3. Höhepunkte der Klassik

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1 3. Höhepunkte der Klassik

2 Die klassischen Probleme
Delisches Problem

3 Krösus ( ) Lydischer König Pythia

4 Mittlere Proportionale: pq
p/h = h/q  pq = h2 (ähnliche Dreiecke)

5 Hippokrates fand: Das Problem der Würfelverdopplung ist gelöst, wenn es gelingt, zwei mittlere Proportionale x und y zwischen a und b = 2a einzuschalten a/x = x/y = y/b a2 = x4/y2 b = y2/x  a2b = 2a3 = x3 ... wonach sich dann seine Ratlosigkeit in eine andere, nicht geringere verwandelte ...

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7 Lösung durch Bewegungsmathematik.
Mit Zirkel und Lineal nicht möglich. Rechteck mit einer verschiebbaren Seite an die gegebenen Strecken a und b = 2a anlegen.

8 Trisektion des Winkels mittels Quadratrix
Hippias von Elis ca. 420 v. Chr.

9 Quadratur des Kreises Dinostratus ca. 400 v. Chr. K/r = r/a (pr/2)/r = r/a  pa = 2r U = 4K = 4r2/a A = rU/2 = 2r3/a Beweis durch Widerspruch: K/r = r/a Annahme: K/r = r/b (mit b > a)

10 Quadratur des Kreises Dinostratus ca. 400 v. Chr. Linearität des Umfangs K/r = K/b  K = r K/k = K/k = r/k Gleichmäßigkeit der Quadratrix K/k = r/h  k = h Widerspruch, da sinj  j für j  0. Die alternative Annahme b < a führt auf den Widerspruch tan j = j.  a = b

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12 Leuchtturm von Alexandria
130 m hoch, 280 v. Chr. eines der sieben Weltwunder

13 Museion von Alexandria (600.000 Bücher)
Alexandria, Mittelpunkt der Gelehrsamkeit unter Ptolemäus Soter (gekrönt 305) ff. Nicht identisch mit Claudius Ptolemäus (150 n. Chr.) Bibliothek mit Büchern - 47 v. Chr. von Cäsar unbeabsichtigt in Brand gesetzt - Marc Anton schenkte Cleopatra die Bibliothek von Pergamon - 389 Zerstörung aller heidnischen Monumente durch Christen (Bibliothek im Tempel von Serapis gleichfalls zerstört) - 642 Zerstörung durch Moslems

14 quod erat demonstrandum. oper edei deixai.
Sanft und bescheiden und wohlwollend gegenüber jedem Förderer der Mathematik Es gibt keinen Königsweg! Euklid ( ) ( ) Die Elemente (stoiceia) ca gedruckte Auflagen Alle früheren Lehrbücher verschollen, spätere unbekannt Euklidische Form: Definition, Satz, Beweis, Schlußformel quod erat demonstrandum. oper edei deixai.

15 Bücher I-VI: ebene Geometrie
Bücher VII-X: Arithmetik Bücher XI-XIII: räumliche Geometrie

16 Geradlinige Figuren: Geraden (Strecke halbieren, Lot fällen, Parallele ziehen), Dreiecke, a + b < 2R, Winkelhalbierung, Satz des Pythagoras.Flächenumwandlungen von Quadraten und Rechtecken.

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19 Kunst des Anlegens: geometrische Algebra (auf Griechen beschränkt)
n = ab ist durch p zu teilen:

20 Konstruktion des Goldenen Schnittes: d(d-x) = x2.
Strecke d stetig teilen Kreise mit Radius s um Endpunkte

21 Konstruktion des Goldenen Schnittes: d(d-x) = x2.
Kreis, Berührung von Kreisen, Sehnen, Tangenten, Winkel, Thales. Der Winkel zwischen Kreis und Tangente ist kleiner als irgend ein Winkel. Ein- und umbeschriebene gleichseitige Vielecke: Dreieck, Fünfeck, Sechseck, Fünfzehneck. Primzahl, Primfaktorzerlegung. Dreickszahlen, Quadratzahlen, Kubikzahlen, Proportionen Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen. Sei P = P1P2P3...Pn das Produkt aller Primzahlen. (P ± 1) wird durch keine dieser Primzahlen geteilt. Also ist es selbst Primzahl oder enthält eine Primzahl Pn+1. 2*3*5*7*11* = = 59*509 2*3*5*7*11* = 30029

22 perfekte oder vollkommene Zahlen (VZ)
6 = = Vollkommene Zahlen wurden mit den Tugenden identifiziert Alle geraden VZ sind immer Dreieckszahlen. Sie enden immer auf 6 oder 8. Sollten ungerade VZ existieren, so müssten sie größer als sein und aus mindestens 11 verschiedenen Faktoren bestehen. Die Summe einer geometrischen Reihe ist manchmal eine Primzahl: 3, 7, 31. Wird diese mit der letzten Zahl der Reihe multipliziert, so entsteht eine vollkommene Zahl: 3x2 = 6, 7x4 = 28. 28 = (1+2+4)*4 = 7*4 Teiler sind: (1,2,4)*1 (1,2,4)*7 wobei 4*7 = 28 Teilersumme: = 28 nicht perfekte Zahlen 14 > <

23 Jede VZ außer 6 ist Summe aufeinanderfolgender ungerader dritter Potenzen: 28 = , 496 = Alle VZ außer 6 liefern die Quersumme 1 Die Summe der Kehrwerte ihrer Teiler inclusive n ist stets 2: Bsp: 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2 (1/t1 + 1/t /tk) = (1/n)(n/t1 + n/t n/tk) = (1/n)(tk + tk t1) = (1/n)(2n) Bisher kennt man über 30 Mersennesche PZ (2p-1) und damit auch über 30 VZ 2p-1(2p-1) befreundete Zahlen: Zahl ist Summe der Teiler der Freundin 220 = 284 = Liebeszauber etc. Jakob schenkte Esau 220 Tiere

24 Lehre von den Inkommensurablen (Zahlen, für die es kein gemeinsames Maß gibt). Anleitung zur Bildung pythagoräischer Tripel. Grundlagen der Stereometrie: Geradlinig begrenzte Körper. Verhältnis der Inhalte von Pyramide, Kegel, Zylinder, Kugel, ohne aber je einen Inhalt tatsächlich zu berechnen. Nur Sätze (mit Beweis) wie: Das Kugelvolumen ist proportional zum Kubus des Radius. Das Kegelvolumen beträgt 1/3 des Volumens der Säule. Regelmäßige Körper. Ausschluß weiterer regelmäßiger Körper.

25 Archimedes ( ) Verwandt und/oder befreundet mit König Hieron II. und Gelon. Ägyptenaufenthalt, Alexandria, Museion Briefwechsel mit Eratosthenes

26 Größter Mathematiker, Physiker, Techniker der Antike
Sandrechnung Exhaustion p Parabel Spirale Auftrieb (Heureka) Schwerpunktberechnung Hebelgesetze Flaschenzug "Gebt mir einen festen Punkt ..." (Hieron) Wasserschraube Kriegsmaschinen (Flaschenzüge, Wurfmaschinen, Hohlspiegel) Syracus 2 Jahre lang "fast allein" gegen die Römer verteidigt Niederlage durch Verrat Getötet von einem Soldaten des Marcellus "Störe meine Kreise nicht." Syrakus im 2. Punischen Krieg Verbündeter Karthagos Grab noch 75 v. Chr. von Cicero aufgefunden: Kugel in Zylinder

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28 Zähle, mein Freund, die Rinder, die einst unter der Sonne Siziliens grasten, die nach ihrer Farbe in vier Herden geteilt waren. Eine ist milchweiß, eine schwarz, eine gefleckt und eine gelb, und die Beziehung zwischen ihnen ist wie folgt: weiße Bullen = (1/2 + 1/3) schwarze Bullen + gelbe Bullen, schwarze Bullen = (1/4 + 1/5) gefleckte Bullen + gelbe Bullen, gefleckte Bullen = (1/6 + 1/7) weiße Bullen + gelbe Bullen, weiße Kühe = (1/3 + 1/4) schwarze Herde, schwarze Kühe = (1/4 + 1/5) gefleckte Herde, gefleckte Kühe = (1/5 + 1/6) gelbe Herde, gelbe Kühe = (1/6 + 1/7) weiße Herde. Falls du, o Freund, mir nicht die Anzahl der Rinder jeder Art, Bullen und Kühe, angeben kannst, kannst du dich noch nicht als Könner betrachten.

29 Anzahl der weißen Bullen = 10366482*k
Anzahl aller Rinder = *k k   Bedenke aber noch die folgenden zusätzlichen Beziehungen zwischen den Bullen unter der Sonne: Weiße Bullen + schwarze Bullen = eine quadratische Zahl, Gefleckte Bullen + gelbe Bullen = eine Dreieckszahl. Wenn du diese auch noch berechnet hast, o Freund, und du die Gesamtzahl der Rinder gefunden hast, dann juble als ein Eroberer, weil du dir selbst bewiesen hast, dass du ein sehr begabter Rechner bist. h2 – *r2 = 1 Anzahl der weißen Bullen = *k Anzahl aller Rinder = *k k  1,54*

30 Archimedes (287 - 212) Zwischen 240 und 216 Viele Leute glauben,
o König Gelon, die Zahl der Sandkörner sei von unbegrenzter Größe. Andere meinen, daß ihre Zahl zwar nicht unbegrenzt sei, aber niemals eine so große Zahl genannt werden könne. Aber ich werde versuchen zu zeigen, daß unter den Zahlen, die ich schon angegeben habe, solche sind, welche die Zahl der Sandkörner übertreffen, in einem Sandhaufen nicht nur von der Größe der Erde, sondern auch wenn das ganze Universum mit Sand gefüllt wäre. Archimedes ( ) Zwischen 240 und 216

31 Eine Myriade Myriaden ist eine Achtheit A = 108
Eine Achtheit Achtheiten A2 = 108*2 = 1016 Eine Achtheit Achtheiten Achtheiten A3 = 108*3 = 1024 … Die 108te Achtheit AA = 108*108 = Eine Periode Die 108te Periode = 108*108*108 = 108*1016 eine 1 mit 80 Billiarden Nullen ai myriakismyriostas periodou myriakismyrioston arithmon myriai myriades Alles ohne Taschenrechner, Exponenten, Rechensymbole! Axiom des Archimedes (Unbeschränktheit der Zahlen): Zu jeder Zahl kann man eine größere natürliche Zahl finden.

32 Eine Myriade (= 10000) Sandkörner geht auf die Größe eines Mohnkorns (daher auch die Bezeichnung Staubrechnung). 104 Mohnkörner = Fingerbreite (1,5 cm) → Stadion (160 m) → Erddurchmesser (13000 km) → Sonnendurchmesser (1,4*106 km) → Durchmesser der Sonnenbahn (150*106 km) Im damals bekannten Kosmos finden 1064 Sandkörner Platz. n2 = n(n+1)(2n+1)/6 (vermutlich) bewegungsgeometrische Konstruktion des Siebenecks. Halbregelmäßige Polygone (z.B. 8 Dreiecke, 6 Quadrate)

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34 a/2 + a = j/2  a = j/3 Dreiteilung des Winkels j
Gerade so anlegen, dass außerhalb des Kreises Strecke r bleibt. a/2 + a = j/2  a = j/3

35 Dabei Summation der unendlichen Geometrischen Reihe
Wird ein Parabelabschnitt durch eine durch die Mitte der denselben bildenden Sehne der Achse parallel gezogene Gerade geschnitten, so ist die Berührungslinie an die Parabel in dem Schnittpunkte der Sehne selbst parallel. Anwendung mechanischer Überlegungen (Schwerpunkt, Gleichgewicht, Masse) zum Aufsuchen seiner Sätze, z.B. zur Quadratur der Parabel (Benennung von Archimedes) Strenger Beweis mittels Exhaustionsverfahren: Zerlegung in Ausschnitte, deren jeder kleiner als ein äußerer, größer als ein innerer ist. Dabei Summation der unendlichen Geometrischen Reihe 1 + q + q qn = 1/(1-q) für |q| < 1

36 Exhaustion x2 a2 a x Eudoxos Archimedes (410 – 355) (287 – 121)
(410 – 355) (287 – 121) a2 A = a3/2 A = A/4 A = A/4 A a x

37 Kugeloberfläche = 4 * Großkreisfläche pr2
Kugeloberfläche = 2/3 * Zylinderoberfläche (2*pr2 + 2pr*2r) Berechnung der Zahl p aus dem 96-eck: 3 + 1/7 > p > /71 3, > 3, > 3, Alles ohne Taschenrechner, Formeln, ohne sin, cos etc. vermutlich: "Heronische Formel": A = [s(s-a)(s-b)(s-c)] mit s = (a+b+c)/2

38 Kugeloberfläche = 4 * Großkreisfläche pr2
Kugeloberfläche = 2/3 * Zylinderoberfläche (2*pr2 + 2pr*2r) VZyl = 2pr3 VSph = (4/3)pr3 (Archimedes) VKon = (2/3)pr3 (Demokrit, Eudoxos)

39 Aristarch von Samos (310 - 230)
Erster Verfechter eines heliozentrischen Systems Werke dazu verschollen von Archimedes zitiert, vielleicht persönlich bekannt Bestimmung des Verhältnisses von Mond- und Sonnenabstand: Winkel zu 87° gemessen  cos 87° = 1 : 19 (galt bis Kepler) richtig: 89°51'  1 : 380 Abstand Erde - Mond ca. 40 Erddurchmesser  km, genauer Wert: km Sonnendurchmesser = 7 Erddurchmesser km, richtiger Wert: km Fehlende Aberration  Fixsterne sehr weit entfernt

40 Eratosthenes (276 - 194) geboren Cyrene (heute Schahhat, Libyen)
Philosophische Ausbildung in Alexandria und Athen 240: dritter Vorsteher des Museions und Erzieher des Kronprinzen Tod nach Erblindung: Selbstmord durch Verhungern

41 Pentathlos oder Herr b (nach Platon und Archimedes)
Schrift über Gut und Böse Über die Komödie Brief zur Würfelverdopplung (Mesolabium im Tempel deponiert) Chronologie (Schalttag alle 4 Jahre?) Begründer wiss. Geographie: Klimazonen, Mitternachtssonne Messung der Schiefe der Ekliptik 11/83 von 180° = 23° 51'. Messung des Erdumfanngs Entfernung zur Sonne 804 Mio Stadien = 131 Mio km Entfernung zum Mond Stadien = km Katalog mit 675 Sternen Sieb des Eratosthenes

42 Messung des Erdumfangs
Schattenlänge mittags zum Sommeranfang gemessen Alexandria (31°) Syene (= Assuan, 24°, auf dem Wendekreis  Sonne im Brunnen) U = Stadien ca km verbessert erst 1670: km korrekt: km (Polumfang)

43 Mesolabium cos 45° = A/D = A'/D' = A''/D'‘  A/A' = D/D‘ und
f(j) = A'/D = A''/D' = A'''/D'‘ A'/A'' = D/D‘ A''/A''' = D'/D'' A/A' = A'/A'' = A''/A'''

44 Apollonios von Pergä ( ) Studierte in Alexandria, wirkte später in Pergamon (Pergament statt Papyros) verfasste dort das Buch über Kegelschnitte: Konika neu: Herstellung aller Kegelschnitte an einem Kegel. "Der große Geometer" Bezeichnungen: Ellipse und Hyperbel Theorie der Epizykel und Exzenter, die später Ptolemäus übernahm. x, z: Abszissen y: Ordinate

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