Rosebrock: Geometrische Gruppen

Präsentation zum Thema: "Rosebrock: Geometrische Gruppen"—  Präsentation transkript:

1 Rosebrock: Geometrische Gruppen
Gruppen Teil 2 Rosebrock: Geometrische Gruppen SFZ 15/16 W.Seyboldt

2 Zyklische Gruppen (S.22, p32)
Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird. Z.B. D4+ = {d, d2, d3, d4) der Drehungen eines regulären n- Ecks ist zyklisch, da D4+ = <d> Zyklische Gruppen sind kommutativ. (ℤn,+n) ist zyklisch, wird von <1> erzeugt, Das Einselement ist 0, das Inverse von i ist n-i. (ℤ12,+12 ) wird von jedem der Elemente 1,5,7,11 erzeugt, aber nicht von 3 – sie erzeugt nur die Menge {3,6,9,0} Ist Jln = {1, 2, 3,..., n - 1}, so ist (Jln,*n) genau dann eine Gruppe, wenn n eine Primzahl ist. In Jl8 etwa hat die 2 kein inverses Element. SFZ 15/16 W.Seyboldt

3 Isomorphe Gruppen (S.23, p33)
Gruppen werden als 'gleich' oder isomorph bezeichnet, wenn ihre Gruppenstruktur dieselbe ist (und sie gleich viele Elemente haben). Besser: Wenn es eine bijektive Abbildung f gibt, bei der sich die abgebildeten Objekte wie die Urbilder verhalten: f(a*b)=f(a)*f(b) – das erste * ist die Operation in der Urbildgruppe, das zweite die Operation in der Bildgruppe. Die Abbildung heißt Isomorphie (ℤn,+n ) und (Dn+◦) sind isomorphe Gruppen. Zu jeder natürlicher Zahl n gibt es, bis auf lsomorphie, nur eine zyklische Gruppe der Ordnung n. SFZ 15/16 W.Seyboldt

4 Eigenschaften von Gruppen (S.25 p35), Beweise S. 26,27
Sei (G,∙) eine beliebige Gruppe und v, w, g ∈G. Dann gilt: v ∙ g ∙ g-1 ∙ w=v ∙ w g0 = id (g-1)-1 = g g-n = (g-1)n In G gibt es nur ein neutrales Element. Zu jedem Gruppenelement gibt es nur genau ein Inverses. Aus g ∙ v = g ∙ w oder v ∙ g = w ∙ g folgt v = w Sind g1, g2,..., gn ∈ G, so gilt: (g1 ∙ g2 ∙ ∙ gn)-1 = gn-1 ∙ gn-1-1 ∙… ∙ g1-1 Sind a, b, c, d Elemente einer Gruppe G, so haben die Gleichungen xa = c und by = d jeweils genau eine Lösung. SFZ 15/16 W.Seyboldt

5 Ordnung eines Elementes (S.27, p27)
Die Ordnung oder Periode eines Elements g in einer Gruppe ist die kleinste Zahl n ∈ ℕ, so dass gn = e gilt. Man schreibt auch |g| = n. In Gap: Order(e) gibt die Ordnung eines Elements an. Jede Spiegelung hat die Ordnung 2 Elemente der Ordnung 2 heißen Involutionen. Die Ordnung einer Drehung um 360/n Grad ist n. Leicht sieht man ein, dass die Ordnung einer Permutation gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zyklenlängen ist. Etwa |(1,4,8,5,3)(2,7,6)| = 15 Ist die Ordnung eines Elements g E G endlich und gleich der Ordnung der Gruppe G, so ist G zyklisch und wird von g erzeugt. SFZ 15/16 W.Seyboldt

6 Untergruppen Eine Teilmenge U einer Gruppe G heißt Untergruppe von G, wenn U mir der Verknüpfung von G selbst eine Gruppe bildet. Wir schreiben dann U < G. Beispiel: Dn+ < Dn. Etwa ist die Gruppe der Deckabbildungen D6 des regulären Sechsecks eine Gruppe und die Menge der Drehungen D6+ ist eine Untergruppe davon. Read("/bsp/Ugr01.g"); Wir betrachten die Gruppe (ℤ8, +8). Dabei ist ℤ8 = {0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7}. Die Gruppe (U, +8) mir U = {0, 2, 4, 6} bildet eine Untergruppe der Gruppe ℤ8, Für das neutrale Element 0 gilt 0∈U und die Addition mod 8 von geraden Zahlen ergibt immer eine gerade Summe (z.B = 2). Die Inversen sind auch vorhanden (2+86 = 0 oder = 0). Die Menge H = {0, 2,4,5} bildet keine Untergruppe von ℤ8, weil zum Beispiel 2+85 = 7∉H. Rosebrock S. 34 SFZ 15/16 W.Seyboldt

