... mit uns können Sie rechnen!

Präsentation zum Thema: "... mit uns können Sie rechnen!"—  Präsentation transkript:

1 ... mit uns können Sie rechnen!
KURZPROGRAMM Basic-modul ... mit uns können Sie rechnen! Gernot Mühlbacher Bruchrechnen Grundlagen: Dezimalbrüche Wollen Sie auch werben? Die Kurzprogramme kannst du kostenlos herunterladen: © Gernot Mühlbacher Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt. Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe

2 Einen ausgiebigen Übungsteil findest du im master-module
Was Du zu diesem animierten Kurzprogramm (basic-modul) wissen solltest: INFO bekannt? ... gleich starten: Den Kurzprogrammen zum Bruchrechnen liegt das umfangreiche master-modul „Bruchrechnen I“ zugrunde: >Bruchrechnen I.ppsx< umfang-reich Dieser große Themenbereich ist zur sinnvollen Nutzung nicht für alle Tablet-Rechner gut geeignet. Er besteht aus: 15 animierten Folien (ohne Titelblatt, Stichwort-verzeichnis und allgemein gehaltenen Beiblättern) Arbeitsblättern (AB) für diese Folien (zum Ausdruck) 15 entwickelten Folien (EF) (zum Ausdruck und Sammeln) Durch Aufteilung entstanden drei Kurzprogramme (basic-modules): Einen ausgiebigen Übungsteil findest du im master-module Bruchrechnen II.ppsx Bruchzahlen.ppsx 1 2 Add./Subtr, v.B..ppsx 3 Mult./Div. v.B..ppsx Das nachfolgende vierte Kurzprogramm (basic-module) fußt auf den master-modules > Größen I und Größen II <: 4 Dezimalbrüche.ppsx Zwar sind sowohl master-modules als auch basic-modules auf PC/Laptop und Tablet-Rechnern technisch lauffähig ... ... aber nicht immer flott! Die umfangreichen master-modules und auch die basic-modules kannst Du herunterladen auf der Website ‚ (Verzeichnis‘Downloades‘

3 , , , Das Dezimalzahl-System .... .... ist ein Stellenwert-System … ,
Der Wert einer Ziffer hängt also davon ab, in welcher Spalte, an welcher Stelle sie steht. Von Stelle zu Stelle ( nach links hin) bekommt eine Ziffer den ein-, zehn- oder 100fachen Zahlwert: Schon in der Grundschule lernt man , sich im Zahlenhaus zu bewegen. Die Ziffern erhalten ihren Wert, je nachdem sie in die Einer-, die Zehner-, die Hunderter- Spalte usw. eingetragen werden. 6  6 • 1 • 10 • 10 7  7 • 10 1000stel … H 4 7 Z 6 E 100stel Wer hat‘s erfunden? • 100 Einer 10tel 4  4 • 100 100er 10er , Die Inder … Was tun mit Bruchzahlen? … vor über 2000 Jahren! Am Zahlenhaus wird (  rechts) angebaut: Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ... bekommen ihre Stellen zugewiesen. H Z E , z h t T zt Ergänze die Zahl 476, indem du 3 Zehntel, 5 Hundertstel und 2 Tausendstel einfügst! , Zuerst auf den Block! Dann zur Kontrolle: KLICK! 4 7 6 3 5 2 Die Bruchzahlen und die Ganzen werden durch ein Komma getrennt. Die Begriffe Dezimalbruch und Dezimalzahl werden im gleichen Sinn verwendet. Zeichne die Häuschen und trage ein! Wir wollen daran weiterbauen. Dann KLICK! Trage z.B. die Zahl 476 ein! Den Zähler des Bruches trägst du ein. Mathematiker sind schreibfaul: Der Nenner ergibt sich aus der Stellung der jeweilige Zahl. Ein schnell auftauchendes Problem wollen wir auf der nächsten Folie lösen. Ahnst du schon, worum es gehen wird? z h t : 10 : 1000 , E 3  3 • 1/10 = 3/10 = 0.3 3 5 2 5  5• 1/100 = 5/100 = 0.05 Zu Deutsch: Das ZEHNER-SYSTEM .... ist ein Stellenwert-System 2  2• 1/1000 = 2/1000 = 0.002 Anwendung > Größen II.ppsx < (Folien 32 – 35)

4 .... und wenn es kein Fortsetzung ‚Dezimal-System‘ Zehntel-, Hundertstel- oder Tausendstel-Bruch … ist? 2 10 oder 0,2 Beide haben den Nenner 10. (Ausgeschrieben oder nicht.) Sie verdienen beide den Namen Dezimalbruch. Einfacher Fall: Wandle in eine Dezimalzahl: (Dezimalbruch) In dieser Form kann diese Bruchzahl nicht ins Dezimalsystem übertragen werden. Schon etwas schwieriger: Wandle in eine Dezimalzahl: (Dezimalbruch) Wenn der Nenner eine Primzahl ist oder ein Vielfaches einer Primzahl, dann hilft kein Erweitern oder Kürzen, um einen dezimalen Nenner (10tel, 100stel, 1000stel ... ) zu erhalten. (Ausnahme: Die Primzahl 2) 7 5 9 25 Wo liegt das Problem? Es gibt keinen Platz für 25stel. Es geht überraschend einfach: Erweitere die Bruchzahl mit 4! Man kann es natürlich so machen, wie in der Grundschule gelernt: Da hilft nur das reine Verfahren des Ausdividierens. 7,0000 : 25 = 7 25 •4 = 28 100 20 + 8 0, 2 8 Typisch: Das Divisionsverfahren endet dabei nie. Es entstehen unendliche Dezimalzahlen: -50 20 -200 Ergebnis: 0,28 0, = 0,5 5 9 = 000 Ausdividieren! 4 11 = 1 15 11 = 1, = 1,36 Keine attraktive Methode in Zeiten des Taschenrechners! Viele Bruchzahlen kann man kürzen oder erweitern, so dass ein Dezi-malbruch entsteht. Dieser kann ins Dezimal-System überführt werden. Grundsätzlich gilt: Bruchzahlen lassen sich in Dezimalzahlen umwandeln, indem man den Nenner durch den Zähler dividiert. Kein Problem mehr in Zeiten des Taschenrechners. Aber verstehen sollte man die Zusammenhänge schon!

5 , Randständige und mittelständige Nullen , ,
Fortsetzung ‚Dezimal-System‘ „Null ist nichts!“ sagt der Volksmund. Ob das immer richtig ist, wollen wir kritisch hinterfragen. H Z E , z h t T zt Beispiel : (Es handelt sich um eine Größe.) km Du entdeckst zwei mittelständige Nullen. Sie färben sich rot bei einem KLICK Was geschieht, wenn wir an der Tausender-Stelle (T) eine Null einsetzen? 6 3 2 9 Tausender-Schritt: 1 km = 1000 m Also: 3 Stellen nach dem Komma vorhalten. Notfalls mit Randnullen auffüllen! Was geschieht, wenn wir die Null an der Einer-Stelle (E) streichen? Was geschieht, wenn du an der Tausender-Stelle eine Null einfügst? Überlege! Was geschieht, wenn wir die Null an der Hundertstel-Stelle (h) streichen? 6 3 , 2 9 km Auch in diesem Fall haben die rand-ständigen Nullen wirklich keinen Wert. Sie schaffen Platz (Leerstellen), wenn das Komma verschoben werden soll. Dazu muss man oft eine sinnvolle Anzahl Nullen vorrichten. Randständige Nullen dienen nach dem Komma oft als Platzhalter, um dem Leser zu signalisieren, ob Zehner-Schritte, Hunderter-Schritte oder Tausender-Schritte für die betreffenden Maßeinheiten typisch sind. Notiere, falls ein neues Bild im Zahlenhaus entsteht! Hat dies Folgen? 6 3 , 2 9 km Notiere, falls ein neues Bild im Zahlenhaus entsteht! Hat dies Folgen? ... dann Klick! ... dann Klick! Randständige Nullen kann man immer streichen oder einsetzen! Die Einerstelle wird frei, die 3 rutscht von der Zehner- auf die Einerstelle. In der Folge rutscht die 6 von der Hunderter- auf die Zehnerstelle. Aus 630 km werden 63 km. Die Hundertstel-Stelle wird frei, die 9 rutscht von der Tausendstel- auf diese Stelle. Da 1 km 1000 m hat, wäre es ratsam, weiterhin 3 Stellen nach dem Komma beizu-behalten. Eine Null besetzt die Tausendstel-Stelle. Aus 630,209 km werden 630,290 km. Wertänderung! Eine randständige Null ist entstanden. Was bewirkt dieser Platzhalter wohl? Die randständige Null auf der Tausendstel-Stelle hält lediglich die dritte Stelle für das dreischrittige km-Maß frei. Die 9 oder die 2 werden zu keinem Nachrücken veranlasst. Der Wert ändert sich nicht! Mittelständige Nullen darf man nie streichen oder einfügen! Dies führt zu Wert-Veränderungen!

6 , , Dezimalzahlen als Bruchzahlen deuten: + +
Fortsetzung ‚Dezimal-System‘ Das Zahlenhaus zum Dezimalzahlschema 1000stel 100stel , Trage die Maßzahl(Dezimalzahl) zur Hilfe zuerst in das Dezimalschema ein! 2,437 kg 100er Einer 10tel 10er , 2 , 4 3 7 Das sind: 2 ganze kg 4/10 kg = 400/1000 kg 3/100 kg = 30/1000 kg 7/1000 kg + erweitert und zusammen 437/1000 kg /1000 kg Das sind: 2 ganze kg /10 kg = /1000 kg /100 kg = /1000 kg + erweitert und zusammen /1000 kg Rechne! H Z E , z h t T zt 1. Zähler der Brüche? 2. Dann erweitern (gleichnamig machen) und addieren! Zeige, dass 2,437 kg = 2kg und 437/1000 kg ! Wandle folgende Dezimalzahlen in Bruchzahlen um: (Setze sinnvolle Randnullen, beachte die Bedeutung der mittelständigen Nullen!) ÜBUNG: 43, 924 km = km = 43km 924 m 6, 5 m = m = 6 m 50 cm 21,02 kg = kg = 21 kg 20 g ____________-Schritt 1000er 100er 924/1000 50/100 20/1000 6,50 m Notiere zuerst! Dann  Klick 5/10 (gekürzt) wäre auch richtig ... 21,020 ... aber nicht sinnvoll. 1m = 100 cm  Der 100er-Schritt zwischen m und cm macht es sinnvoll, gleich die Maßzahl 6,50 einzurichten. So wird der Bruch 50/100 leichter verständlich. Wende dies entsprechend auf 21,02 g an! (Tausender-Schritt!)

7 Das Umwandeln: Regeln erkennen
Rechnen leicht gemacht! Wir haben bis jetzt immer von Zehner-, Hunderter-, Tausender-Schritten (usw.) gesprochen. Was bedeutet dies rechnerisch bei der Umrechnung von Größen? Zehner-Schritt  mal 10 • 10 Beispiel: 2,7 t = ? dz 1 t = dz 2,7 t = ,7 • 10 dz Regeln leitet man erst dann ab, wenn man die Zusammenhänge erkannt hat! Dann versteht man die Regeln auch …. … und kann sie behalten! Du bist jetzt so weit! Hunderter-Schritt  mal 100 • 100 Beispiel: ,673 dz = ? kg 1 dz = kg 2,673 dz = ,673 • 100 kg Hundertstel-Schritt  durch 100 : 100 oder • 1/100 Beispiel: ct = ? € 1 ct = /100 €, denn 1 € = 100 ct 675 ct = 675 • 1/100 € = /100 € oder 675 : 100 € Tausendstel-Schritt  durch 1000 : 1000 oder • 1/1000 Beispiel: dm3 = ? m3 1 dm3 = 1/1000 m3, denn 1 m3 = 1000 dm3 3678 dm3 = • 1/1000 m3= /1000 m3 oder : 1000 m3 Bei genauem Hinsehen müssen wir bei jedem Beispiel der obigen Umrechnungen  mit Dezimalzahlen multiplizieren oder durch Dezimalzahlen dividieren. Jetzt sollten wir nur noch das Ergebnis berechnen können.

8 Das Umwandeln durch Verschieben des Kommas
2 Wie geht das Multiplizieren (Dividieren) mit (durch) 10, 100, 1000 usw.? Ermittle die Lösungen der vorigen Rechnungen! 2,7 • 10 dz = 2,673 • 100 kg = 675,0 : 100 € = 3678,0 : 1000 m3 = = 27,0 dz = 267,3 kg = 6,75 € = 3,678 m3 Rechne die Beispiele aus! Aufg. 1: Aufg. 2: Aufg. 3: Aufg. 4: Vergleiche jeweils die Ausgangswerte mit den Lösungen! Die Ziffernfolge bleibt unverändert. Wenn du fertig bist: Klick! Stimmen deine Ergebnisse mit den Lösungen überein? z.B.: 3678,0 ….. 3,678 z.B.: 2, …… 267,3 Nur das Komma wird verschoben. Nach links? …. Nach rechts? Nach links? …. Nach rechts? Um wie viele Stellen? Um wie viele Stellen? Gehe zu deinem AB und bearbete den Block ‚Nach links? ... Nach rechts?‘ Betrachte die Aufgaben 1 und 2: 2,7 t = 2,7 • 10 dz = 27,0 dz 2,673 dz = 2,673 • 100 kg = 267,3 kg Anzahl Nullen: Anzahl Stellen: Bearbeite die nebenstehende Tabelle auf deinem AB! Operator: Trage in die erste Spalte der Tabelle die Anzahl der Nullen der jeweiligen Operatoren ein! Aufg. 1: Aufg. 2: Aufg. 3: Aufg. 4: 1 2 3 : 100 • 10 • 100 : 1000 Die Maßeinheit wird kleiner, …. die Maßzahl wird ! Komma geht nach ! Trage in die zweite Spalte der Tabelle die Anzahl der Stellen ein um die das Komma bei der Rechnung seitlich verschoben wurde! Dann Klick! größer ………… Multiplikation rechts ………… Schrittweite: Anzahl der Nullen des Operators Betrachte die Aufgaben 3 und 4: 675,0 ct = 675 : 100 € = 6,75 € 3678,0 dm3 = : 1000 m3 =3,678 m3 2. Teilziel: 3. Teilziel: Zahl der Stellen, um die das Komma verschoben wird Die Maßeinheit wird größer, …. die Maßzahl wird ! Komma geht nach ! kleiner ………… Prüfe dies auch in den kommenden Beispielen! Division links 7 …………

9 Umgekehrte Denkrichtung im Vergleich zur vorigen Seite!
Frage dich immer zuerst, ob es sich bei der verlangten Umwandlung um „benachbarte“ Maßeinheiten handelt! Du hast gerade drei wichtige „Rezepte“ bekommen, mit deren Hilfe du fällige Umrechnungen von Größen in benachbarte Maßeinheiten durchführen kannst. Wir wiederholen diese noch einmal: Regeln einprägen! Die Antwort auf die folgende Frage sagt dir, um wie viele Stellen du das Komma verschieben musst: Frage: Welcher Operator gilt bei dieser Umwandlung? Die Anzahl der Nullen des Operators entscheidet darüber, um wie viele Stellen du das Komma verschieben musst. Keine Sorge: Kümmere dich (noch) nicht, ob • oder : ! Das entscheidet sich mit den kommenden Regeln! ... in den Kopf! Die nächsten Regeln helfen bei der Entscheidung, nach welcher Seite das Komma zu verschieben ist. Mal-Operator (z.B ) Durch-Operator (z.B ) • 100 : 1000 : 100 • 10 • 100 : 1000 • 1000 : 10 Wenn die Maßeinheit kleiner wird, …. wird die Maßzahl ! Komma nach ! Wenn die Maßeinheit größer wird, …. wird die Maßzahl ! Komma nach ! Jetzt heißt es schnell, einen Begriff einprägen! Mit anderen Worten: Eine Vokabel lernen! größer ………… kleiner Durch-Operator ………… Mal-Operator Die Operatoren prägst du dir ein, indem du dir merkst, welche Schrittweite bei den Umrechnungen im jeweiligen metrischen Maß gelten. rechts links ………… ………… Die Zahlen, die darüber bestimmen, um wie viele Stellen das Komma verschoben werden soll, heißen: OPERATOR Umgekehrte Denkrichtung im Vergleich zur vorigen Seite! ÜBUNG: Nimm jetzt dein AB und wiederhole noch einmal die Denkschritte für diese Aufgabe ! Bei KLICK kommt dann die nächste Aufgabe! Bevor du das Komma verschieben kannst, musst du zur richtigen Seite hin Nullen vorrichten! Übrigens: Beginnt die Maßeinheit mit ‚Hekt (o) ‘, so heißt der Operator immer • 100. Und bei ‚Kilo‘: • 1000 Denkschritte: Denkschritte: Denkschritte: Denkschritte: 96 dm3= ? m3 589 l = ? hl 75 ha = ? a 6,3 km = ? m 1 m3 = dm3 1000er-Operator (Das musst du zu jeder Tages- und Nachtzeit wissen!) Also: Komma um 3 Stellen verschieben! 1 ha = 100 a 100er-Operator (Das musst du zu jeder Tages- und Nachtzeit wissen!) Also: Komma 2 Stellen verschieben! 1 hl = 100 l 100er-Operator (Das musst du zu jeder Tages- und Nachtzeit wissen!) Also: Komma 2 Stellen verschieben! 1 km = m 1000er-Operator (Das musst du zu jeder Tages- und Nachtzeit wissen!) Also: Komma 3 Stellen verschieben! Löse jetzt gleich diese Aufgabe auf dem AB! Zu Kontrolle hier KLICK! 0096,0 dm3 = 0,096 m3 589,0 l = 5,89 hl 75,00 ha = 7500,0 a 6,300 km = 6300,0 m Löse jetzt gleich diese Aufgabe auf dem AB! Zu Kontrolle hier KLICK! Löse jetzt gleich diese Aufgabe auf dem AB! Zu Kontrolle hier KLICK! Die Maßeinheit wird größer, dann wird die Zahl kleiner. Also: Komma um 3 Stellen nach links! Die Maßeinheit wird größer, dann wird die Zahl kleiner. Also: Komma 2 Stellen nach links! Die Maßeinheit wird kleiner, dann wird die Zahl größer. Also: Komma 2 Stellen nach rechts! Die Maßeinheit wird kleiner, dann wird die Zahl größer. Also: Komma 3 Stellen nach rechts! Nullen vorrichten! Nullen vorrichten! Nullen vorrichten! Nullen vorrichten! 8

10 Achtung! Was ist neu im Vergleich zu den letzten Übungen?
Frage dich immer zuerst, ob es sich bei der verlangten Umwandlung um „benachbarte“ Maßeinheiten handelt! Regeln anwenden: Achtung! Was ist neu im Vergleich zu den letzten Übungen? Was tun, wenn die Maßeinheiten nicht benachbart sind? Tonne (t) und Gramm (g) sind keine benachbarten Einheiten. Schreibe deine Vermutung auf den Block! Prüfe dann durch einen Klick 2,7 t = ? g 1. Die Schritte gliedern. 2,7 t = ? kg = ? g 1000 er 1000 er 1000 er 1000 er 2. Um wie viele Stellen verschieben? Die Maßeinheit wird ………… , die Maßzahl wird ……………. . 3. Nach links oder nach rechts? Also: Das Komma wandert um Stellen nach 6 rechts Noch ein Beispiel! Genug Randnullen richten! 2, t = ,0 g ,0 27,000000 270,00000 27000,000 270000,00 2700,0000 15,8 mm = ? m 1. Die Schritte gliedern. 15,8 mm = ? cm = ? m 10 er 10 er 100 er 100 er 2. Um wie viele Stellen verschieben? Die Maßeinheit wird ………… , die Maßzahl wird ……………. . 3. Nach links oder nach rechts? Anwendung: > Größen II.ppsx < (Folien 32 – 35) Also: Das Komma wandert um Stellen nach 3 links Genug Nullen richten! 15,8 mm = ,0158m 00,158 001,58 0015,8