Das Kugelwolkenmodell

Präsentation zum Thema: "Das Kugelwolkenmodell"—  Präsentation transkript:

1 Das Kugelwolkenmodell
Unterrichtssequenz für 9. Klasse Maximilian-von-Montgelas-Gymnasium Vilsbiburg © J. Reitbauer

2 Hinweise: Bitte genau durcharbeiten, es kommt nicht auf Schnelligkeit an! Ist eine Folie fertig dargestellt, erscheint ein kleiner Haken oben rechts. Das zugehörige Arbeitsblatt ist laufend zu ergänzen und zu bearbeiten und am Ende vollständig abzugeben.

3 Das Kugelwolkenmodell (KWM)
Atommodell, mit dem sich manche Phänomene (z. B. Kovalente Bindung, Molekülbau) sehr gut veranschaulichen lassen Es stellt eine Erweiterung des Bohrschen Atommodells dar und ist eine Vereinfachung gegenüber dem genaueren Orbitalmodell. „Erfinder“ George E. Kimball ( )

4 Das Kugelwolkenmodell (KWM)
„Leute, … denken immer, zuerst wurde das Kugelwolkenmodell entwickelt und dann das Orbitalmodell. Genau das Gegenteil ist der Fall. Das KMW ist eine didaktische Vereinfachung des Orbitalmodells, es wurde extra für Schüler und Studenten entwickelt.“ (U. Helmich, Sehr empfehlenswerte Quellen zum KWM: Hier gibt es auch ein sehr gutes kostenloses 3D-Computerprogramm, SUPER, ausprobieren, es lohnt sich!

5 Das Kugelwolkenmodell
Einführung in das Kugelwolkenmodell Regeln zum Darstellen der Kugelwolkenmodelle Anordnungsmöglichkeiten linear, trigonal, tetraedrisch Darstellung für einzelne Atome (H, Li, … bis Cl, Ar) , Übersicht PSE Darstellung für Moleküle (H2 , HF , F2 , CH4 , Cl2 , O2 , N2 , H2O , CO2) Darstellung für Ionen (MgO , NaF) Vereinfachung zur Valenzstrich-Schreibweise 3D-Computerprogramm Aufgaben

6 Das Kugelwolkenmodell
 An Bindungen sind die äußeren Elektronen (Valenz-elektronen) der Atome beteiligt Das „Planetenmodell“ von Bohr ist für die Beschreibung von Bindungen zwischen Atomen in Molekülen eher ungeeignet (Elektronen kreisen nicht um den Atomkern) Daher benötigt man ein besseres Modell zur Beschreibung, wo sich Elektronen im Atom aufhalten. Eine relativ einfache Modellvorstellung dafür ist das Kugelwolkenmodell von Kimball, eine modellhafte Vorstellung vom Aufbau der Elektronenhülle.

7 Das Kugelwolkenmodell
 Aufgabe: Wo hält sich ein Fußball-Torwart während eines Spiels auf? Kennzeichne diesen Ort mit einem Punkt auf dem Spielfeld.

8 Das Kugelwolkenmodell
 Aufgabe: Wo hält sich ein Fußball-Torwart während eines Spiels auf?  sehr hohe Wahrscheinlichkeit im 5-Meter-Raum  geringere Wahrscheinlichkeit im 16-Meter-Raum  noch geringere Wahrscheinlichkeit außerhalb 16-Meter-Raum  sehr geringe Wahrscheinlichkeit am Rand, in fremder Spielhälfte

9 Das Kugelwolkenmodell
 Aufgabe: Wo hält sich ein Elektron im Atom auf? Messung: Aufenthaltswahrscheinlichkeit P(Elek) eines Elektrons in Abhängigkeit der Entfernung vom Atomkern Ergebnis: Heisenberg, Schrödinger P(Elek) Abstand vom Atomkern Beschreibe das Ergebnis! P(Elek) in einem geringen Abstand zum Kern maximal, zu beiden Seiten hin stark abnehmend

10 Das Kugelwolkenmodell
 Dieser berechnete Raum (mit P(Elek) > 90%) heißt Elektronenwolke oder Kugelwolke oder Orbital. Elektron Orbital INFO: Wir stellen Atomorbitale als Kugel dar, obwohl sie in Wirklichkeit weder genau diese Gestalt noch eine feste Grenze besitzen.

11 Das Kugelwolkenmodell
 Regeln Elektronen halten sich in kugelförmigen Orbitalen = Kugelwolken auf. Eine Kugelwolke kann maximal 2 Elektronen enthalten. leere Kugelwolke ohne Elektron 1 Elektron einfach besetzte Kugelwolke doppelt besetzte Kugelwolke 2 Elektronen

12 Das KWM - Regeln  Eine Kugelwolke kann maximal 2 Elektronen enthalten (Pauli-Verbot) . Elektron nicht erlaubt ! 3 Elektronen 2 Elektronen

13 Das Kugelwolkenmodell
 Regeln Die energetisch günstigsten = energieärmsten Kugelkolken werden immer zuerst besetzt. Die Energie der Kugelwolken richtet sich nach der Entfernung vom Kern - je näher am Kern, umso günstiger (energieärmer). Jedes Atom besitzt die gleiche grundlegende Verteilung von Kugelwolken: 1 günstigste KW konzentrisch um den Atomkern, dann weiter außen jeweils vier weniger günstige KW, ...

14 Das KWM - Regeln  Allgemeine Regeln :
Die erste Schale (K) kann max. 2 Elektronen enthalten. Sie besteht aus einer Kugelwolke. Jede weiteren Schale (L, M, …) kann max. 8 Elektronen enthalten. Sie besteht daher aus maximal 4 Kugelwolken. Kugelwolken der gleichen Schale werden zunächst einzeln und dann erst doppelt besetzt (Hundsche Regel). d.h. doppelt besetzte Kugelwolken kommen nur dann vor, wenn die übrigen Kugelwolken der Schale mindestens einfach besetzt sind.

15 Das KWM - Regeln  Allgemeine Regeln : .
Kugelwolken stoßen sich gegenseitig ab (negativ geladene Elektronen)  Kugelwolken ordnen sich innerhalb der Schale so an, dass sie einen möglichst großen Abstand voneinander haben  sie bilden eine geometrische Grundausrichtung

16 Das Kugelwolkenmodell
 Anordnung der Kugelwolken Bei einer Kugelwolke (n=1) : Atomkern Kugelwolke „ganzes Atom“

17 Das Kugelwolkenmodell
 Bei 2 Kugelwolken (n=2) : Anordnung gegenüberliegend  lineare Anordnung Abstossung

18 Das Kugelwolkenmodell
 Bei 3 Kugelwolken (n=3) : Anordnung im 120° Winkel  Anordnung trigonal planar 3 Kugelwolken 120°

19 Das Kugelwolkenmodell
 Bei 4 Kugelwolken (n=4) : Hier wird's a bisserl kompliziert ! Die Anordnung der vier kugelförmigen Wolken erfolgt tetraedrisch um den Atomkern, der Winkel beträgt 109°. 3-dimensional 2-dimensional („plattgedrückt“) Tetraeder 4 Kugelwolken

20 Das Kugelwolkenmodell
 Darstellung der einzelnen Kugelwolken für die Elemente der 1. Periode (K-Schale) : Wasserstoff : besitzt 1 Elektron  1 Kugelwolke mit 1 Elektron Helium : besitzt 2 Elektronen  1 Kugelwolke mit 2 Elektronen

21 Das Kugelwolkenmodell
 Lithium : besitzt 3 Elektronen  eine weitere Kugelwolke muss verwendet werden  eine weitere Schale (L-Schale) wird begonnen 1 Kugelwolke (der K-Schale) mit 2 Elektronen besetzt, Kugelwolke ist nun voll besetzt 1 Kugelwolke der (neuen) L-Schale mit 1 Elektron besetzt, diese um die Kugelwolke der K- Schale herum angeordnet die vollbesetzte K-Schale wird für Darstellung nicht mehr verwendet, da nur die Valenzelektronen benötigt werden.  im Zentrum befindet sich der Atomrumpf aus Atomkern und innerer vollbesetzter K-Schale.

