval schließlich auf die Idee der Ellipse. Seine Arbeit ist schwer zu verstehen. Gottseidank konnte man später seine 3 Gesetze über Newtons Theorie deutlich einfacher herleiten.
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Die Keplergleichung: Konstruktionsmethoden von Ellipsen:
1. Gestauchter Kreis mit dem Stauchungsfaktor e = b/a 2. Gärtnermethode: Faden der Länge L um die Brennpunkte und P => a = L/2 => |OM|² = a² - b² = a² - e² a² => |OM| = e a (Def.: e - Exzentrizität) Keplerproblem: Wo steckt der Planet zur Zeit t im Jahr? Herleitung der Keplergleichung: Kreissektor (POP) : (Verhältnisgleichung) Ellipsensektor (POP): S2(t) = e S1(t) = (Stauchung) Dreieck (OMP): S3(t) = ½ (e a) e a sin E(t) (Fläche) Sektor (PMP): S(t) = S2(t) - S3(t) E- exzentrische Anomalie - wahre Anomalie 2. Kepler-Gesetz: (Flächensatz) Keplergleichung: Diese Gleichung ist nur graphisch lösbar: Erst Newtons Methode erlaubte eine brauchbare Näherungen: Bequemer sind Fourierreihen. (Näheres siehe Becker Weltraumforschung !) Mit der Näherung für E zur Zeit t bekommt man |AB| und |OA|, dann |AP| und dann und r. Großrechner liefern inzwischen Ergebnisse, die genau genug sind, um auf dem Mond oder auf einem Kometen zu landen. Die konstruierten Bahnen der Raumfahrzeuge müssen als Näherungen aber überwacht und ab und zu korrigiert werden.
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Galilei ( ): Galilei ist Vater einer bahnbrechenden Abstraktion: Trägheitsprinzip: Körper, auf die keine Kräfte wirken, bewegen sich geradlinig gleichförmig Galilei als Vater der Experimetalphysik: Fallversuche: Unter Wegdenken der Luftreibung kommt man zu dem Ergebis: s = ½ g t² Unglaublich: Im Vakuum fallen alle Körper gleich schnell, unabhängig von ihrer Masse! Galilei als Initiator der Entdeckung des Vakuums: Galileis Schüler Torricelli erzeugte ein Vakuum über einer Quecksilbersäule (Nutzung als Barometer.) Guerricke (1602 – 86) gelang es, ein Vakuum über einer 10 m langen Wassersäule herzustellen. Abb. Wikipedia Horror vacui, basierend auf der Erfahrung von cleps hydra war damit widerlegt. ( Der Pragmatiker Aristoteles hat sich hier auf die gänge Erfahrung berufen.) Bedeutung für die Astronomie: Die Himmelskörper bewegen sich reibungsfrei im Vakuum. Beachte: Alles das wurde in der chaotischen Zeit des 30-jährigen Krieges ( ) entdeckt. Auch Descartes lebte in dieser Zeit. (Hat das Chaos hier eine Bedeutung?)
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Descartes ( ): Punkte im Koordiantensystem ↔ Paare bzw. Tripel reeller Zahlen. (Grundlage der modernen Mathematik und Physik) Reelle Zahlen: Abstände von Punkten Flächen und Volumina erfordern neben den Brüchen auch nicht nicht rationale Zahlen (periodische Dezimalzahlen mit unendlich vielen Ziffern hinter dem Komma), wie z.B. p, oder 2. Die euklidische Metrik in kartesischen Koordinatensystemen macht Geometrie zu Algebra: ds² = dx² + dy² ds² = dx² + dy²+ dz² (Pythagoras) Begründung: Ebene: ds‘² = dx² + dy² ds² = ds‘² + dz² ds² = dx² + dy² + dz² Anmerkung: In Sachen Astronomie behinderte Decartes‘ kosmische Wirbeltheorie lange Zeit auf dem Festland die Anerkennung der Theorie Newtons. Das änderte sich erst mit Voltaire nach dessen Englandbesuch. (Siehe Becker: Geschichte der Astronomie B I –Taschenbuch) Erweiterung der Ideen Descates’ im 19. und 20. Jahrhundert: Weitere Algebraisierung der Geometrie unter Nutzung der Vektoralgebra , wobei die Koordinatenachsen als Vielfachen von Einheitvektoren anzusehen sind. Erweiterung hin zur nichteuklidische Geometrie , die in der ART genutzt wird.
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Newton (1643-1727) Kurzbiliographie:
Der Vater war ein erfolgreicher Schafzüchter (Lord of the Manor). Er stirbt bei seiner Geburt. Die Mutter heiratet erneut. Newton wächst bei der Großmutter auf. Trennung von der Mutter => psychische Belastung. Er bleibt zeitlebens Junggeselle. Werdegang Newtons: Nach Aufhebung der Quarantäne im Jahr 1667 ging Newton als Student dort an das des Trinity College. Erforderlich : Zustimmung zu den 39 Artikeln der Kirche von England inklusive Zölibatsgelübde. Newton studierte die Texte der Heiligen Schrift und der Kirchenväter (bis zu seinem Tod ). Seine Studien führten ihn zu der Überzeugung, dass die Dreifaltigkeitslehre ein Häresie sei, die den Christen im 4. Jahrhundert eingeredet worden sei => Gegner der Rekatholizierungsbestrebungen von James II . 1675 erwirkte er einen Dispens von der Verpflichtung, die Weihen zu empfangen. Gewaltige Konflikte führten ihn bis an die Grenzen der Belastung. Hinzu kamen dauernde Konflikte mit Hooke, der auch in Cambridge tätig war und in wissenschaftlichen Fragen konträre Positionen vertrat. 1669 wurde Newton in Cambridge Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik. Sein Vorgänger Isaak Barrow (1630–1677), der sich zurückzog, hatte ihn selbst empfohlen. Newton hatte neben allen Schwierigkeiten auch das Glück, in Cambridge auf einen Mathematik- und Theologie-Professor zu stoßen, der seine Intentionen und Talente gezielt förderte und ihn in weniger als 2 Jahren mit den Lehren Descartes, Keplers und Galileis vertraut machte. (Newton war aber auch nebenbei noch Alchemist). Newton’s „Mathematische Principien der Naturlehre“ gilt bis heute als eines der wichtigsten wissenschaftlichen Werke der Menschheit.
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Mögliche Motive Newtons:
Im Alter von 22 Jahren: Erste weitreichende Ahnungen eines physikalischen Zusammenhangs zwischen Kosmos und Mikrokosmos (nach eigenen Angebaben). Das führte ihn auf die Spur seiner drei großen Theorien der Infinitesimalrechnung, seiner Korpuskeltheorie des Lichts (kontra Huygens) und seiner Gravitationstheorie. Sein Rivale Hooke hatte aber auch solche Ideen. Schon im elisabethanischen Zeitalter hatte man im Kosmos (am Himmel) die gleiche Ordnung, wie im Mikrokosmos (auf der Erde) vermutet. Im Kosmos regierte Gott, auf der Erde der König. Newton glaubte hierüber eine tiefere Begründungen für Keplers 3 Gesetze geben zu können. Die Idee: Es ist dieselbe Art von Kraft ist, die einen Körper zu Boden fallen lässt, wie die Anziehungskraft, die allgemein zwischen zwei Himmelskörpern wirkt. Dann war es naheliegend, von den Fallversuchen Galileis auszugehen, um diese Kräfte erfassen zu können, und danach die dabei gewonnen Einsichten auf die Himmelsmechanik zu übertragen. Newtons (und Hookes) Folgerung aus dem Trägheitsprinzip: Würde die Anziehungskraft zwischen den Himmelskörpern nicht existieren, würden die Planeten gemäß dem Trägheitsprinzip wie die Funken beim Schleifstein davon sausen. Erkenntnis: Zu Beschleunigungen und Bremsvorgängen braucht man Kräfte, ebenso, wenn man einen Köper auf eine krummlinige Bahn zwingen möchte. Diese Kräfte kann man formalmäßig erfassen. Umgekehrt muss man sich in Fahrzeugen festhalten, wenn sie in die Kurve gehen. Daraus entstand die Grundgleichung: „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“ Die Idee, die Wechselwirkung zwischen Himmelkörpern auf universelle Kräfte zurückzuführen, die zur Beschleunigung ihrer Massen führen, zwang ihn, die Begriffe Momentangeschwindigkeit und Momentanbeschleunigung zu definieren. (Erst das ging weit über die Ideen seines Rivalen Hooke hinaus.) Dazu erfand er - offensichtlich unabhängig von Leibniz - wenn auch mit ähnlichen Vorgehensweisen, die Differen tialrechnung, deren „logische Bewältigung“ die Mathematiker noch Jahrhunderte danach beschäftigen sollte. Zur Lösung seiner Diffenrentialgleichungen war Integralrechnung erforderlich.
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Ein gewaltiger Fortschritt gegenüber Kepler!
