Grenzwertig großartig

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1 Grenzwertig großartig
Unser neues Thema

2 Vor 311 Jahren wurde der Schweizer Leonhard Euler geboren
Vor 311 Jahren wurde der Schweizer Leonhard Euler geboren. Der »Mozart der Mathematik« revolutionierte die Wissenschaft. Sein Name ist verewigt in der Eulerschen »Zahl e« – einer der wichtigsten Konstanten in der Mathematik.

3 Kann man überhaupt die Geschichte einer Zahl erzählen?
Die Geschichte eines Mathematikers: okay, die Geschichte eines Satzes: okay des Ringens um seinen Beweis: okay auch die Geschichte „der“ Zahlen lässt sich erzählen. Doch die Geschichte einer einzigen Zahl? War sie nicht eigentlich schon immer da, sobald der Zahlenstrahl aufgespannt war, der rundweg alles abdeckt, was sich so tummelt zwischen minus unendlich und plus unendlich?

4 Es gibt allerdings Zahlen, die plötzlich auf den Landkarten auftauchen wie ein neuer Kontinent und die Geografie im Reich der Zahlen auf dramatische Weise verändern. 0 gehört dazu und die Zahl . Bis zu ihrer Entdeckung sind sie verborgen wie eine nicht verzeichnete Insel, nicht etwa wie weiße Flecken, die auf ihre Erkundung warten, sondern einsame Erhebungen in der Zahlenflut, von deren Existenz niemand etwas ahnt. Manchmal stößt der Mathematiker bei seinen gedanklichen Expeditionen auf ein Stückchen solchen Neulands.

5  als die Alte Welt bezeichnen
Man könnte, um bei der Analogie zu bleiben,  als die Alte Welt bezeichnen und e als die Neue Welt – obwohl kein ganzer Atlantik zwischen den beiden liegt, sie sind vielmehr eng benachbart:  ist etwas größer als drei, e ein wenig kleiner. e ist das Amerika der Mathematik, und Leonhard Euler half mit seiner Entdeckung, diesen neuen Kontinent zu vermessen.

6 Man muss vielleicht, um die Entdeckung von Zahlen solchen Formats recht zu würdigen, mit ein wenig Zahlentheorie anfangen. Die Zahlengerade wird von den ganzen Zahlen grob abgesteckt. Zwischen diesen Pflöcken finden sich zudem alle möglichen Brüche, die sogenannten rationalen Zahlen. Es gibt unendlich viele ganze Zahlen, natürlich auch unendlich viele rationale Zahlen, doch dazwischen gibt es noch unendlich viele mehr. Tatsächlich ist zwischen zwei beliebig nahe nebeneinanderliegenden rationalen Zahlen (z. B. 1/99 und 1/100) nochmals Platz für unendlich viele weitere.

7 Die rationalen Zahlen liegen also »dicht« auf der Zahlengeraden, wie der Mathematiker sagt, das wussten schon die Griechen. Deshalb glaub- ten sie auch, dass sonst nichts mehr Platz findet auf dieser Geraden, dass also jede Zahl rational, durch einen Bruch darstellbar sein müsse. Es gab zwar auch schon einige unter ihnen, die behaupteten, irrationale Zahlen gefunden zu haben, doch mochten die Griechen nie recht akzeptieren, dass sich in einem Grundpfeiler ihrer von Harmonien durchzogenen Welt Risse abzuzeichnen begannen. So halfen sie sich denn einfach damit, dass sie die Wurzel aus zwei zwar als geometrische Tatsache, aber nicht als Zahl ansahen.

8 Heute weiß man, dass es sogar mehr irrationale als rationale Zahlen gibt. Dass also, wenn man alle rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden verteilt, zwischen den schon besetzten Bereichen noch immer beliebig viele Löcher verbleiben. In einem ebensolchen Loch hielt sich auch e verborgen, bis die Zahl im 17. Jahrhundert plötzlich auf den Schreibtisch eines italienischen Bankangestellten kullerte. Den ersten Auftritt hatte e bei der Zinseszinskalkulation.

9 Es gibt da die Frage, ob es denn dem Anleger gegenüber fair ist, dass man den zu verzinsenden Zins das ganze Jahr über unter Verschluss hält und ihn erst für die nächste Runde rausrückt. Man könnte ihn ja auch monatlich aufs Konto schlagen (dann würde er schon für den Rest des Jahres für einen arbeiten) oder täglich oder sogar jede Sekunde oder, im mathematischen Grenzfall, kontinuierlich. Als der theoretisch versierte Banker diesen Grenzfall mathematisch ausdrückte, stieß er eben auf eine Formel, die später als Definition für e dienen sollte. e ist demnach, mathematisch gesprochen, gleich dem Grenzwert von (1+1/ n )n , wenn n gegen unendlich geht.

10 Und gleichzeitig liefert dieser Ursprung die wohl handlichste, wenn auch immer noch sperrige Veranschaulichung für die Eulersche Zahl: Wenn ein Kapital von einem Euro zu einem Zins von 100 Prozent angelegt und der Zins kontinuierlich verrechnet wird, dann erhält man am Ende eines Jahres ein Kapital von e Euro (verglichen mit zwei Euro bei jährlicher Verzinsung).

11 Solche Ausdrücke, die einem Grenzwert zustreben, sind oft für Überraschungen gut. In unserem Fall könnte man glauben, für ein unendlich großes n (1+1/n) = 1 zu setzen, sodass man als Grenzwert für 1n = 1 erhielte. Man könnte aber auch argumentieren, dass in der Klammer stets ein Wert größer als 1 steht (wenn auch nur um ein unendlich kleines bisschen) und dass eine Zahl, die größer als 1 ist, ins Unendliche wächst, wenn sie ewig weiter potenziert wird. Man kann aber auch einfach den Taschenrechner zur Hand nehmen und aus- probieren und man wird finden: Die Wahrheit liegt zwischen den Extremen. Das Ergebnis strebt nämlich von 2 (für n =1) langsam – sehr langsam – auf den Wert von 2, zu.

12 Aber es sind nicht finanztechnische Gründe, die der Zahl e zu ihrer außergewöhnlichen Stellung in der Mathematik verholfen haben. Das Zinseszinsproblem ist nicht viel mehr als eine historische Marginalie. Viel wichtiger wurde e in einem anderen Feld, das seinen Ursprung im ausgehenden 17. Jahrhundert hatte und die Mathematik revolutionieren sollte: in der Differenzialrechnung. Insbesondere die mathematische Formulierung der Physik wäre ohne Differenzialkonzepte unmöglich. Die Beschreibung von Größen ist in der Physik ebenso wichtig wie die der Veränderungen, denen diese Größen unterliegen.

13 Man will nicht nur wissen, wie weit es von Hamburg nach Berlin ist, sondern auch, wie rasch der Ortswechsel stattfindet – die Geschwindigkeit also. Und wenn man wiederum die Änderung der Geschwindigkeit betrachtet, so erhält man die Beschleunigung. Es gibt in der Physik viele Beispiele, wo eine Größe und ihre Änderung direkt verknüpft sind. Die bekanntesten sind der radio- aktive Zerfall (je mehr strahlendes Material, desto mehr zerfällt auch, das heißt, desto rascher ändert sich die Menge) und die Bevölkerungsentwicklung (je mehr Menschen, desto schneller wächst ihre Anzahl). Alle diese Phänomene, bei denen die Menge eng an ihre Veränderung gekoppelt ist, werden durch Exponentialgleichungen beschrieben.

14 Und die Mutter aller Exponentialgleichungen
ist die e - Funktion f(x) = ex . Sie ist nämlich, mathematisch ausgedrückt, die einzige Funktion, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt. f '(x) = ex .

