Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

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Einleitung Die naheliegendsten Anwendungen der Differentialrechnung bestehen darin, Eigenschaften einer gegebenen reellen Funktion herauszufinden, die mit ihrer Ableitung, d.h. ihrer Änderungsrate zu tun haben. Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Übersicht Wie lautet ihr Definitionsbereich? Existenz und Lage von Nullstellen In welchen Intervallen steigt oder fällt sie? Besitzt sie lokale Extrema oder Sattelstellen und wenn ja, wo? Besitzt sie Wendestellen und wenn ja, wo? Wie verläuft die Wendetangente der Funktion? Ist die Funktion differenzierbar und/oder stetig? Wie lautet das Krümmungsverhalten? Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Typ der Funktion Handelt es sich um einen bekannten Funktionstyp? Parabel, Hyperbel, ... Wenn ja, können vielleicht Rückschlüsse auf Definitionslücken, Nullstellen, Pole und Asymptoten gezogen werden. Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Definitionsbereich Als erstes ist der Definitionsbereich einer Funktion anzugeben: einer Funktion f :Menge aller x-Werte, für die die Funktion f(x) mathematisch erklärt ist. z.B. Definitionslücken treten z.B an Stellen auf, an denen durch 0 geteilt würde oder die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl gezogen würde. Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Wertebereich - Grenzwerte Wo gegen strebt der Graph? Welche Funktionswerte hat die Funktion? Grenzwertbetrachtung z.B. Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Nullstellen Die Nullstellen einer Funktion f sind ganz allgemein durch die Lösungen der Gleichung f(x) = 0 gegeben. Sie entsprechen jenen Punkten, an denen der Graph die x-Achse schneidet. Altbewährte Methoden: pq-Formel quadratische Ergänzung Polynomdivision Substitution Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Differenzierbarkeit Falls die Ableitung existiert, heißt die Funktion f an der Stelle x0 differenzierbar, wenn Sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches differenzierbar ist. Dann heißt die Ableitungsfunktion Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Lokale Extrema Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Lokale Extrema Ist f differenzierbar, so ist an all diesen Stellen (sofern sie nicht am Rand des Definitionsbereichs liegen) die Tangente an den Graphen parallel zur x-Achse, d.h. hat den Anstieg 0. Der Graph hat dort ein Extremum. Da die Ableitung den Anstieg der Tangente an den Graphen ausdrückt, sind die Kandidaten für lokale Extrema die Lösungen der Gleichung f ‘(x) = 0. Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Lokale Extrema f ‘(x) = 0 dann Nullstellen in f ‘‘(x) einsetzen, wenn f ‘‘(x) < 0 dann lokales Maximum f ‘‘(x) > 0 dann lokales Minimum (f ‘‘(x) =0 dann Sattelpunkt - vgl. Folie 11 Sattelpunkte) Grenzwerte mit in Betracht ziehen, um zu sehen, ob lokale Extrema auch globale Extrema sind. Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Sattelpunkte Ist x eine Lösung der Gleichung f ‘(x) = 0 und ist die Ableitung links und rechts von x ungleich 0 und hat in beiden Bereichen dasselbe Vorzeichen, so ist x eine Sattelstelle. Der entsprechenden Punkt am Graphen heißt Sattelpunkt. Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Wendepunkte Eine Tangente kann sich an den Graphen an bestimmten Punkten von der einen Seite zur anderen ''wenden''. Die Punkte, an denen das passiert, heißen Wendepunkte, die entsprechenden Stellen sind die Wendestellen. Die Nullstellen der zweiten Ableitung stellen die Wendepunkte dar. f ‘‘(x) = 0 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Kurvenverhalten Wechselt f ‘‘(x) an der Stelle x=a das Vorzeichen von: 1) +nach - , dann wechselt der Graph von einer Links- in eine Rechtskurve. 2) - nach + , dann wechselt der Graph von einer Rechts- in eine Linkskurve. D.h. man setzt Werte in f ‘‘(x) ein, die zum einen größer und zum anderen kleiner sind als die Nullstelle der zweiten Ableitung. Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Wendetangentensteigung Um die Steigung der Wendetangente zu bestimmen, nutzt man natürlich wiederum die erste Ableitung. Dazu werden die Nullstellen von f ‘‘(x) in f ‘(x) eingesetzt. Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Monotonie Falls die Ableitung einer Funktion f in jedem Punkt eines Intervalls existiert und positiv (negativ) ist, so ist f in diesem Intervall streng monoton wachsend (fallend). Intuitiv leuchtet das ein, da die Tangente an den Graphen in jedem Punkt ansteigt (abfällt). f ‘(x) = 0 setzen Werte die links bzw. rechts der Nullstelle liegen in f ‘(x) einsetzen: Wenn <0 => f(x) streng monoton fallend Wenn >0 => f(x) streng monoton steigend Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Krümmungsverhalten Konvex = linksgekrümmt ( ) Konkav = rechtsgekrümmt ( ) Krümmung von f f‘‘(x) > 0 => f streng konvex im Intervall f‘‘(x) < 0 => f streng konkav im Intervall Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Symmetrie achsensymmetrisch f(x) = f(-x) punksymmetrisch f(-x) = - f(x) Beispiel f(x) = x2 f(x) = f(-x) => x2 = (-x)2 Dies können wir bestätigen. f(x) = x3 f(-x) = - f(x) =>(-x)3 = - (x)3 Dies können wir auch bestätigen. Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Wichtige Funktionen !!! Kostenfunktion K(x) x = (Produktions-) menge Durchschnittskostenfunktion (Stückkosten) x = (Produktions-) menge Nachfragefunktion N(p) p = Preis je Mengeneinheit Angebotsfunktion A(p) p = Preis je Mengeneinheit Erlösfunktion E(p) = p * N(p) p = Preis je ME E(x) = x * p(x) p = Preis x = Menge Gewinnfunktion G(x) = E(x) - K(x) Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Wichtige Funktionen !!! Grenzkosten: K‘(x) Grenznachfragefunktion: N‘(p) Grenzerlösfunktion: E‘(p) = N(p)+p*N‘(p) Grenzdurchschnittskostenfunktion: Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Beispiel Gegeben Kostenfunktion K(x) = (x-2)3+10 Grenzkostenfkt. und Durchschnittskostenfkt. gesucht K(x) = (x-2)3+10 = x3 – 6x2 +12x = x3 – 6x2 +12x + 2 Grenzkostenfunktion = K‘(x) = 3x2 – 12x + 12 Durchschnittskostenfunktion = Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Differential Ziel: näherungsweises Berechnen der Änderung eines Funktionswertes f(x0) bei Variation von x0. Anwendung: Die Preiselastizität der Nachfrage gibt näherungsweise an, um wieviel % sich die Nachfrage ändert bei der Variation des aktuellen Preises p0 um 1%. Idee: Der Graph einer Funktion f lässt sich in einer (kleinen) Umgebung eines Punktes (x0,f(x0)) relativ gut durch die Tangente an die Kurve annähern. Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Differential Differential: Variiert man x0 um dx Einheiten, so ändert sich f(x0) um Einheiten. Die Tangente an den Funktionsgraphen durch den Punkt (x0,f(x0)) besitzt die Steigung Variiert man x0 um dx Einheiten, so ändert sich der Funktionswert auf der Tangente um df = f‘(x0)*dx Einheiten. Für kleine Variationen dx stimmen gut überein. Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Differential df und dx bezeichnet man als Differentiale auch als Differentialquotient Variiert man x0=3 um dx=0,2 Einheiten, so ändert sich f(3) um 1,24 Einheiten Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Beispiel Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Differential Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Wachstumsrate Variiert man x0 um dx Einheiten, so beträgt die relative Änderung von f(x0): Dies entspricht für kleine dx näherungsweise der relativen Änderung auf der Tangenten Die Funktion bezeichnet man als Wachstumsrate von f. Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Wachstumsrate Variiert man x0 um dx Einheiten, so beträgt die relative Änderung von f(x0): Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Elastizität Variiert man x0 um s %, so ändert sich f(x0) relativ um: Die Variation von x0 um s %entspricht einer Änderung von x0 um dx= x0 *s % Einheiten. Für kleine Variationen von s% ergibt sich die Annäherung bezeichnet man als Elastizität Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Elastizität S =1: Die Elastizität an einer Stelle x0 gibt näherungs- weise an, um wieviel % sich f(x0) ändert, wenn x0 um 1% variiert. Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Beispiel Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Integralrechnung Ziel: 1) Umkehren des Differenzierens (unbestimmtes Integral) 2) Flächenberechnung (bestimmtes Integral) das unbestimmte Integral: Wenn F(x) Stammfunktion von f(x) ist, dann ist:  f(x)dx = {F(x) + c} ; cR Menge aller Stammfkt. F(x) von f(x). Dabei muss f in einem Intervall [a,b] stetig und F dort differenzierbar sein. Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Die Stammfunktion x3 ist eine Stammfunktion von 3x2, denn die Ableitung von x3 ist 3x2. Aber auch x oder auch x3 - 1 sind Stammfunktionen von 3x2. Die Menge aller Stammfunktionen von 3x2 =>  3x2dx = {x3 + c} Zwei Stammfkt. der gleichen Funktion f unterscheiden sich höchstens um eine additive Konstante (,die beim Ableiten wegfällt). Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Stammfunktionen Beispiele:  x2dx = 1/3x3 + c  (5x2+1)dx = 5/3x3 + x + c  dx =  1dx = x + c  exdx = ex + c  (30x2 + 2x)dx = 10x3 + x2 + c Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Stammfunktionen Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Integral und Flächeninhalt Der Flächeninhalt des Gebietes zwischen den Senkrechten x = a, x = b, der x-Achse und des Graphen der Funktion f ist A = Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Das bestimmte Integral mit a,bR wird ein bestimmte Integral genannt. = F(b) - F(a) = (27 + 3) - (1 + 1) = = 28 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Beispiele (27 + 3) - (8 + 2) = = 20 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Beispiele nicht definiert, denn ist nicht definiert wenn x=0 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Flächen Beispiel 1 Flächeninhalt des Gebietes zwischen den Linien x=0, x=1, der x-Achse und dem Graphen von x3 A = Beispiel 2 Flächeninhalt des Gebietes zwischen den Linien y=0, y=1, der y-Achse und Grafik von x3 A = 1 – A von Beispiel 1 = 1 - 1/4 = 3/4 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

Flächen Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren

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