Apfelmärchen: Heine: Alles Unheil schufen Äpfel! Eva bracht‘ damit den Tod, Eris brachte Trojas Flammen; du brach‘st beides, Flamm und Tod. Newton aber soll mit iherer Hilfe Licht in die Physik gebracht haben. Eva ißt vom Baum der Erkennt-nis und soll damit die Erbsünde und Tod über die Menschheit gebracht haben. Newton (1642 – 1726) fällt ein Apfel auf den Kopf und sol so erkannt haben, warum sich der Mond um die Erde dreht, und warum sich die Planeten um die Sonne drehen. Nach Homer wählt Paris den falschen Apfel und bewirkt Trojas Untergang. In Wahrheit erschloss Newton sein Gravitationsgesetz auf recht abenteuerlichen Wegen: (Feynman verlorengegangene Vorlesung “Über die Bewegung von Planeten” rekonstruiert aus Tonaufnahmen vom Ehepaar Goodman) Er konstruierte zunächst Keplerelipsen und erschloß daraus das Gravitationsgesetz (er. ist der Einheitsvektor, der von der Sonne auf den Planeten weist.) (Siehe Voigt “Abriss der Astronomie” S 72) Er erkannte, dass das Gravitationsgesetz fundamental für die Bewegung der Planeten auf Ellipsen ist, und versuchte nun umgekehrt, die Plantenbahnen aus dem Gravitationsgesetz herzuleiten. Er drehte daher den Spieß um und erklärte die Gravitatrionswirkung zum kosmischen Natur-prinzip, dem auch die Planeten folgen. Ein gewaltiger Fortschritt gegenüber Kepler!
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Newtons Notwendigkeit, die Differential-und Intergralrechnung zu erfinden:
Kräfte erkennt man nach Newton sowohl am Himmel, wie auf der Erde an den Beschleunigungen, sprich Geschwindigkeitsänderungen pro Zeit, die sie verursachen. Beispiel Bahnfahrt: Zum Beschleunigen braucht die Bahn Motorkraft. Als Passagier muss ich mich festhalten, da ich dem Trägheitsprinzip unterliege. Dadurch übernimmt mein Körper die nötige Kraft, um mitbeschleunigt zu werden. Beim Bremsen handelt es sich um eine negative Kraft, denn sie wirkt der Bewegungsrichtung entgegen. Auch hier muss man sich festhalten. Wenn die Bahn in die Kurve geht, wirken die Zwangskräfte der Schienen, die die Ban von ihrer geradlinigen Bewegung abbringen. Auch hier muss ich mich festhalten, um die Beschleunigung senkrecht zur Bewegungsrichtung, die den Richtungswechsel verursacht, zu übernehmen. Problem 1: Die Definition (Geschwindigkeit v = Wegstücklänge Ds geteilt durch die benötigte Zeit Dt) gibt eine Durchschnittsgeschwindigkeit an, die bei Pferdekutschen oder für gleichmäßig fahrende Züge brauchbar, für Fall- oder Planetenbewegungen aber unzureichend ist. Die Definition der Momentangeschwindigkeit zwang ihn, sich hier etwas einfallen zu lassen. Problem 2: Mit Beschleunigungen als Geschwindigkeitsänderungen pro Zeit hat man analoge Probleme. Liegt ein konstante Kraft, wie beim freien Fall vor, kann man die Beschleunigung definieren als (Beschleunigung (acceleration) = Geschwindigkeitsänderung pro benötigte Zeit Dt. Ehe man mit Geschwindigkeiten und Beschleunigungen von Planeten anfängt, sollte man sich etwas einfacheres wie den freien Fall ansehen!
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Das Problem Momentangeschwindigkeit:
Erinnerung an die gute alte Schule! Aber was tut man da eigentlich? Bei gleichförmigen Bewegungen ist Geschwindigkeit = Wegstück / benötigte Zeit, oder in mathematischer Kurzschrift v = Ds / Dt. Beim freien Fall funktioniert das nicht. Eine Messreihe legt das Weg-Zeit-Gesetz s = c t² mit c 4,9 m/s² nahe. Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit v(t) bei S(t|s)? Die Durchschnittsgweschwindigkeit zwischen S und P(t) ist Ds/Dt Intuitive Verallgemeinerung: Je nähe P(t) bei S desto näher kommt man der Momentangeschwindigkeit bei S. Wie nahe kann man mit P(t) an S heranrücken? Algebraisch ist das kein Problem, oder…: Betrachtung des 1. Summanden im letzten Term: In darf Dt beliebig klein werden. Der Bruch hat immer den Wert 1. Würde aber Dt =0 werden, so würde der Bruch 0/0 entstehen, und der hat seine Tücken, weil der nicht eindeutig zu fassen ist, denn es wäre z.B. 2 0 / 0 = 0/0. Bleibt man dagegen bei der Potenz stehen, Dt beliebig klein machen zu können, so nähert sich der Term dem Wert 2ct 1 + 2s 0 = 2c t. Das ist eindeutig. Man spricht hier von einem Grenzwert und symbolisiert den eindeutigen Grenzwert des Annäherungsprozesses durch Die Prozedu heißt „differenzieren. Diesen Grenzwert definierte Newton als Momentangeschwindigkeit Beim freien Fall ist mit dieser Definition v(t) = g t mit g = 2c.. Die Geschwindigkeit wächst linear mit der Zeit.
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Der Grenzwert ist Da v(t) Ableitung von s(t) ist folgt
Defintion der Beschleunigung als 2. Ableitung: Beim freien Fall ist wegen v(t) = g t die Beschleunigung a = g = v/t ist sofort abzulesen. Man bezeichnet das auf der Erdoberfläche nahezu konsante g als Erdbeschleunigung. Das ist aber nur ein Sonderfall, der sich nicht auf Planetenbewegungen übertragen lässt. Allgemeiner muss man hier wieder differenzieren: Speziell beim freien Fall ist der Differenzenquotient (Durchschnittsbeschleunigung): Der Grenzwert ist Da v(t) Ableitung von s(t) ist folgt Im allgemeinen Fall ist a(t) keine Konstante, wie hier das g. Anmerkungen: Leibniz hatte etwas früher als Newton ähnliche Techniken des Differenzierens entwickelt, als er die Steigung von Tangenten an Kurven bestimmen wollte. Man geht aber heute davon aus, dass beide unabhängig voneinander sehr ähnliche Lösungstechniken bei verwandten Problemen entwickelt haben. Es hat Generationen von Mathematikern bedurft, um eine saubere Definition des Grenzwertes und der Ableitungen zu formulieren. (Hier handelt es sich nur um eine grobe Darstellung.) Die heutige Grenzwertdefinition ist widerspruchsfrei und erlaubt von Seiten der Mathematik herunter Verwendung der reellen Zahlen punktgenaue Berechnungen von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. Doch macht die Natur da mit?
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Die Punktabstraktion und heutige Messrealitäten
Alltagsmessungen: Zollstock: mm = 10-3 m Mikrometerschraube: von 10 mm (1mm = 10-6 m) Bakterien: > 300 mm menschliche Eizelle: mm Telekom-Glasfaser: mm Haardicke: mm Papierdicke: mm Wellenlänge sichtbares Licht: bis 780 nm Wellenlänge UV –Licht: 100 bis 380 nm (1nm = 10-9 m) kleinste Viren: nm Mikrochip (Stand 2016): 14 nm ungefährer Durchmesser DNS: 2 nm Größe des H- Atoms: ,1 nm Proton, Neutron: m Harte kosm. g-Strahlung: < m Planck-Länge ,6 ·10-35 m (kleinste sinnvolleGröße) transmittierendes Elektronenmikroskop Mikroskop Die Natur „folgt“ dieser Abstraktion nur im Makrobereich. (Im Mikrobereich gilt nach Heisenberg: ) Experiment: Die untere Grenze für Dt wird durch die Messgenauigkeit festgelegt. Pragmatismus: Es ist in der Infinitesimalrechnung bequemer mit unendliche kleinen wie unendlich großen Größen zu rechnen, als mit schwer zu packenden sehr kleinen. Häufig fallen auf Verallgemeine-rungen basierende Unendlichkeiten bei genaueren Theorien weg, Hamburg, 28. Februar 2014: Ein internationales Forscherteam hat mit dem weltstärksten Röntgenlaser Schnappschüsse freier Moleküle gewonnen.
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Die Newtonschen Axiome:
1. Das galileische Trägheitsprinzip: 2. F = m a Kraft gleich Masse mal Beschleunigung Die Idee dazu lieferte die Antwort auf die Frage, wann Köper ihren geradlinig gleichförmigen Weg gemäß dem Trägheitsprinzip verlassen. Bei den Himmelskörpern wusste Newton zwar nicht, was Kräfte sind, doch konnte er sie formalmäßig im Gravitationsgesetz als Ursachen von Bewegungsänderungen erfassen. Die Frage, wieso die Körper von einander wissen, so dass sie auf einander zu gehen müssen, blieb offen. 3. Actio = reactio Auch wenn Newton nicht wusste, was Kräfte sind, erkannte er doch, dass als Teile von Wechselwirkungen auftreten. Die Gravitation ist im Grunde Teil einer Wechselwirkung. 4. Axiom: F, r und v genügen den Regeln der Vektoraddition
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Mit der Rolle rückwärts beginnt die theoretische Physik:
Kennt man Kraftgesetz F = F(r), so kann man dies in die Grundgleichung F(r(t)) = m einsetzen. Dies ist eine Beziehung zwischen der Vektor-Funktion r(t) und ihrer zweiten Ableitung. Das nennt man eine Differentialgleichung. Findet man eine passende Funktion r(t), die diese Dgl. Erfüllt, so ist man dem Ziel. Mit ihr kann man zu jedem Zeitpunkt den Ort in Raum bestimmen. Beim freien Fall müsste das Gesetz deduktiv herauskommen, das Galilei experimentell (induktiv) ermittelte. Das Aufstellen und Lösen der Dgl. ist hier sehr einfach: Konstante Gewichtskraft: F = m g mit g GmM/R² ( Eine Vektordarstellung entfällt: r = y) Einsetzen in die Grundgleichung: Differentialgleichung: Integration: (Umkehrung des Differenzierprozesses als Suche einer Stammfunktion, die als Ableitung hat. Man muss die Konstante c1 (Abl. = 0) ergänzen.) Ermittlung von c1 aus den Anfangsbedingungen: => 2. Integration: y(t) = - ½ g t² + v0 t + c2. Anfangsbedingung c2 = y(0) = y0 . Dieses deduzierte Gesetz ist umfassender, als das induktiv gewonnene Fallgesetz Galileis. In Bezug auf die Gravitation waren Newtons Ahnungen also recht gut in Einklang mit der Natur.
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Mit der Rolle rückwärts beginnt die theoretische Physik:
Kennt man Kraftgesetz F = F(r), so kann man dies in die Grundgleichung F(r(t)) = m einsetzen. Dies ist eine Beziehung zwischen der Vektor-Funktion r(t) und ihrer zweiten Ableitung. Das nennt man eine Differentialgleichung. Findet man eine passende Funktion r(t), so ist man dem Ziel. Mit ihr kann man zu jedem Zeitpunkt den Ort in Raum bestimmen. Beim freien Fall müsste das Gesetz herauskommen, das Galilei experimentell ermittelte. Das Aufstellen und Lösen der Dgl. ist hier sehr einfach: Konstante Gewichtskraft: F = m g mit g GmM/R² ( Eine Vektordarstellung entfällt: r = y) Einsetzen in die Grundgleichung: Differentialgleichung: 1. Integration: Ermittlung von c1 aus den Anfangsbedingungen: => 2. Integration: y(t) = - ½ g t² + v0 t + c2. Anfangsbedingung c2 = y(0) = y0 . Dieses deduzierte Gesetz ist umfassender, als das induktiv gewonnene Fallgesetz Galileis. In Bezug auf die Gravitation waren Newtons Ahnungen schon recht gut im Einklang mit der Natur.
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Der Wurf als Beispiel der Deduktion einer Bewegung in der Ebene:
Die Luftreibung werde vernachlässigt. Der Ursprung O des kartesischen Koordinatensystems liege senkrecht unter dem Startpunkt, d.h. S(0|h) liegt auf der y-Achse des Koordinatensystems. Der Ortsvektor r(t) = zeige zur Zeit t vom Ursprung O auf den Bahnpunkt B(t)! In die Grundgleichung eingesetzt: => Zwei Dgln.: Anfangsort: r(0) = Anfangsgeschwindigkeit des Objekts: v0 = (Bahnkurve: siehe Figur!) Lösung: (unter den vorgegebenen Anfangsbedingungen) Interpretation: Bei Vernachlässigung der Luft und Ungenauigkeiten bei der Messung der Anfangsbedingungen kann man eine punktgenaue Lösung der Dgl. erhalten. Die so ermittelte Wurfparabel ist aber keine reale Bahn, sondern aus den genannten Gründen nur eine Näherung. Auf dem Mond ist das besser. Das Problem der Unmöglichkeit der Vorgabe punktgenauer Anfangsbedingungen bleibt aber auch hier.
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Das 2-Körper-Problem (Sonne-Planet)
Setzt man das Gravitationsgesetz in die Grundgleichung ein, so erhält man auch hie reine Differentialgleichung: wobei er der Einheitsvektor ist, der von der Sonne auf den Planeten weist. In kartesichen Koordinaten: Die Länge von r ist und Lösungsmöglichkeiten: a) Diese Dgln. lassen sich näherungsweise lösen und man erhält die Bahnkurve eines Planeten Vorteil: Die Methode lässt sich erweitern, indem man als Kraft F die Vektorsumme nimmt, die sich aus den Gravitationswirkungen sowohl der Sonne als auch der übrigen Planeten ergibt. b) Man beherrscht die Vektoranalysis, vernachlässigt aber die übrigen Planeten. Dann bekommt man mathematisch eine punktgenaue Lösung heraus. Physikalisch muss man aber eine Störungsrechnung ergänzen, wenn man der realenBahn nahe kommen will. Wer auf die beiden Methoden verzichten will, kann die nächsten beiden Folien überspringen. Es kommt für Planeten eine Ellipse heraus. Kometen und Meteoriten können sich auch auf Parabeln oder bei großen Energien auf Hyperbeln bewegen.
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Nutzung von Newtons Axiomen: (Methode Feynman Bd. 1)
a) Erdbahnnäherung: geringerer Anspruch => größerer Erfolg Nutzung von Newtons Axiomen: (Methode Feynman Bd. 1) Der Leitstrahl r weist von der Sonne auf den Planeten. Dr ist seine Änderung in einem kleinen Zeitabschnitt Dt. Ausgehend von einem Anfangsvektor r0 (z.B. Perihel) kann man die ganze Planetenbahn bestimmen, indem man in jedem schon errechneten Punkt (ri) Bahn “vier” Rechenschritte macht. Dabei verzichtet man auf die Grenzwerte in der Geschwindigkeits- und Beschleunigumgsdefinition: Unter der Zuhilfenahme der Formel F = G mM/r² im Zeitabschnitten Dt gilt dann: Rekursion: a(r) = F(r)/m, Dv = a(r) Dt, Dr = v(r) Dt, rneu = ralt + Dr Dr3 In den Details muss man beachten dass r und v Vektoren mit x-, y- und z-Komponente sind: Aber die Komponenten lassen sich unabhängig berechnen. Bei F ist dann r² = r² nutzbar. Dr2 Vergrößerung Dr1 Für kleinere Dt “schließt” sich die Kurve nach einem Jahr, denn je kleiner Dt wird, um so besser nähert man sich der „wahren Bahn“. (Sache des Genauigkeitsanspruchs!) r ro Diese Methode erlaubt sogar, die Kräfte der übrigen Planeten mit einzubeziehen. „Punktgenauigkeit“ ist der Grenzfall, wenn Dt → 0 und die Schrittzahl n → ꝏ geht. Hier zeigt sich schon der Haken an der Punktgenauigkeit: Es wäre eine unendliche Rechenkapazität nötig. Mit Hilfe von Integralrechnung und Dgln. kann man unter Verwendung von Unendlichkeiten punktgenaue Berechnungen durchführen, aber .... (siehe Rest des Vortrags!)
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b) Lsg. des 2-Körper-Problems nach Laplace (Runge-Lenz)
Vor.: Sonne und Planet kugelförmig, Ortvektor r(t) weist vom Sonnenzentrum auf das Planetenzentrum, Einfluss der übrigen Planeten vernachlässigt Komponenten: Es sind 6 Integrationen nötig. Die Dgl. ist zwar newtonsch, die Lösung nutzt aber viele math. Tricks, auf die man erst 100 Jahre nach Newton kam. Die Lsg. muss aber wohl Newton schon gelungen sein, weil er dafür gefeiert wurde. 1. Trick: Nutze = 0 (Beweis: weist wieder in die Richtung von und r x r = 0) => Man kann sich 4 Integrationen sparen, denn es ist => Die Bewegung läuft in der Ebene und man kann die Konstanz des Drehimpulses L = m r x v als Zusatzbedingung nutzen. Aus dem folgt Keplers Flächensatz (Kreuzprodukt als Fläche). 2. Trick: Bilde (Quotientenregel: ) Da L eine Konstante ist, kann man nun beide Seiten leicht integrieren: Bewegungskonstante (Runge-Lenz-Vektor) Ein 3. Trick: Multipliziere beide Seiten skalar mit r . Das hilft, einen Zusammenhang zwischen r und herzustellen. Nutze dazu (a x b) c = a (b x c), speziell: m (L x v) r = L (mv x r) = - L² ! Dann ist L² = mMG r + r C L² = mMG r + r |C| cos . Nach r aufgelöst erhält man die Gleichung einen Kegelschnitt: Kreis: e = 0 ; Ellipse: 0 < e < 1; Parabel e = 1; Hyperbel: e > 1
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Das häufig Verschwiegene:
Newton hat ohne Zweifel Großartiges geleistet und die theoretische Physik begründet Euphorie: „Es werde Licht und es ward Newton.“ . Für Newtons Nachfolger schien der Traum von einer berechenbaren Welt in Erfüllung zu gehen. Doch wie sah die Realität aus? Die Erdbahn konnte Newton nicht berechnen, ebenso wenig wie Kepler. 1. Dazu fehlte ein brauchbarer Wert für G: Die experimentelle Bestätigung des Gravitationsgesetzes und die Messung der Gravitationskonstante G gelang erst Cavendish 1798, also nach Newtons Tod! 2. Es fehlten ihm brauchbare Anfangsbedingungen. Die astronomische Einheit (AU),also die Entfernung zwischen Sonne und Erde konnte erst nach einer Idee von Halley (Freund Newtons) über einen Venustransit bestimmt werden, die er 1716 veröffentlichte . Messungen erfolgten 1761, 1769, 1874, (Sie waren sehr ungenau.) Bessere Messungengelangen über den Astroid Eros Heute kann man den Abstand unter Nutzung der Reflexion von Radarimpulsen an der Sonne aus dem Weltraum heraus recht gut messen, da man auch die Lichtgeschwindigkeit recht genau kennt. (Trotzdem keine Pkt.-Genauigkeit!) 3. Die Lösung des Dreikörper-Problems, sollte viele große Mathematiker und Physiker Jahrhunderte lang beschäftigen, was im Folgenden zur Sprache kommt.
