Trigonometrische Funktionen

Präsentation zum Thema: "Trigonometrische Funktionen"—  Präsentation transkript:

1 Trigonometrische Funktionen

2 Gliederung Definition der Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck und am Einheitskreis; Komplementärbetrachtungen Sätze über Winkelfunktionen: Sinussatz und Cosinussatz Additionstheoreme Der Tangenssatz

3 1. Definition der Winkelfunktionen
a) am rechtwinkligen Dreieck b) am Einheitskreis; c) Komplementärbetrachtungen

4 a) Definition der Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck

5 b) Definition der Winkel-funktionen am Einheitskreis
sin a : Ordinate (y-Wert) des zu a gehörenden Punktes auf dem Einheitskreis cos a : Abszisse (x-Wert) des zu a gehörenden Punktes auf dem Einheitskreis tan a : Länge des Abschnittes der senkrechten Tangente im Punkt P(1/0) bis zum „freien“ Schenkel des Winkels a. Für Winkel über 90° hinaus muß dieser Schenkel „rückwärts“ verlängert werden cot a : Länge des Abschnittes der waagrechten Tangente im Punkt T(0/1) bis zum „freien“ Schenkel des Winkels a

6 c) Komplementbeziehungen
sin a = a/c = cos b  sin a = cos (90°-a) cos a = b/c = sin b  cos a = sin ( 90°-a) tan a = a/b = cot b  tan a = cot (90°-a) cot a = b/a = tan b  cot a = tan (90°-a)

7 d) Definition der trigonometrischen Funktionen

8 2. Sätze über Winkelfunktionen
Sinussatz Cosinussatz

9 Allgemeiner Sinussatz
Ist R der Radius des Umkreises des Dreiecks ABC mit Winkeln a,b,g, so ist

10 Beweis:

11 Sinussatz In einem Dreieck gilt:

12 Beweis:

13 Folgerung aus dem Sinussatz
Ein Dreieck hat den Flächeninhalt abc/4R, wobei R der Umkreisradius ist.

14 Beweis:

15 Cosinussatz a² = b²+c²-2bc cos a b² = a²+c²-2ac cos b
Im Dreieck ist das Quadrat der einen Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten, vermindert um das doppelte Produkt aus diesen beiden anderen Seiten und dem Cosinuswert des eingeschlossenen Winkels. a² = b²+c²-2bc cos a b² = a²+c²-2ac cos b   c² = a²+b²-2ab cos g

16 Beweis:

17 Folgerung aus dem Cosinussatz
In einem Dreieck gilt:

18 3. Additionstheoreme (1)

19 Beweis: 1. Für spitze Winkel

20 2. Für stumpfe Winkel

21 Additionstheoreme (2)

22 Additionstheoreme (3)

23 4. Tangenssatz In einem Dreieck gilt: