Die spline-Interpolation

Präsentation zum Thema: "Die spline-Interpolation"—  Präsentation transkript:

1 Die spline-Interpolation

2 Gliederung Hintergrundwissen Die kubische spline-Interpolation
Grafische Darstellung an Scilab Praktische Relevanz

3 1. Hintergrundwissen Warum neues Verfahren?
Problem der Interpolation:  starke Oszillation an Rändern bei Polynomen hohen Grades erkannt durch Carl David Tolmé Runge ( )  Runge – Funktion: 𝑓 𝑥 = 1 1+𝑥²

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5 deshalb: spline-Interpolation
Was ist ein spline? Begriff aus Schiffbau:  elastische Holzlatten (engl: spline) so gebogen, dass gewisse Anzahl Knotenpunkte bedeckt wurden

6 Mathematisch: Kurve, die durch bestimmte Anzahl an Punkten verläuft und diese glatt verbindet
 Kurve besteht aus Polynomen  bei n Stützstellen: n-1 Polynome  stückweise Polynom-Interpolation aber: welcher Grad? einfachste Interpolation: stückweise linear  Grad 1

7 Problem?

8 daher wären Polynome vom Grad 2 die einfachste Lösung , aber:
 Interpolationsfunktion nicht eindeutig bestimmt  nicht genügend Parameter vorhanden, um praktisch relevante Bedingungen vorschreiben zu können deshalb: kubische Polynome

9 2. Die kubische spline-Interpolation
am häufigsten angewendete Interpolationsmöglichkeit Vorteile: 4 freie Parameter garantieren neben stetigen Differenzierbarkeit auch noch eine stetige 2. Ableitung Ableitungen an den Stützstellen gehen nicht in Berechnung mit ein  müssen nicht bekannt sein geringes Schwingverhalten

10 Definition: Es seien eine auf dem Intervall [a,b] definierte Funktion f(x) sowie eine Menge von Stützstellen a=x0<x1<…<xn=b gegeben. Eine kubische Spline-Interpolationsfunktion S(x) für f(x) ist über folgende Bedingungen definiert: S(xj) ist auf dem Intervall [xj,xj+1), j=0,…,n−1, ein kubisches Polynom. Es werde mit Sj x bezeichnet. S(xj)=f(xj) , j=0,…,n Sj+1(xj+1)=Sj(xj+1) , j=0,…,n−2 S′j+1(xj+1)=S′j(xj+1) , j=0,…,n−2 S′′j+1(xj+1)=S′′j(xj+1) , j=0,…,n−2 Eine der folgenden Randbedingungen ist erfüllt: S′′ (x0)=S′′(xn)=  natürlicher spline S′(x0)= f ′ (x0) , S′(xn)= f ′ (xn) eingespannter spline

11 Sj x =aj+bj(x−xj)+cj(x−xj)²+dj(x−xj)³
Ansatz: Sj x =aj+bj(x−xj)+cj(x−xj)²+dj(x−xj)³ gesucht sind freie Parameter aj, bj, cj, dj aj ergeben sich sofort aus üblichen Interpolationsbedingungen:  Sj xj =aj=f(xj) restlichen Parameter ergeben sich aus den Bedingungen der Definition

12 es ergeben sich für die anderen Parameter:
dj = cj+1 −cj 3hj , j=0,…,n−1 bj= 1 hj aj+1 −aj − hj 3 (2cj+cj+1) , j=0,…,n−1 hj−1cj−1+2 hj−1 +hj cj+hjcj+1= 3 hj aj+1 −aj − 3 h aj−aj−1 , j=1,…,n−1 hj ≙ Schrittweite zwischen xj und xj-1

13 zur Berechnung der cj bei natürlichen splines muss das Gleichungssystem Ax=b berechnet werden, mit:

14 Analoges gilt für eingespannten Rand

15 Warum dieser Ansatz? folgender Ansatz auch möglich? Sj x =aj+bjx+cjx²+djx³

16 Man bestimme den natürlichen kubischen spline, der
Beispielaufgaben: Beispiel 1: Man bestimme den natürlichen kubischen spline, der die folgende Tabelle interpoliert: x 1 2 3 y 10

17 Allgemeine Vorgehensweise (n. spline):
an = f(an) c0 = cn = restliche cj: hj−1cj−1+2 hj−1 +hj hj−1 +hj cj+hjcj+1= 3 hj aj+1 −aj − 3 h aj−aj−1 bj= 1 hj aj+1 −aj − hj 3 (2cj+cj+1) dj = cj+1 −cj 3hj

18 S0(x)=1+x−x³ S1(x)=1−2(x−1)−3(x−1)²+4(x−1)³ S2(x)=4(x−2)+9(x−2)²−3(x−2)³

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20 interpoliert! Beispiel 2:
Berechnen Sie den natürlichen kubischen spline, der f(x)=x4 an den Stellen x0=−1, x1=0 und x2=1 interpoliert!

21 Allgemeine Vorgehensweise (n. spline):
an = f(an) c0 = cn = restliche cj: hj−1cj−1+2 hj−1 +hj hj−1 +hj cj+hjcj+1= 3 hj aj+1 −aj − 3 h aj−aj−1 bj= 1 hj aj+1 −aj − hj 3 (2cj+cj+1) dj = cj+1 −cj 3hj

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23 3. Grafische Darstellung an Scilab

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25 4. Praktische Relevanz Automobilindustrie
3D-Grafiken in Computeranwendungen Holzbearbeitung (Designermöbel, Kunstwerke) Darstellung von Messwerten  3-dimensionale Geländekarten  auch im 2-dimensionalen möglich:

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