7 Stabilisator Sei F eine beliebige Figur in der Ebene (oder ein Körper im Raum) und S⊂F. Sei G die Symmetriegruppe von F. Dann bilden die Elemente von G, die S auf S abbilden, eine Untergruppe G(S) < G, den Stabilisator von S. Wenn wir bei der Tetraedergruppe fordern, dass die Spitze - etwa der Punkt 4 - festbleibt, erhalten wir als Stabilisator D3, die Gruppe der Bewegungen eines Dreiecks. Read("/bsp/Ugr02.g"); Beispiel: Die Gruppe D3 ist ebenso der Stabilisator der Eckpunkte 1,3,5 im regulären Sechseck, d.h. der Gruppe D6 und deswegen gilt D3 < D6. Read("/bsp/Ugr03.g"); (Hier sieht man die Identität nicht mehr so einfach, vgl. unten die Isomorphismen) Rosebrock S. 36 SFZ 15/16 W.Seyboldt

8 Weitere Beispiele von Untergruppen
Jede Spiegelung einer Figur erzeugt eine Untergruppe der Ordnung 2 in der Symmetriegruppe der Figur. Beispiel: Die orientierungserhaltenden Isometrien ℇ+ der Ebene bilden eine Untergruppe der Gruppe ℇ der Isometrien der Ebene. Die Translationen bilden eine Untergruppe von ℇ. Die Tetraedergruppe S4 ist Untergruppe der Würfelgruppe. Es lässt sich nämlich das Tetraeder in den Würfel einbeschreiben, und man beobachtet wieder, dass jede Isometrie des Tetraeders auch eine des Würfels ist. Read("/bsp/Ugr04.g"); SFZ 15/16 W.Seyboldt

9 Sätze zu Untergruppen Satz: Eine nicht leere Teilmenge H von G ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn ∀ a, b ∈ H gilt ab-1 ∈ H. Beweis p48 Die Untergruppen einer zyklischen Gruppe sind zyklisch. Erinnerung: Eine zyklische Gruppe wird von einem Element erzeugt. Der Durchschnitt zweier Untergruppen einer Gruppe G bildet eine Untergruppe von G. Rosebrock S. 38 Aufgabe 2 S. 40 SFZ 15/16 W.Seyboldt

10 Kurz Dn = {id, d, d2,..., dn-1, s1, s1∘d, s1∘d2,..., s1∘dn-1}
Nebenklassen Wir betrachten die Drehgruppe Dn+ < Dn als Untergruppe der Symmetriegruppe des regulären n-Ecks. Seien s1,..., sn ∈ Dn alle Spiegelungen. Verknüpfen wir eine beliebige Spiegelung mir s1, so erhalten wir eine Drehung: s1 o si = d, oder, nach Multiplikation von s1 von links, si = s1∘d. Kurz Dn = {id, d, d2,..., dn-1, s1, s1∘d, s1∘d2,..., s1∘dn-1} Wir schreiben s1Dn+ für {s1, s1∘d, s1∘d2,..., s1∘dn-1}. Es gilt also: Dn = Dn+ ∪ s1Dn+ Read("/bsp/LNK_D6.g"); Allgemein: Sei H eine Untergruppe der Gruppe G und g ∈ G. gH = {gh | h ∈ H}. heißt Linksnebenklasse. Satz: Sei G eine Gruppe und H < G eine Untergruppe. Dann kann man G als disjunkte Vereinigung von Linksnebenklassen schreiben. (Bew. P51) Rosebrock S.51 SFZ 15/16 W.Seyboldt

11 [Lagrange 1771] Die Ordnung einer Untergruppe H einer endlichen Gruppe G ist ein Teller der Ordnung von G. Set G eine Gruppe und H < G eine Untergruppe. Der Index von H in G ist die Anzahl der Nebenklassen von H in G. Wir schreiben [G: H] . Read("/bsp/LNK_D8N2.g"); Ist G eine endliche Gruppe und H eine Untergruppe von G, so gilt: |G| = IHI*[G: H]. Sei G eine Gruppe. Wähle g c G mir g ∈ e. Die Menge <g>= {...,g-2, g-1, id, g, g2,...} bildet eine zyklische Untergruppe H < G, die von g erzeugte Untergruppe. Korollar 1: Jede Gruppe, deren Ordnung eine Primzahl ist, ist zyklisch. (Bew. p53, mit Lagrange) Korollar 2: Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung n und g ∈ G. Dann ist die Ordnung von g ein Teiler von n und gn = id. (Bew. p54) Rosebrock S. 42 SFZ 15/16 W.Seyboldt

12 Satz von Euler Satz von Euler: Sei a ∈ teilerfremd zu m∈ℕ. Dann folgt: 𝑎 𝜑(𝑚) ≡𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑚 wobei 𝜑 𝑚 die Eulersche Phi-Funktion ist, also die Anzahl der zu m teilerfremden Zahlen zwischen 1 und 𝑚− Bew: Die Elemente der Gruppe G seien alle zu m teilerfremden Zahlen zwischen 1 und m - 1 mit der Multiplikation modulo m. SFZ 15/16 W.Seyboldt

13 Isomorphismen Zwei Gruppen (G, ∘) und (H, ∗) heißen isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung Φ:𝐺⟶𝐻 gibt, so dass Φ 𝑢∘𝑣 = Φ 𝑢 ∗Φ 𝑣 für alle 𝑢,𝑣 Die Abbildung heißt Isomorphismus. Ein Isomorphismus einer Gruppe auf sich heißt Automorphismus. Bisher haben wir etwa D3 = { id , d120, d24o, sa, sb, sc} mit D3’= {(), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2), (1, 3), (2, 3)} identifiziert. Jetzt wissen wir, was diese Identifikation eigentlich ist: Es gibt eine Isomorphie Φ:D3⟶D3’ .... Mit Φ (id) = (), Φ(d120) = (1,2,3). Φ(d240) = (1, 3, 2), Φ(sa) = (1, 2), Φ(sb) =(1, 3), Φ(sc) = (2, 3) Die Funktion IsomorphismGroups in GAP konstruicrt einen Isomorphismus, sofern die beiden gegebencn Gruppen isomorph sind. Rosebrock (S.45 p55) SFZ 15/16 W.Seyboldt

14 Automorphimen Ist G eine Gruppe und h ∈ G, so ist die Abbildung Φℎ:𝐺⟶𝐺 definiert durch 𝜙ℎ(𝑔))= ℎ −1 𝑔ℎ ein Automorphismus, ein sogenannter innerer Automorphismus, die Konjugation von g mit h. Die Menge aller Automorphismen einer gcgebenen Gruppc G bilden die Automorphismengruppe Aut(G) einer Gruppe. Wir können alle endlichen Gruppen mit Permutationsgruppen identifizieren. Sei p eine Primzahl. Dann gibt es (bis auf Isomorphie) genau eine Gruppe der Ordnung p, die Gruppe (ℤ𝑝, +p) (Bew. p56) Rosebrock S.46 SFZ 15/16 W.Seyboldt

15 Homomorphismen Teil 1 Seien (G, ∘) und (H, ∗) zwei Gruppen. Eine Abbildung Φ:𝐺⟶𝐻 heißt Homomorphismus, wenn Φ 𝑢∘𝑣 = Φ 𝑢 ∗Φ 𝑣 für alle 𝑢,𝑣 Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus Beispiel 1: Wir erhalten einen Homomorphismus Φ:(ℤ, +) ⟶(𝐷7,∘) indem wir jede ganze Zahl n∈ ℤ auf die Drehung um n∙360/7 Grad im regulären 7-Eck abbilden. Beispiel 2: Mit GAP können wir einen Homomorphismus von der Tetra- edergruppe S4 auf die Gruppe der Drehungen eines Dreiecks abbilden. Φ: 𝑆 4 ,∘ ⟶ 𝐷 3 ,∘ Read("/bsp/Hom_S4D3.g"); Rosebrock (S.49 p59) SFZ 15/16 W.Seyboldt

16 Homomorphismen Teil 2 Jeder Homomorphismus Φ:𝐺⟶𝐻 bildet das neutrale Element auf das neutrale Element ab und das Inverse eines Elements auf das Inverse seines Bildes. Φ 𝑒 = 𝑒 ′ und Φ 𝑎 −1 = Φ 𝑎 −1 Der Kern eines Homomorphismus Φ:𝐺⟶𝐻 besteht aus allen Urbildern des neutralen Elements e‘∈H d.h. kern(Φ) = {g ∈ G I Φ(g) = e‘} Sei Φ:𝐺⟶𝐻 ein Homomorphismus. kern(Φ) bildet eine Untergruppe von G, bild(Φ) bildet eine Untergruppe von H. SFZ 15/16 W.Seyboldt