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Teil III Die Geschichte der Idee einer berechenbaren Welt in der Zeit nach Newton bis hin zu Poincaré
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Fortschritte: Die industrielle Revolution und ihre Kinder
Am Anfang menschlichen Handelns stand allein die Muskelkraft. Später kam die Nutzung der Wasser- und Windkraft, und schließlich Wäärmeausdehnung, die Explosionskraft von Schießpulver und die von Benzin hinzu. Man kannte im Altertum schon Hebel, Wurfmaschinen und Flaschenzüge. Mit ihnen konnte die Muskelkraft reduziert werden, die physikalsiche Arbeit blieb aber gleich, da man bei Hebeln, Zahnrädern und Flaschenzügen bei verminderter Kraft längere Bewegungsstrecken benötigte. Diese Einsicht führte zur Definition der physikalischen Arbeit: W = Fs · s (physikalische Arbeit = Kraft in Wegrichtung · Wegstrecke) Mit der Dampfmaschine entdeckte man, dass Wärmedifferenzen genutzt werden konnten, um Arbeit zu verrichten und das in gigantischem Umfang. Mit dem Eisenbahnbau, dem Gleisbau, Stahlbrücken und dem Maschinenbau begann die industrielle Revolution mit ihren sozialen und kulturellen Rückwirkungen . Physikalische Theorien bargen neue technische Möglichkeiten in sich. Die wiederum schufen Maschinen, den Lebensstandart zu erhöhen und rückwirkend bessere Geräte zu bauen, um den Gültigkeitsbereich der zugrunde liegenden physikalischen Theorien zu verbessern. Erstaunlich: Das menschliche Gehirn war nun in der Lage, weit über die Muskulatur hinaus in die Welt einzugreifen und schließlich Maschinen zu konstruieren, die immer gewaltigere Maschinen bauten. Mit der Digitalisierung haben sich die Grenzen noch drastischer verschoben. Das hat bekanntermaßen auch seine Schattenseiten. Eine kulturelle Rolle rückwärts ist , wie sie manche wünschen, ist nur in totalitären Systemen möglich, wahrscheinlich auch nicht nötig, wenn man elastisch reagiert und die sich neu auftuenden Chancen zum Wohl aller nutzt. Wir brauchen dabei neben den Lobbyisten, die begründete Partialinteressen vertreten , unbestechliche Anwälte für globale Menschheitsinteressen. Die könnten am Ehesten in Demokratien eingerichtet werden, müssten aber international vernetzt werden. Keine der Gruppen darf die Oberhand gewinnen. In Pattsituationen muss diskutiert und verhandelt werden, um das Wissen zu mehren. Hilft auch das nicht, entscheidet das Los. Ein Ende dieser Entwicklung ist aber auch durch Naturkatastrophen möglich.
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Die Mechanik drang auch in Philosophie und Religion ein:
Der Mensch des beginnenden Maschinenzeitalters verallgemeinerte die Erfahrungen, die er in seinem technisch geprägten Umfeld machte, indem er sie auf Gott übertrug und ihn mit einem Uhrmacher verglich. In der deutschen Romantik wehrte man sich nach der „Vernunftherrschaft“ Napoleons gegen die Tendenz der Aufklärung, alles als ein göttliches Uhrwerk anzusehen. Der Glaube an die prinzipielle Berechenbarkeit der Welt gewann aber im Laufe der Industrialisie-rung an Gewicht. Dass die „exakte“ Berechnung dem Menschen nicht einmal bei der Erdbahn gelang, wurde sowohl auf die mangelhafte Kenntnis der Anfangsbedingungen, als auch auf die begrenzten Fähigkeiten beim Lösen der vorgegeben Gleichungen der Natur zurückgeführt. Dass die prinzipielle Berechenbarkeit eine unzulässige Verallgemeinerung sein könnte, wurde und wird bis heute von vielen nicht gesehen. Warum das nicht geht, sollen die folgenden Folien andeuten. Doch zurück zur Weiterentwicklung physikalischer und mathematischer Ideen!
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Die Außenseiter neben Newtons Theorie bekamen wieder Gewicht:
Huygens (1629 – 1695): Lichttheorie: Im Gegensatz zu Newtons Korpuskeltheorie des Lichts setzt sich sein Huygens‘ Wellenmodell auf Grund des Interferenznachweises (Young 1802) durch. Weitere Bestätigung liefert der Nachweis von Hertz, dass Licht gemäß Maxwells Theorie aus elektromagnetischen Wellen besteht. Sowohl Huygens als auch Newton haben hier aber beide nur die halbe Wahrheit erkannt (siehe Quantenphysik). Energieerhaltungssatz: (siehe Hund Geschichte der physikalischen Begriffe BI Band 543 ) Huygens liefert eine Vorstufe des Energieerhaltungssatzes beim freien Fall: Zu jeder Geschwindigkeit v gibt es eine potentielle Höhe und hpot , und ein bewegtes System hat eine potentielle Höhe des Schwerpunkts, die durch die Summe aus m hpot der einzelnen Partikel bestimmt ist. Während der ganzen Bewegung gilt: Mit Hilfe der galileischen Formel v² = 2g(hpot - h) v² + 2gh = 2g hpot findet er so Leichtere Herleitung der Formel für die kinetische Energie: Die vom fallenden Stein verrichtet Arbeit ist W = F s (F – Gewichtskraft, s – Fallstrecke). Die dazu benötigte Energie bezieht der Stein aus seiner höheren Lage in Bezug auf den Erdboden. (Potentielle Energie V(r)!) Während des Falls nimmt die Lageenergie ab und die kinetische Energie zu. Energiebilanz beim freien Fall unter Nutzung newtonsche Gesetze: Fallgesetz: (1) s = ½ g t², v0 = 0 und (2) v = gt (g ≈ 9,81 m/s²) Löst man (2) nach t auf, so folgt t = g/v . Setzt man dies in (1) ein, so ist Damit ist W = F s = m g s = Anfangs ist die potentielle Energie V(h0) = mg h0. Fällt der Körper um das Stück s = ho – h auf die Höher h, so hat er potentielle Energie DV = mgh0 – mgh verloren, aber gewonnen. Setzt man V = mgh (potentielle Energie) und T = (kinetische Energie ) so gilt der Energieerhlatungssatz T + V = const. Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie bleibt ohne Luftreibung konstant.
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Der Energieerhaltungssatz wurde zur tragende Säule der Physik und ist es, neben anderen Erhaltungssätzen, bis heute geblieben. Definition: Energie ist das Vermögen eines Systems, Arbeit zu verrichten. Wenn sich der Körper zu Beginn in der Höhe h über dem Erdboden befindet, dann hat er die potentielle Energie Epot = mg h. Während des Falls wird eine potentielle Energie kleiner, aber seine kinetische Energie Ekin = ½ m v² wächst. Im Jahr 1842 veröffentlichte der Arzt J.Robert von Mayer in den Analen der Chemie und Pharmazie seine Untersuchungen zur Temperaturerhöhung in einer Flüssigkeit beim Verrichten von mechanischer Arbeit. Demnach war auch die Wärme Q als Energieform einzubeziehen. Es gibt viele Arten von Energie, die sich in einander umwandeln können. Beim Fall eines Körpers wird Gravitationsenergie in kinetische Energie und schließlich beim Aufschlag auf dem Boden in Wärmeenergie verwandelt. Erweiteter Energieerhaltungssatz: Die Gesamtenergie E = Ekin+ Epot+ Q bleibt in abgeschlossenen Systmen erhalten. Die potentielle Energie V(r), die in der Gravitation enthalten ist, erhält man durch Integration: Der Energieerhaltungssatz ist neben weiteren Erhaltungssätzen Basis der Chemie, der Allgemeinen Relativitätstheorie und der Quantentheorie.
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Bedeutung der Energie für die Bahnform der Planeten:
Dabei ist e = e a. Die geometrischen Größen p und e werden durch die Erhaltungsgrößen L0 und E bestimmt, p = Lo²/(Gm³M²) (enthält den konst. Drehimpuls L0 !) enthält die Gesamtenergienergie. Die Abhängigkeit der Größen r bzw. φ von der Zeit t ergibt sich als Variante zur Keplergleichung aus Das entstehende Integral kann auch nur, ähnlich wie die Kepplergleichung, näherungsweise gelöst werden. (Näheres siehe Rebhan Theoretische Physik I Spektrumverlag)
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Die theoretische Physik allein reicht nicht!
Erst im Zeitalter der Raumfahrt können die ‚Entfernungen der Planeten und der Abstand der Erde von der Sonne über Radarechos genau genug gemessen werden, um den Theoretikern brauchbare Anfangsbedingungen für ihre Berechnungen zu liefern. Das ist aber kein Punktgenauigkeit. Aber auch die Rechnungen der Theoretiker basieren auf Vereinfachungen, da das n-Körperproblem Schwierigkeiten bereitet, die im nächsten Teil diskutiert werden. Immerhin reichen die heutigen Methoden, die Bahnen zu berechnen, mit denen Raumfahrzeuge auf den Mond, dem Mars oder einen Kometen (Rosetta-Projekt) erfolgreich zu landen. Wegen der Vereinfachungen in den Rechnungen, über die man erst zu Ergebnissen kommen kann, müssen die Bahnen aber durch Funkkontakt immer überwacht werden, um Korrektursteuerungen vorzunehmen.
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Der heutige Wissensstand über unser Planetensystem
ist ein Gemisch aus Beobachtungen und Näherungsrechnungen. Figuren aus „Astronomie 1“ Klett 1977
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Orientierungen der großen Halbachsen (Sonne - Perihel) der festen Planeten:
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Teil IV Der verzweifelte Versuch, über die punktgenaue Lösung des 2-Körper-Problems (Sonne-Planet ohne Berücksichtigung der Störung durch die anderen Planeten) hinaus zu gelangen Denn im 18. und 19. Jahrhundert war nicht einmal die punktgenaue Lösung des 3-Körper-Problems möglich.
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Lagrange 1736 – 1813 verbesserte die Newtonsche Mechanik:
Zeitgenosse von James Watt (1736 – 1819) Die Bewegungen in den Maschinen gehorchen Zwangskräften ( die z.B. von den Schienen einer Achterbahn verursacht werden.) Die eingeschränkten Bewegungsmöglichkeiten erfordern statt x,y,z als Variable die Größen q1, q2, q3 der verbleibenden Freiheitgrade und generalisierte Impulse p1, p2, p3. Beispiel: Ein einmal angestoßenes rollenden Rad: Nach Rebhan Theoretische Physik 1 Man bezeichnet sie als generalisierte Koordinaten q1, q2, …. Vorteil: Man hat nur noch 4 statt der 6 kartesischen Koordinaten (generalisiert Impulse als eigenständige Größen mitgezählt). Die Zwangskräfte des Tisches stehen senkrecht zum Radumfang. D'Alembert (1717 – 83) Zwangskräfte verrichten bei “virtuellen Verrückungen” (hier senkrecht zum Tisch) ohne äußere Kräfte keine Arbeit. Lagrange leitete unter Nutzung des D’Alembertschen Prinzips und der Newtonschen Gleichungen Bewegungsgleichungen für generalisierte Koordinaten her. Die Energie wurde zur zentralen Größe! T - kinetische Energie (in generalisierten Koordinaten, wie z.B. ½ Mw² Qi – generalisierte äußere Kraftkomponenten. Gibt es ein Potential V(q), so dass Qi = V/qi ist, so gilt mit der Lagrangefkt. L = T - V: Erfolgsstory: Nicht nur die moderne Mechanik, sondern die gesamte moderne Physik, bis hin zu den Pfaden der Elementarteilchen, wird von Lagrangefunktionen beherrscht.
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Hoffnung der Himmelsmechaniker in Verbindung mit der Lagrange-Theorie:
Newton war es nur gelungen, die Form der Erdbahn unter der Voraussetzung zu berechnen, dass man An-fangsbedingungen kennt, und dass die Störungen der übrigen Planeten vernachlässigt werden. Mit generalisierten Koordinaten glaubte man wenigstens das 3-Körperproblem lösen zu können. In die Lagrangefunktion kann man die generalisierten Koordinaten (Winkel, relative Abstände, …) aller Himmelskörper (1,2, ... , f ) als generalisierte Koordinaten und deren Ableitungen einsetzen. Einige Unbekannte lassen sich dann durch die Erhaltungssätze von Impuls, Drehimpuls und Energie eliminieren. Das System ist aber immer noch völlig unterbestimmt. Unmittelbar lösbar waren aber nur drei Spezialfälle des 3-Körper-Problems: Die drei Körper haben gleiche Masse (rotierendes gleichseitiges Dreieck). Der 3. Körper hat eine sehr kleine Masse, so dass man seine Rückwirkung auf die anderen vernachlässigen kann (reduziertes Dreikörperproblem). Dann gibt es für die Raumfahrt ausreichend genaue Näherungslösungen (Großrechner erforderlich!). Darüber hinaus gibt es 5 exakte stationäre Lösungen des reduzierten Dreikörperproblems, die bekannten Langrange-Punkte L1, … , L5. Dabei sind L1, L2, L3 instabil, L4 und L6 dagegen stabil. Bei Jupiter laufen hier die sogenannten Trojaner. L1, L2, L3 werden für Satelliten genutzt. Enttäuschung: Lagrange gelangte nicht über die Lösung dieser Spezialfälle hinaus. (Fehlende Separierbarkeit, wie man später sehen wird! )
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Laplace (1749 – 1827), ein Multitalent mit bahnbrechenden Ideen:
Er hat Arbeiten zum Dreikörperproblem, der Störungsrechnung und der Mondtheorie verfasst , die das Wissen seiner Zeit vereinigt und erweitert haben und war ein Mitbegründer der Wahrschein-lichkeitsrechnung. Zusammengefasst hat er seine Erkenntnisse im monumentalen Werk Traité de mécanique céleste. Folgendes Gespräch scheint ihn als totalen Deduktionisten und Atheisten zu branntmarken. „Als der Bürger Laplace dem General Bonaparte die erste Ausgabe seiner Exposition du Système du monde zeigte, sagte der General zu ihm: ‚Newton sprach in seinem Buch von Gott. Ich habe das ihrige schon durchgesehen und dabei diesen Begriff kein einziges Mal gefunden. Woraufhin Laplace erwidert hatte: „Bürger und Erster Konsul, ich habe dieser Hypothese nicht bedurft.“ Das muss man nicht unbedingt als totalen Atheismus deuten. Newton hatte in seinem Werk eine ordnende Funktion Gottes postuliert. Gott sollte regelmäßig in das mechanische Weltgeschehen eingreifen, um die säkularen Störungen, die es zunehmend in Unordnung brachten und zu zerstören drohten, wieder zurecht-zurücken. Seit Newton war aber die Himmelsmechanik weiter fortgeschritten und Laplace konnte einige solche Störungen am Himmel erklären und vom Prinzip her berechnen. Damit war ihm ein weiterer Schritt gelungen, die Welt berechenbar zu machen, ohne einen ordnenden Gott zu bemühen. Laplace unterschied zwischen der prinzipiellen Möglichkeit einer berechenbaren Welt, symbolisiert durch den Lapaceschen Dämon, der alle Gleichungen, die aus den Lagrangegleichungen folgen, lösen kann im Gegensatz zum Unvermögen der Mathematiker, eben das zu leisten. Der Dämon stände aber im Kontrast zum traditionellen Gott, der in die laufende Welt eingreift. Auf Grund der Begrenztheit unseres Wissens (z.B. Anfangsbedingungen von 1023 Molekülen im Mol eines Gases) hat er sich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Spieltheorie beschäftigt, und da, wo sich die Natur der Berechenbarkeit entzog, über die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Störungstheorie neue Me-thoden entwickelt. Die Wahrscheinlichkeiten liefern eine Ordnung im Großen trotz des Chaos‘ im Kleinen! Bei seinen Versuchen, die Mondbahn zu berechnen, musste er sich auch intensiv mit dem Dreikörperproblem der Himmelsmechanik auseinandersetzen.
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Typische Verallgemeinerungen:
Erfolg: Man kann beim 2-Körper-Problem unter einigen Vernachlässigungen eine Differentialgleichung aufstellen und kennt die Anfangsbedingungen, d.h. zu einem Zeitpunkt t0 den Ortsvektor r0 eines Planeten und seine Geschwindigkeit v0. Dann erhält man dank Newtons Kraftgesetz, das man in die Grundgleichung einsetzt, eine Differentialgleichung, deren Lösung eine Formel für den Bahnverlauf für alle Zeiten liefert. Verallgemeinerung: Die Welt läuft immer nach Gesetzen ab, die man in Differentialgleichungen erfassen kann. Und die kann man lösen, wenn man die Anfangsbedingungen kennt. Gott brauchte also nur die Welt einmal in Gang zu setzen und konnte sie danach sich selbst überlassen. => Determinstisches Weltbild Newton selbst war vorsichtiger. Er gestand Gott weiter die Möglichkeit zu, in die Welt einzugreifen. Doch was verstand Newton unter Gott? Den des Alten Testaments, als Konstrukteur des Universums, als Gesetzgeber (für die Natur und den Umgang der Menschen untereinander) und als höheres Wesen, aber mit menschlichen Eigenschaften, wie Willkür, Rachsucht, Vergebensbereitschaft, bis hin zur neutestamentarischen Liebesfähigkeit? (Den meisten Leuten ist nicht klar, dass sie eine verborgene Definition von Gott im Hinterkopf haben, die an der Bibel ausgerichtet ist. Das muss aber nicht so sein. )
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Der Laplacescher Dämon
Eine typische, aber unzulässige Verallgemeinerung dieser Art: Der Laplacescher Dämon Dieser Dämon ist ein fiktiver überragender Geist, der nach einer These von Laplace den Bewegungszustand der Materie im großen wie im kleinen, also Ort und Impuls jedes einzelnen Atoms und Moleküls zu jedem Zeitpunkt kennte und der in der Lage sei, die Auswirkungen der vielfältigen Wechselwirkungen zu berechnen und die Zukunft quantitativ zu bestimmen. Diese These setzt eine lückenlose Kausalität voraus und beschreibt damit die Theorie des Determinismus im Weltbild der Physik bis zum 20.Jh. Die Quantenmechanik hat die Voraussetzungen widerlegt, da es prinzipiell nicht möglich ist, Ort und Impuls eines atomaren Systems gleichzeitig exakt zu bestimmen. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1998
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Die Entwicklung der statistischen Mechanik:
Da, wo auf Grund ungeheurer Teilchenmengen Bahnberechnungen unmöglich sind, kommt uns die Natur über statistische Gesetzmäßigkeiten entgegen: Brownsche Molekularbewegung: Temperatur ist die mittlere kinetische Energie der Atome bzw. Moleküle. Absoluter Nullpunkt: Ekin = 0. Der Druck eines Gases entsteht durch die Stöße der Atome gegen die Wände. Trotz der Unberechenbarkeit der Bahnen der unzähligen Gasmoleküle in einem Behälter unterliegt ihr Verhalten großer Mengen von Teilchen globalen Gesetzen: p V = n R T Momentaufnahme von Teilchen in einer Rauchkammer (Metzler): Simulation der Wärmebewegung in einem Gas: Maxwellverteilung: Über Normalverteilungen versuchen die Marktforscher auch unser Kaufverhalten in den Griff zu bekommen.
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Extremalprinzipien lassen ein noch tieferes Naturverständnis als Newtons Theorie zu:
Denker, die zunächst in Newtons Schatten standen, kamen erst bei der Suche nach Verbesserungen der Mechanik nachträglich zum Zuge. Fermat ( ) hatte ein Extremalprinzip bei der Lichtbrechung entdeckt: Das Licht nimmt den den Weg von A nach B, bei dem es die geringste Zeit benötigt. Veranschaulichung nach Feynman QED anhand eines Rettungsschwimmers, dessen Weg über Land und durchs Wasser führt: Leibniz (1646 – 1716): Gott schuf mit der realen Welt die Beste aller denkbaren Welten. Er versuchte die ganze Physik auf Extremalprinzipien zurückzuführen. (Die Zeit war noch nicht reif. ) (Spott Voltaires in Bezug auf „Die beste aller Welten“ nach dem Erdbeben von Lissabon!)
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Hamilton (1805 – 1865) entdeckte die Bedeutung der Extremalprinzipien für die Mechanik.
Er erkannte, dass die Körpern auch im Vielkörpersystem die Wege nehmen, bei denen die zur Energiedifferenz gehörende Wirkung ein Minimum ist. (Die Natur verschwendet ihre Energie nicht.) Verallgemeinerter Impuls: Dann ergeben sich, unter Nutzung der Mathematik Eulers ( ), zwangsläufig die Lagrange-gleichungen und die besser zu handhabenden Hamilton-Gleichungen. Das Extremalprinzip der kleinsten Wirkung zur Bestimmung der Bahnen von Körpern ist in Sachen Naturverhalten fundamentaler und leichter zu handhaben, als die Herleitung der Mechanik aus Newtons Kraftdefinition. Praktischer Vorteil: Die Hamiltongleichungen enthalten nur noch erste Ableitungen. Sie bilden darüber hinaus die Basis beim Übergang von der klasssichen Mechanik zur Schrödinger-gleichung der Quantenphysik.
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Symmetrien als Ursachen der Erhaltungssätze:
Emmy Noether (1882 – 1935) gelingt es unter Nutzung der Eulerschen und Halmilton-schen Methoden zu zeigen, dass sich die Erhaltungssätze aus Symmetrieprinzipien der Natur herleiten lassen. Der Energiesatz folgt aus der Invarianz der Naturgesetze gegenüber Zeitverschiebun-gen, der Impulserhaltungssatz aus der Invarianz von Ortsverschiebungen. Selbst der Ladungserhalt beruht auf einer Invarianz. Bei den Kristallen ahnt man, dass die Natur im Mikrokosmos noch zu reinen Symmetrien fähig ist. Aber die thermischen Zufälle bei der Kristallbildung führen schon zu Symmetriebrüchen (=>Individualitäten). (Höhlengleichnis Platons in neuem Licht?) Die Feynmanschen Pfadintegrale zur Berechnung des Wahrscheinlichkeitsverhaltens von Elementarteilchen ähneln den Hamiltonschen Extremalprinzipien: Elektromagnetische Kräfte als Ampli-tude für Wwn. Zwischen Photonen und Elektronen, deren Summanden man in Feynmandiagrammen vertanschaulicht. Das Extremalprinzip wird durch die Summe von Wahrschein-licheitsamplituden ersetzt, beruht aber weitgehend auf ähnlichen mathematischen Prinzipien.
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Der Phasenraum als Darstellung der Entwicklung von (q, p) – Zuständen:
Ein Fortschritt, vergleichbar dem Übergang vom Einzelbild zum Film! Man fasst die allgemeinen Koordianten (q, p) zu einem Vektor zusammen und stellt sie in einem Phasenraumdiagrammen dar, was neue Perspektiven zum Verhalten des Systems eröffnet: 1. Beispiel: Gedämpfte Federschwingung: Das Phasendiagramm zeigt, dass sich das Paar (q, p) = (φ, w) dem sogenannten Attraktor (0, 0) als Endzustand nähert. 2. Beispiel: Erzwungene Schwingung, dargestellt im Phasendiagramm: Das Phasendiagram hilft bei der Klassifizierung der Bahntypen, die beim ungedämpften Pendel möglich sind: 1. Gewöhnliche Schwingung 3. Rotationen. Scnnittpunkt der Trajektorie mit sich selbst => unterschiedliche Amplituden wechseln sich ab. Eine Kurve als Attraktor, die zwei Teile besitzt, die sich schneiden! 3. Beispiel: Erzwungene Schwingung mit störender Zusatzmasse m und Dämpfung d Ein Universalprinzip beim Übergang ins Chaos wird sichtbar!
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Der Satz von Liouville (1809-1882), von fundamentaler Bedeutung für Phasenräume und deren Statistik:
Abb. Goldstein „Klassische Mechanik“ Er bezieht sich auf einen Punktschwarm. Behauptung: Die Dichte der Systempunkte in der Nachbarschaft eines gegebenen Systempunkts im Phasenraum bleibt zeitlich konstant. Alle diese genialen Methoden halfen nicht, das 3-Körper-Problem zu lösen!
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Die Hoffnung, durch Wechsel zu naturnäheren Koordinatensystemen Differentialgleichungen zu finden, die auch für irdische Mathematiker lösbar sind: In der Astronomie nutzt man Polarkoordinaten (r, , ) mit der Entfernung r und den Winkeln und statt der kartesischen Laborkoordinaten (x, y ,z) , was die Lösungsmethoden erheblich vereinfacht. Näheres: H. Giese Weltraumforschung I B I Taschenbuch Band 107 In der theoretischen Physik versuchte man nun, Transformationen zu finden, die die Konstanten E (Gesamtenergie) und L0 (Drehimpuls) als Koordinaten lieferten. Dann wären die Lösungen der Dgln. in diesen Koordinaten eine Kleinigkeit. (Näheres zeigt die folgende Folie.)