22 Das Kugelwolkenmodell
 Lithium : besitzt 3 Elektronen 1 Kugelwolke (der K-Schale) mit 2 Elektronen besetzt, Kugelwolke ist nun voll besetzt 1 Kugelwolke der L-Schale mit 1 Elektron besetzt, um die Kugelwolke der K- Schale herum angeordnet K-Schale L-Schale Vereinfachung nur Betrachtung der Valenzelektronen

23 Das Kugelwolkenmodell
 Beryllium : besitzt 4 Elektronen 1 Kugelwolke (der K-Schale) mit 2 Elektronen besetzt, Kugelwolke ist nun voll besetzt 2 Kugelwolken der L-Schale mit je 1 Elektron besetzt, linear um die Kugelwolke der K- Schale angeordnet

24 Das Kugelwolkenmodell
 Bor : besitzt 5 Elektronen 1 Kugelwolke (der K-Schale) mit 2 Elektronen besetzt, Kugelwolke ist nun voll besetzt 3 Kugelwolken der L-Schale mit je 1 Elektron besetzt, trigonal planar um die Kugelwolke der K- Schale angeordnet

25 Das Kugelwolkenmodell
 Kohlenstoff : besitzt 6 Elektronen 1 Kugelwolke (der K-Schale) voll mit 2 Elektronen besetzt 4 Kugelwolken der L-Schale mit je 1 Elektron besetzt, tetraedrisch um die Kugelwolke der K- Schale angeordnet Tetraeder

26 Das Kugelwolkenmodell
 Stickstoff : besitzt 7 Elektronen 1 Kugelwolke (der K-Schale) voll mit 2 Elektronen besetzt da in der L-Schale nur 4 Kugelwolken Platz finden, muss das 5. Elektron in eine der bereits mit 1 Elektron besetzten Elektronenwolken 3 Kugelwolken mit je 1 Elektron besetzt, 1 Kugelwolke mit 2 Elektronen besetzt, alle sind tetraedrisch angeordnet

27 Das Kugelwolkenmodell
 Sauerstoff : besitzt 8 Elektronen 1 Kugelwolke (der K-Schale) voll mit 2 Elektronen besetzt da in der L-Schale nur 4 Kugelwolken Platz finden, muss das 5. und 6. Elektron in eine der bereits mit 1 Elektron besetzten Elektronenwolken 2 Kugelwolken mit je 1 Elektron besetzt, 2 Kugelwolken mit je 2 Elektronen besetzt, alle sind tetraedrisch angeordnet

28 Das Kugelwolkenmodell
 Fluor : besitzt 9 Elektronen 1 Kugelwolke (der K-Schale) voll mit 2 Elektronen besetzt da in der L-Schale nur 4 Kugelwolken Platz finden, muss das 5. , 6. und 7. Elektron in eine der bereits mit 1 Elektron besetzten Elektronenwolken 1 Kugelwolken mit je 1 Elektron besetzt, 3 Kugelwolken mit 2 Elektronen besetzt, alle sind tetraedrisch angeordnet

29 Das Kugelwolkenmodell
 Neon : besitzt 10 Elektronen 1 Kugelwolke (der K-Schale) voll mit 2 Elektronen besetzt 4 Kugelwolken der L-Schale mit je 2 Elektronen besetzt, tetraedrisch um die Kugelwolke der K- Schale angeordnet die L-Schale ist nun voll besetzt

30 Das Kugelwolkenmodell
 Natrium : besitzt 11 Elektronen 1 Kugelwolke (der K-Schale) voll mit 2 Elektronen besetzt 1 Kugelwolke der L-Schale voll mit 8 Elektronen besetzt 1 Kugelwolke der M-Schale mit 1 Elektron besetzt, um die Kugelwolke der L- Schale herum angeordnet L-Schale M-Schale Vereinfachung nur Betrachtung der Valenzelektronen

31 Das Kugelwolkenmodell
 Magnesium : besitzt 12 Elektronen 1 Kugelwolke (der K-Schale) voll mit 2 Elektronen besetzt 1 Kugelwolke der L-Schale voll mit 8 Elektronen besetzt 2 Kugelwolken der L-Schale mit je 1 Elektron besetzt, linear um die Kugelwolke der K- Schale angeordnet

32 Das Kugelwolkenmodell
 Aluminium : besitzt 13 Elektronen 1 Kugelwolke (der K-Schale) voll mit 2 Elektronen besetzt 1 Kugelwolke der L-Schale voll mit 8 Elektronen besetzt 3 Kugelwolken der L-Schale mit je 1 Elektron besetzt, trigonal planar um die Kugelwolke der L- Schale angeordnet