15 Aber offenbar steckt in e noch viel mehr als bloß die natürliche Basis einer Exponentialfunktion. Auch  hat vielerlei andere Bedeutungen als allein die ursprüngliche geometrische, das Verhältnis von Umfang und Durchmesser beim Kreis zu beschreiben. e tanzt gleichermaßen auf allen möglichen Hochzeiten. Ein schönes Beispiel ist das Auftauchen von e in einem Ausdruck, bei dem es um die sogenannte Primzahldichte geht (das heißt, wie viele Primzahlen sich in einem bestimmten Intervall finden lassen). Dass e auch in diesem Zusammenhang eine Rolle spielt, erstaunt die Mathematiker, denn Primzahlen gehören ja dem Reich der ganzen Zahlen an, und e zählt zu den irrationalsten Zahlen, die es überhaupt gibt.

16 Mathematiker nennen Zahlen dieser Art ihrer mit klassischen Mitteln schwer zu fassenden Eigenschaften wegen »transzendent«. Leibniz, Euler, Hilbert Die transzendenten Zahlen sind für Leibniz und Euler so ähnlich wie die irrationalen Zahlen für die Griechen. Sie kannten sie schon, konnten ihre Existenz aber noch nicht richtig einordnen. Das gelang dann Hilbert 150 Jahre später.

17 Der Schweizer Leonhard Euler (1707 bis 1783) war ein mathematischer Gigant, vielen gilt er als der größte Mathematiker aller Zeiten – ein Autor nennt ihn den »Mozart der Mathematik«. Insofern ist es nachvollziehbar, dass e gerade seinen Namen trägt. Wenn man in einer mathematischen Enzyklopädie allerdings unter dem Stichwort »Euler« nachschlägt, dann geht e selbst fast unter in einer Unzahl von Einträgen: Da gibt es Eulersche Formeln, Eulersche Sätze, Eulersche Gleichungen, und auch Eulersche Zahlen gibt es (die mit e gar nichts zu tun haben).

18 Bei e allerdings ist die Sache komplizierter: Euler hat die Zahl keineswegs entdeckt, auch war er nicht der Einzige, der ihre Bedeutung erkannt hat. Unstrittig ist einzig, dass ihr Name auf Euler zurückgeht, wie übrigens auch das i für die imaginäre Einheit oder das griechische Σ für die Bezeichnung einer Summe. Das zeigt einfach nur: seine Arbeiten waren so wichtig und wurden von so vielen gelesen, dass sich seine Schreibweisen durchsetzten und von allen seinen Lesern übernommen wurden.

19 Und noch auf eine weitere Art hat Euler e geadelt: Er hat mit der Zahl nämlich die wohl berühmteste und schönste mathematische Gleichung schlechthin aufgestellt: eiπ +1 = 0. Man braucht gar nicht ausführlich auf die vielfältige praktische Bedeutung der Gleichung einzugehen, um eine Ahnung zu bekommen von der Begei- sterung, die diese Formel bei Mathematikern auslöst. Sie verbindet auf denkbar einfachste Art die fünf wichtigsten Konstanten der Mathematik (die drei Zahlen 0, 1 und i, dazu  und e) mit den drei wichtigsten mathematischen Operationen: die Addition, die Multiplikation und das Potenzieren. Und alles das fügt sie mit einem schlichten Gleichheitszeichen zusammen

20 Es ist viel darüber spekuliert worden, weshalb Euler wohl ausgerechnet den Buchstaben e gewählt hat. Eitelkeit dürfte es schwerlich gewesen sein, viel wahrscheinlicher ist der Bezug auf die Exponentialfunktion. Wer Euler aber letztlich die Ehre erwiesen hat, ihm mit der Benennung von e ein mathematisches Denkmal zu errichten, das haben die Mathematikhistoriker bislang noch nicht geklärt. Dass, wer auch immer es war, den Namen aber sehr zu Recht gewählt hat, das ist unbestritten.

21 e = 2 , ….. …...

22 Und was habt ihr behalten? Grenzwertig großartig?
Grenzenloses Wachstum? Unendlich langsamer Zerfall? Grenzen des Wachstums? e18 = ,1 cm = ,69 m = 656,59 km Zum Vergleich: Höhe der ISS 419 km

23 Und was wisst ihr noch über Exponentialfunktionen?
f(x) = ax

24 Vielen Dank für eure enorme Aufmerksamkeit.