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in denen die Lösung der Hamiltonschen Dgln. trivial werden.
Der Mathematiker Jacobi (1804 –1851) entwickelte Methoden, Koordinatensysteme zu finden, in denen die Lösung der Hamiltonschen Dgln. trivial werden. . Ziel: Finde Transformationen, die (q, p) in neue Koordinaten (Q, P) verwandeln, in denen die Hamiltongleichungen ganz einfach zu lösen sind, z.B. einige Qi und Pi Konstanten werden. Zur für uns relevanten Bahngleichung in den alten Koordinaten (meist Polarkoordinaten), gelangt man durch die Umkehrung der Transformationen, was die eigentliche Rechenarbeit bildet. Für Insider: Man muss nur eine Fkt. S(qi, Pi) finden, für die folgende Dgl. gilt: Es gilt dann Diese Methode klappt sowohl bei ungedämpften Schwingungen, als auch beim Zwei-Körper-Problem. Sonderfall: Winkel und Wirkungskoordinaten bei periodischen Bewegungen Schwingungen, wie auch Planetenbewegungen bilden periodische Bahnen. Man erhält zyklische Koordinaten. Die kanonischen Transformationen führen auf die Koordinaten (q, J), die Spezialfälle der kanonischen Koordinaten (q, Q) sind. Die Lösungen der Hamiltongleichungen im neuen System: q1 = w1 t + q10, q2 = w2 t + q11 , J1 = J = konst. (J2 kann man aus J errechnen (Energiesatz)) Im Grunde sind das Kreisgleichungen in Polarkoordinaten. Ihr Zusammenspiel kann man sie topologisch auf einen Torus (Oberfläche eines Fahrradschlauchs) abbilden, was das Verständnis ihres Verhaltens erleichtert. Hat man die Lösungen auf dem Torus gefunden, kann man wieder in die kartesischen Koordinaten zurückrechnen.
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Zwei Beispiele unabhängiger Periodizitäten:
1. Lissajous-Figuren bei harmonischen Schwingungen in 2 Richtungen: a) Und b) von den Frequenzverhältnissen abhängige geschlossene Bahnkurven und c) eine alles überdeckende ergodische Bahn 2. Planetenbahnnäherung (2-Körperproblem): Periodizität in und r Problem: Wann sind die Bahnen geschlossen und damit stabil und exakt berechenbar Beide Trajektorentypen lassen sich als 2 Paare von Winkel- und Wirkungsvariablen darstellen: Eine der beiden Wirkungsvariablen könnte J1(E), die andere J2(L0) sein. Man braucht aber nur ein J zu bestimmen, da beide Größen in der Gesamtenergie vorkommen. J1 und J2 haben in den kanonischen Koordinaten die Bedeutung der beiden Torus-Radien. Ergebnis: Die Bahnen sind geschlossen, wenn wj/w rational ist. Frage: Wie stabil ist die Erdbahn? Gibt es gefährliche Resonanzen? (Siehe Brücke, die bei Gleichschritt durch Aufschaukeln der Schwingungen zusammenkracht!)
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Trotz der vielen genialen Methoden und gewaltigen Fortschritte gelang es immer noch nicht, das 3-Körperproblemn zu lösen!
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und die Unlösbarkeit des allgemeinen Dreikörperproblems
Poincare (1854 – 1912) und die Unlösbarkeit des allgemeinen Dreikörperproblems
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Poincaré als Begründer der Theorie des deterministischen Chaos:
Topologische Methode: Zur Untersuchung der Stabilität der Planetenbahnenin Winkel- und Wirkungsvariablen dachte er sich eine Ebene S, die die Bahnen schnitt. Auf dieser verfolgte er die Abweichungen beim jeweiligen Durchstoßen der Ebene nach Vollendung weiterer Umläufe. Diese erfasste er über die sogenannten Poincare-Abbildungen. von P nach P‘. Poincaré-Abbildung: S wird mehrmals durchstoßen. Die Abb: P → P‘ wird betrachtet: Ungestörte Bewegungen in der Poncare-Abb.: Bei Störungen deformieren sich die Kreise, die sich nun in den sogenannten homoklinen Punkten schneiden, die bei den elliptischen Punkten E stabil und bei den hyperbolischen H labil sind. (Nutzung von Liouville-Satz!) Definition: Deterministisches Chaos liegt vor, wenn kleine Abweichungen in den Anfangsbedingungen die Trajektorien weit auseinanderdriften lassen. Eine Inte-gration wird unmöglich. Es sind über Näherungen nur extrem kurzfristige Vorhersagen unter zusätzlicher Nutzung statistischer Erfahrungen möglich. Figuren aus Rebhan, Theor. Physik I
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Aus Cornelssen Physik Oberstufe
Dem determinstischen Chaos kann man nur mit Computernäherungen zu Leibe rücken: Es bleibt im Grunde nur die rekursive Nähe-rung, die ich am Anfang vorgestellt habe, wobei aber die Vektorsumme F = F1 + F2 der Kräfte von M1 und M2 zu nehmen sind, die auf m wirken. H B Man erkennt im errechneten Bahnverlauf einen seltsamen Attraktor, der aus den beiden sich schneidenden Ringe be-steht. Aus Cornelssen Physik Oberstufe Es gibt Kippsituationen (H und B), was zu einmaligen Weichenstellungen in den anderen Ring führt. Im Attraktor kann man dann nur die Wahrscheinlichkeit angeben, in welchem Be-reich sich der Körper in welchem Ring bewegt. Die Statistik innerhalb von Attraktoren gewinnt in der modernen Wetter- und Wirtschaftstheorie, sowie in der Hirnforschung eine zunehmende Bedeutung. (Siehe Spektrum: Zufall und Chaos).
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Die Erforschung des determinstischen Chaos
Teil V Die Erforschung des determinstischen Chaos Vom Prinzip her lassen sich die Differentialgleichungen aufstellen und Lösungen durch Approximationen gewinnen, aber es gibt Kippsituationen, in denen, wie Poincaré zeigte, kleine Ursachen eine große Wirkung haben, so dass bei Näherungsverfahren schon die Vorhersage in kleinsten Zeitabschnitten ungeheure Rechenkapazitäten erfordern. (Siehe Schmetterlingseffekt: Vom Prinzip her kann der Flügelschlag eines Schmetterlings in Hamburg ein Gewitter in München bewirken.)
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Die Frage nach der Stabilität des Sonnensystems
Das Kolmogorow-Arnold-MoserTheorem (kurz „KAM-Theorem“) gibt Möglichkeiten der Antwort: (nach Rebhan Theoretische Physik I Gemäß der Hamilton-Jacobi-Theorie kann man die ungestörten periodischen Bewegungen (Vernachlässigung der anderen Planeten) auf einfache Bewegungen auf Tori (Fahrradschläuche) abbilden, wo die Bildbahnen leicht berechenbare Bahnen vollziehen, die durch 2 Frequenzen w1 und w2, bestimmt sind, die genügend dicht bei einem rationalen Verhältnis liegen, so dass die Bahn innerhalb der Messgenauigkeit geschlossen ist. Nun wird untersucht, wie sich kleine Störungen der Hamiltonfunktion, wie sie von den anderen Planeten ausgehen, auf das ursprüngliche System auswirken. Gestörte Hamiltonfunktion: H0(J1,J2) + e h(1 2, J1,J2). Ergebnis: Der Torus wird durch die Störungen leicht verbogen, aber für e → 0 wird die Menge der Trajektorien, die die Störung überleben, immer größer. Was die Zukunft angeht, droht aber für das Sonnensystem eine andere Katastrophe, wenn der Wasserstoffvorrat der Sonne verbraucht ist. Wie vorausberechnet und bei älteren Sternen auch beobachtet werden konnte, wird die Sonne bei der nun Einsetzenden Heliumfusion zum Roten Riesen. Die Sonne hat aber erst die Hälfte ihrer Lebensdauer erreicht.
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Das Chaos ist kreativ und lebensnotwenig!
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Bemerkenswert: Der universelle Fahrplan ins Chaos!
Stabiles Gleichgewicht beim Drehpendel: Ohne Antrieb: Mit Antrieb: Die Trajektorie im Phasenraum auf einen Punkt bzw. Kreis als Attraktor zu. Ein labiles Gleichgewicht durch das Anbringen eines Zusatzgewichte führt nach demselben Schema ins Chaos, wie der tropfende Wasserhahn Darstellungen im Phasendiagramm: Man erkennt den Übergang ins Chaos, bei erhöhter Energiezufuhr durch Verminderung der Dämpfung. Periodenverdopplung Vervierfachung, … beim tropfenden Wasserhahn bei langsamem Öffnen des Hahns. Hier wird dies durch eine Instabilität verursacht. Drehpendel: Bei abnehmender Dämpfung kommt es zu einer Periodenverdopplung, … wie beim Wasserhahn und schließlich zum Chaos Instabilitäten lassen auch Wetter- und Wirtschaftsvorhersagen aus dem Ruder laufen.