33 Das Kugelwolkenmodell
 Silizium : besitzt 14 Elektronen 1 Kugelwolke (der K-Schale) voll mit 2 Elektronen besetzt 1 Kugelwolke der L-Schale voll mit 8 Elektronen besetzt 4 Kugelwolken der L-Schale mit je 1 Elektron besetzt, tetraedrisch um die Kugelwolke der L- Schale angeordnet

34 Das Kugelwolkenmodell
 Phosphor : besitzt 15 Elektronen 1 Kugelwolke (der K-Schale) voll mit 2 Elektronen besetzt 1 Kugelwolke der L-Schale voll mit 8 Elektronen besetzt da in der M-Schale nur 4 Kugelwolken Platz finden, muss das 5. Elektron in eine der bereits mit 1 Elektron besetzten Elektronenwolken 3 Kugelwolken mit je 1 Elektron besetzt, 1 Kugelwolke mit 2 Elektronen besetzt, alle sind tetraedrisch angeordnet

35 Das Kugelwolkenmodell
 Schwefel : besitzt 16 Elektronen 1 Kugelwolke (der K-Schale) voll mit 2 Elektronen besetzt 1 Kugelwolke der L-Schale voll mit 8 Elektronen besetzt da in der M-Schale nur 4 Kugelwolken Platz finden, muss das 5. und 6. Elektron in eine der bereits mit 1 Elektron besetzten Elektronenwolken 2 Kugelwolken mit je 1 Elektron besetzt, 2 Kugelwolken mit 2 Elektronen besetzt, alle sind tetraedrisch angeordnet

36 Das Kugelwolkenmodell
 Chlor : besitzt 17 Elektronen 1 Kugelwolke (der K-Schale) voll mit 2 Elektronen besetzt 1 Kugelwolke der L-Schale voll mit 8 Elektronen besetzt da in der M-Schale nur 4 Kugelwolken Platz finden, muss das 5. , 6. und 7. Elektron in eine der bereits mit 1 Elektron besetzten Elektronenwolken 1 Kugelwolke mit 1 Elektron besetzt, 3 Kugelwolken mit 2 Elektronen besetzt, alle sind tetraedrisch angeordnet

37 Das Kugelwolkenmodell
 Argon : besitzt 18 Elektronen 1 Kugelwolke (der K-Schale) voll mit 2 Elektronen besetzt 1 Kugelwolke der L-Schale voll mit 8 Elektronen besetzt 4 Kugelwolken der M-Schale voll mit je 2 Elektronen besetzt, tetraedrisch um die Kugelwolke der K- Schale angeordnet

38 Das Kugelwolkenmodell
 Übersicht im PSE H He Li Be B C N O F Ne Na Mg Al Si P S Cl Ar

39 Kugelwolkenmodelle für Moleküle
 Beispiel : Wasserstoff-Molekül + H H H  H Zusammenprall der Atome  Kugelwolken überlappen sich  Elektronen im gemeinsamen Überlappungsbereich  jedes der beiden H-Atome besitzt nun 2 Valenzelektronen (wie das nächste Edelgas He)  Atombindung / Einfachbindung zwischen beiden Atomen

40 Kugelwolkenmodelle für Moleküle
 Beispiel : Fluor-Wasserstoff-Molekül + F H F  H Einfachbindung

41 Kugelwolkenmodelle für Moleküle
 Wir betrachten nun je eines der beiden Atome genauer: Beispiel : Fluor-Wasserstoff-Molekül F-H F-H Das F-Atom hat in seiner Valenzschale nun 8 Elektronen  Edelgaskonfiguration Ne Das H-Atom hat in seiner Valenzschale nun 2 Elektronen  Edelgaskonfiguration He Ergebnis: Alle Atome besitzen Edelgaskonfiguration.

42 Kugelwolkenmodelle für Moleküle
 Beispiel : Fluor-Molekül + F F F  F Einfachbindung

43 Kugelwolkenmodelle für Moleküle
 Beispiel : Fluor-Mül F-F F-F Jedes F-Atom hat in seiner Valenzschale nun 8 Elektronen  entspricht der Edelgaskonfiguration von Ne Ergebnis: Alle Atome besitzen Edelgaskonfiguration.

44 Kugelwolkenmodelle für Moleküle
 Beispiel : Methan-Molekül + H  |  C  H H-C-H  | H 4 Einfachbindungen

45 Kugelwolkenmodelle für Moleküle
 Beispiel : Methan-Molekül Das C-Atom hat in seiner Valenzschale nun 8 Elektronen  Edelgaskonfiguration Ne Jedes der 4 H-Atome hat in seiner Valenzschale nun 2 Elektronen  Edelgaskonfiguration He Ergebnis: Alle Atome besitzen Edelgaskonfiguration.

46 Kugelwolkenmodelle für Moleküle
 Beispiel : Chlor-Molekül Cl Cl Cl  Cl + Einfachbindung

47 Kugelwolkenmodelle für Moleküle
 Beispiel : Chlor-Molekül Jedes Cl-Atom hat in seiner Valenzschale nun 8 Elektronen  Edelgaskonfiguration Ne Alle Atome besitzen Edelgaskonfiguration.

48 Kugelwolkenmodelle für Moleküle
 Beispiel : Sauerstoff-Molekül + O O O = O Zweifachbindung = Doppelbindung. Alle Atome besitzen Edelgaskonfiguration.

49 Kugelwolkenmodelle für Moleküle
 Beispiel : Sauerstoff-Molekül Jedes O-Atom hat in seiner Valenzschale nun 8 Elektronen  Edelgaskonfiguration Ne Alle Atome besitzen Edelgaskonfiguration.

50 Kugelwolkenmodelle für Moleküle
 Beispiel : Sauerstoff-Molekül Sehr schön wird die Bildung des Sauerstoff-Moleküls durch ein 3D-Computerprogramm dargestellt: Grafik aus

51 Kugelwolkenmodelle für Moleküle
 Beispiel : Sauerstoff-Molekül Grafik aus

52 Kugelwolkenmodelle für Moleküle
 Beispiel : Stickstoff-Molekül +   N N N ≡ N Dreifachbindung. Alle Atome besitzen Edelgaskonfiguration.

53 Kugelwolkenmodelle für Moleküle
 Beispiel : Stickstoff-Molekül Jedes N-Atom hat in seiner Valenzschale nun 8 Elektronen  Edelgaskonfiguration Ne Alle Atome besitzen Edelgaskonfiguration.

54 Kugelwolkenmodelle für Moleküle
 Beispiel : Wasser-Molekül + O H H - O - H 2 Einfachbindungen Alle Atome besitzen Edelgaskonfiguration.

55 Kugelwolkenmodelle für Moleküle
 Beispiel : Wasser-Molekül Das O-Atom hat in seiner Valenzschale nun 8 Elektronen  Edelgaskonfiguration Ne Jedes H-Atom hat in seiner Valenzschale nun 2 Elektronen  Edelgaskonfiguration He Alle Atome besitzen Edelgaskonfiguration.

56 Kugelwolkenmodelle für Moleküle
 Beispiel : Kohlenstoffdioxid- Molekül  O  C  O O = C = O 2 Doppelbindungen Alle Atome besitzen Edelgaskonfiguration.

57 Kugelwolkenmodelle für Moleküle
 Beispiel : Kohlenstoffdioxid-Molekül Jedes O-Atom hat in seiner Valenzschale nun 8 Elektronen  Edelgaskonfiguration Ne Das C-Atom hat in seiner Valenzschale nun 8 Elektronen  Edelgaskonfiguration Ne Alle Atome besitzen Edelgaskonfiguration.

58 Das Kugelwolkenmodell bei der Ionenbildung
 Atome ( Hauptgruppe) geben Elektronen ab (Kation), um die Elektronenkonfiguration des nächsten Edelgases zu erreichen. Atome ( Hauptgruppe) nehmen Elektronen auf (Anion), um die Elektronenkonfiguration des nächsten Edelgases zu erreichen. Spendet ein Atom die für das zweite Atom notwendigen Elektronen, so erreichen beide Atome die günstige Edelgaskonfiguration (in ihrer Valenzschale), d.h. voll besetzte äußere Schalen.

59 Das Kugelwolkenmodell bei der Ionenbildung
 Beispiel : Natriumfluorid-Bildung L-Schale L-Schale Na F M-Schale F- Na+ + Na+ und F- besitzen Edelgaskonfiguration.

60 Das Kugelwolkenmodell bei der Ionenbildung
 Beispiel : Natriumfluorid-Bildung Na+ F- Jedes Ion hat in seiner Valenzschale nun 8 Elektronen  Edelgaskonfiguration Ne Na+ und F- besitzen Edelgaskonfiguration.

61 Das Kugelwolkenmodell
Beispiel : Natriumfluorid-Bildung

62 Das Kugelwolkenmodell bei der Ionenbildung
 Beispiel : Magnesiumoxid-Bildung Mg O Mg2+ O2- + Mg2+ und O2- besitzen Edelgaskonfiguration.

63 Das Kugelwolkenmodell bei der Ionenbildung
 Beispiel : Magnesiumoxid-Bildung O2- Mg2+ Jedes Ion hat in seiner Valenzschale nun 8 Elektronen  Edelgaskonfiguration Ne Mg2+ und O2- besitzen Edelgaskonfiguration.

64 Das Kugelwolkenmodell und die Valenzstrich-Schreibweise
 Die zeichnerische Darstellung nach Kimball macht viel Arbeit zur Vereinfachung werden nur die Valenzelektronen berücksichtigt einzelne Elektronen mit einem Punkt dargestellt 2 Elektronen einer Kugelwolke mit einem Strich dargestellt die Punkte/Striche werden um das Atom angeschrieben bindende (von einfach besetzten Kugelwolken) und nichtbindende Elektronen (von vollständig besetzten Kugelwolken) werden gleich behandelt

65 Das Kugelwolkenmodell und die Valenzstrich-Schreibweise
 Beispiele: H + H  H-H Jedes H-Atom besitzt 1 Valenzelektron. Beide H-Atome sind durch eine Einfachbindung verbunden  lineare Anordnung Aufgabe: - Beschreibe folgende Verbindungen: HF, O2 , N2 , Methan (Elektronen, Bindungen) - Ermittle die Anordnung der Verbindung

66 Das Kugelwolkenmodell und die Valenzstrich-Schreibweise
 Beispiele: H + H  H-H Jedes H-Atom besitzt 1 Valenzelektron. Beide H-Atome sind durch eine Einfachbindung verbunden  lineare Anordnung H + F  H  F Das H-Atom und das F-Atom besitzen je 1 Valenzelektron. Das H-Atom und das F-Atom sind durch eine Einfachbindung verbunden  lineare Anordnung Das F-Atom besitzt 3 freie, nichtbindende Elektronenpaare.

67 Das Kugelwolkenmodell und die Valenzstrich-Schreibweise
 Beispiele: O +  O  O = O Jedes O-Atom besitzt 2 Valenzelektronen und 2 freie Elektronenpaare. Die beiden O-Atome sind durch eine Doppelbindung verbunden  lineare Anordnung   N + N  N ≡ N   Jedes N-Atom besitzt 3 Valenzelektronen und 1 freies Elektronenpaar. Die beiden N-Atome sind durch eine Dreifachbindung verbunden  lineare Anordnung

68 Das Kugelwolkenmodell und die Valenzstrich-Schreibweise
 Beispiele: H | C  H  H - C - H   Jedes C-Atom besitzt 4 Valenzelektronen , jedes H-Atom 1 VE. Jedes C-Atom ist mit einem H-Atom durch eine Einfachbindung verbunden  am C-Atom liegt eine tetraedrische Anordnung vor

69 3D-Computerprogramm Das Programm wurde speziell für den Einsatz in der der Schule konzipiert, so dass es keine vertieften Computerkenntnisse erfordert oder lange Einarbeitungszeiten notwendig wären. Download und Anleitung unter:

70 Aufgaben KWM bei Atomen, Ionen und Molekülen
Die Verteilung der im Atom (Ion) vorhandenen Elektronen sowie die Bindungen in Molekülen kann man durch das Kugelwolkenmodell sehr gut darstellen. Aufgabe 1: Bearbeite die Präsentation „Kugelwolkenmodell“. Erstelle für die Elemente H bis Ca die jeweiligen KWM ( AB 1). Aufgabe 2: Bearbeite die Präsentation „Kugelwolkenmodell“ – Abschnitt Moleküle. Erstelle für die Moleküle H2 , HF, CH4 und H2O die jeweiligen KWM (AB 2).

71 Das Kugelwolkenmodell
Unterrichtssequenz für 9. Klasse Gymnasium Vilsbiburg J. Reitbauer Hinweis: Grafiken sind entsprechend der gelungenen Darstellung von Hr. Peter Maisenbacher angepasst.