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Universelles Periodizitätsverhalten beim Übergang ins Chaos
Aus Annettes Philosophiestübchen (Internet)
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Doch wozu an den Himmel schauen, um Chaos zu entdecken!
Das Wetter ist häufig chaotisch. Wirtschaft, Politik und Liebesbeziehungen sind es leider auch. Erstaunlicherweise wäre das Leben ohne Chaos nicht möglich. Zudem ist das Chaos eine unverzichtbare Komponente aller Kreativität!
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Das Phänomen der Selbstorganisation im Chaos:
Bei der Weiterentwicklung von Poincarés Ideen im KAM-Theorem zeigen sich fraktale Strukturen, wie sie auch mit einfachen rekursiven Folgen erzeugt werden können, mit denen man Figuren erzeugen kann, die Pflanzen und Landschaften ähneln. Solche Fraktale entstehen in der Umgebung der Fixpunkte, wenn man Störungen höherer Ordnung mit berücksichtigt (siehe Rebhan!) Ähnliches kann man bei bei Kochkurven und anderen Fraktalen um vergleichbaren Selbstähnlichkeiten sehen, die man durch einfache rekursive Folgen komplexer Zahlen erzeugen kann: Was ist der fraktale, was der echte Farnstengel? Kochkurve Alle diese Gebilde kann man durch rekursive Folgen in der komplexen Zahlenebene erzeugen, wobei Punkte gesetzt werden, wenn die Folge beschränkt ist, ansonsten die Stelle leer bleibt.
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Ohne Mitwirkung des Chaos ist kein Leben möglich:
Beispiel Herzschlag: (siehe Metzler Physik) Zur linken Darstellung: Aufgetragen werden bei jeweils vier Schlägen die Zeitdifferenzen Dt1, Dt2 , Dt3 im EKG auftretenden Zeitdiffferen-zen zwischen je zwei aufeinander folgenden Schlägen. Vor dem Herzflimmern d) kommt es, wie bei allen Übergängen ins Chaos, erst zur Periodenverdopplung, der Vervierfachung, … Zigarrenform Beachtenswert sind auch die Beiträge in Spektrum Highlights 1/14, die sich mit der Notwendigkeit des Chaos in der Genetik und Hirntätigkeit befassen. So stellt der französische Dozent Thomas Heams in seinem Artikel fest: Vielleicht sind wir gerade Zeugen einer kopernikanischen Wende in der Biologie. Die Epigenetik (bei genetisch gleicher Basensequenz der DNA) untergräbt Vorstellungen von exakter Determination durch die Genfunktion: Das Anhängen von Methylgruppen an einzelne Nukleotitbasen führt zu kleinräumigen Modifikationen, die die Expression des Gens (meist hemmend) modulieren können (dynamisches Phänomen). Das epigenetische Modifikationsmuster einer Zelle unterliegt bei jeder Teilung zufälligen Schwankungen. Auch innerhalb der Zellen gibt es Variationen in der räumlichen Verteilung der Chromosomen. Es liegt somit ein viel komplexeres System vor, als man direkt nach der Genentschlüsselung annahm. Es greifen Zufall und Ordnung ineinander. (Siehe Spektrum Sonderheft „Zufall und Chaos, oder Paul Davies „Der kreative Zufall“)
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Das Versagen des Gesetzes der großen Zahlen
Die Mechanik (klassisch wie relativistisch), Thermodynamik und Quantentheorie benutzen die Statistik und gehen vom Gesetz der großen Zahlen aus, nach dem es bei vielen Teilchen oder bei hinreichend häufiger Wiederholung eines Experiments zu einer Poisson- oder Gaußverteilung und einem stabilen Zustand kommt. Diese Stabilität ist in weiten Bereichen der Welt, angefangen vom 3-Körperproblem bis hin zu oszillierenden chemischen Reaktionen, nicht gegeben, da es zu nicht linearen Bedingungen kommt. In Nichtgleichgewichts-Systemen kann es zu kritischen Schwankungen kommen, die Einfluss auf die Verzweigungen und damit auf das ganze System haben.. Das Rauschen der Umgebung hat Einfluss auf diesen Prozess. Es gibt einmalige Weichenstellungen in der Geschichte! (Perserflotte vor Griechenland, Armada, Friedrichs Schnupftabakdose,…) Das Leben beruht auf dissipativen Strukturen, d.h. auf Strukturen fern vom Gleichgewicht. Es besteht die unvorhersehbare Möglichkeit zur Selbstorganisation. Derartige Strukturen lassen sich nur unter ständiger Zufuhr von Energie aufrecht erhalten. Zufälle sind hier wichtig. Es gibt einmalige Weichenstellungen. Konsequenzen: Propheten kann es in offenen Systemen nicht geben. Politiker können oft nur zocken, ob sie wollen, oder nicht, wenngleich Erfahrungen und verallgemeinerbare Ähnlichkeiten von Vorteil sind, wenn nichts total Neues auftritt. Wichtig ist die Anpassungsbereitschaft, wenn „die Würfel des Alten“ (Einstein) gefallen sind. Man kann Gott und der Welt nicht vorschreiben, wie sie zu sein haben. Das pas-siert aber, wenn man Bücher mit Absolutheitsanspruch über die Realität stellt. Eine Rolle rückwärts in die angeblich guten alten Zeiten führt in Scheinwelten. Stattdessen muss man die realen Möglichkeiten nutzen! Der Zufall ist nicht blind, sondern sehr häufig unerwartet kreativ. Das anthropische Prinzip lässt hoffen, dass sich die Welt verbessert. Wenn man elastisch auf die göttlichen Vorgaben reagiert, kann man den Wandel nutzen und eventuell selbst auch zu einer Entwicklung zum Besseren beitragen. Auch die Religionen können nach Anerkennung widerlegbarer dogmatischer Vorstellungen gemeinsam die „sich entwickelnde göttliche Realität suchen.“ Den Buchgötzen könnte so der Blutzoll verweigert werden.
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Für alles in der Welt gibt es Differentialgleichungen.
Der bei vielen Intellektuellen immer noch vorhandene Glaube der Mechanisten ist nicht haltbar. Die Ratio ist aber weiter wichtig! Für alles in der Welt gibt es Differentialgleichungen. Diese Differentialgleichungen lassen sich prinzipiell lösen. Man sollte aber wissen, dass die technisch berechenbaren Systeme nur die Ausnahme sind. Fragwürdige Folgen des Berechenbarkeitswahns: Er widerspricht unseren Alltagserfahrungen, denn wir begegnen neben der Ordnung auch permanent dem Chaos. Das eine schließt das Andere nicht aus. ! Tragische Folge einer Überbetonung der Rationalität: Eine berechenbare Welt ist sinnlos und wirkt depressiv. Unsere emotionalen und damit auch unsere reli-giösen Bedürfnisse werden nicht mehr befriedigt. Es kommt zur Trennung von emotional und rational ge-prägter Weltsicht. Warum vertrauen wir der Ratio, nicht aber der Ästhetik in uns und in der Welt allgemein? Ironie der Geschichte: Beide Lager (Naturwissenschaft und Religion) basieren auf zweifelhaften Glaubensgrundsätzen. a) Die Theologen wollten dem angeblichen “Wort Gottes” nahe kommen, widerlegen dabei aber über die historisch-kritische Exegese den biblischen Glauben an die totale Wahrheit prophetischer Offenbarungen. beruht aber auf Emotionen. Zudem erfordert die Ideenfindung auch chaotisches Denken. c) Das Leben benötigt zu seiner Existenz auch das Chaos. Psychologisch ist die reine Ordnung unerträglich.. Licht am Ende des Tunnels: Die Erkenntnisse der Quanten- und Chaostheorie könnten helfen, die unzulässigen Denkweisen beider Seiten zu revidieren. Vielleicht ist dann die Lage nicht mehr so hoffnungslos, wie es scheint. Der gemein-same Versuch der Annäherung an die “göttliche Realität” könnte sogar helfen, die Aufspaltungen in Natur- und Geisteswissenschaften und Religionen zu überwinden. Ich halte es daher für extrem wichtig, dass die breite Öffentlichkeit sich der Geschichtlichkeit des Denkens bewusst wird, grob über die neueren Erkenntnisse der Physik Bescheid weiß, und auch die rational geprägten Intellektuellen nicht beim mechanistischen Weltbild stehen bleiben.
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Literatur: De Cresscenzo: Geschichte der griechischen Philosophie, Diogenes Verlag 21912
Mattei: Pythgore et les Pythagoriciens, Presses uinversitaires de France Becker: Geschichte der Astronomie, B I Taschenbuch 298 Hund: Geschichte der physikalischen Begriffe, B I 543 Metzler: Physik, Metzler-Verlag Giese: Weltraumforschung I, B I 543 Goldstein: Klassische Mechanik, Akademische Verlagsgesellschaft Rebhan: Theoretische Physik I , Spektrum-Verlag Davies: Prinzip Chaos, Goldmann-Verlag Behr: Ein Weg zur fraktalen Geometrie, Klett-Verlag
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