17 Normalteiler Sei N Untergruppe einer Gruppe G. Gilt für alle g ∈ G die Beziehung gN = Ng, d.h. die links- und die rechtsseitigen Nebenklassen sind gleich, so heißt N Normalteiler von G. Man sagt auch N ist normale Untergruppe von G: N⊲G. Beispiel: Wir betrachten die Gruppe (ℤ, +) und die Untergruppe 7∙ℤ = {...,-14,-7,0,7,14,21,...} = {7∙k | k ∈ℤ} Die Nebenklassen sind 7∙ℤ, 1 + 7∙ℤ, 2+ 7∙ℤ, 3+ 7∙ℤ, 4+7∙ℤ, 5+ 7∙ℤ, 6+ 7∙ℤ Es gilt (k+ 7∙ℤ) + (j+ 7∙ℤ)=(k+j)+ 7∙ℤ Mit Gap kann man die Gruppe aller Normalteiler bestimmen: Read("/bsp/NormT_D4.g"); Wir bezeichnen die Menge der Nebenklassen als G/U falls U Untergruppe der Gruppe G ist. Jedes einzelne Element von G/U ist also eine Nebenklasse. Man spricht manchmal von G modulo U. Rosebrock (S.52 p62) SFZ 15/16 W.Seyboldt

18 Beispiel: Die Faktorgruppe ℤ/7ℤ ist isomorph zu ( ℤ 7 , + 7 )
Sei N < G. N ist ein Normalteiler von G genau dann, wenn die Nebenklassen gN für alle g ∈ G eine Gruppe G/N mit der Operation giN∙gkN = (gigk)N bilden. (Bew. p64) Sei N⊲G. Die Gruppe G/N, bei der die Elemente die Neben- klassen gN und die Operation durch giN ∙ gkN = (gi ∙ gk)N bestimmt ist, heißt Faktorgruppe von G nach N. Die Gruppe G/N wird auch Quotient der Gruppe G genannt. Das neutrale Element der Faktorgruppe G/N ist N, denn N ∙ gkN = (e ∙ gk)N = gkN. Das Inverse zu gN ist g-1N, denn gN ∙ g-1N = (gg-1)N = N. Beispiel: Die Faktorgruppe ℤ/7ℤ ist isomorph zu ( ℤ 7 , + 7 ) SFZ 15/16 W.Seyboldt

19 Permutationsgruppen Sei Tn = {1, 2,..., n} die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis n für irgendein n > 1. Eine bijektive Abbildung von Tn auf sich heißt Permutation. Sei Sn die Menge aller Permutationen von Tn. Sn heißt die symmetrische Gruppe über n Elementen. Es gilt ISnl = n! Beispiele: (2, 4, 5)(1, 3) ∙ (1, 2, 3) = (1, 4, 5, 2) oder (1,2,3...n)n = (1)(2)...(n) = id. Hat man eine Menge von Permutationen, die bezüglich Hintereinanderausführung eine Gruppe bilden, so spricht man von einer Permutationsgruppe. Rosebrock (S61 p71) SFZ 15/16 W.Seyboldt

20 Symmetrische Gruppen – Satz von Caley
Sn sind im allgemeinen nicht abelsch, es gilt etwa in S3 (1,3) ∘(1,2)=(1,2,3) ≠(1,3,2)=(1,2) ∘(1,3) Die Gruppe Sn wird durch Transpositionen erzeugt. Z.B: (1, n) ∙ (1,n- 1) ∙ … ∙(1,4) ∙(1,3) ∙ (1,2) = (1,2,3,4,...,n) Satz von CAYLEY : Jede Gruppe der Ordnung n ist isomorph zu einer Untergruppe der Gruppe Sn. (Bew. p73) Um Eigenschaften gegebener Gruppen nachzuweisen, ist der Satz von Cayley allerdings nicht sonderlich brauchbar, weil eine Gruppe der Ordnung n als Untergruppe einer viel zu großen Gruppe (der Ordnung n!) erwiesen wird, um diese Beziehung praktisch nutzen zu können. Für GAP hat der Satz natürlich große Bedeutung, weil er impliziert, dass jede endliche Gruppe sich als Gruppe von Permutationen schreiben lässt. SFZ 15/16 W.Seyboldt

21 Operationen von Gruppen auf Mengen (S.66 p76)
Sei G eine Gruppe und X eine Menge. Eine Operation von G auf X ist eine Abbildung, die jedem g ∈G und x ∈ X ein Element g(x) ∈ X zuordnet, so dass ∀x ∈ X gelte e(x) = x (wobei e das neutrale Element von G ist), ∀x ∈ X und ∀g,h ∈ X gelte gh(x)=g(h(x)) (Assoziativität). Wir sagen, G operiert auf X oder X ist eine G-Menge. Bei der Symmetriegruppe G einer Figur F in der Ebene (oder eines Körpers im Raum) sind diese Bedingungen auf natürliche Weise erfüllt. G operiert auf F. Sei G(5,3)+ die Gruppe der orientierungser- haltenden Symmetrien des Dodekaeders SFZ 15/16 W.Seyboldt

22 Gruppenpräsentationen
Gruppen lassen sich durch Erzeugende und Relationen, das sind Produkte von Erzeugenden und ihren Inversen, die die Gruppeneins sind, darstellen. Diese Darstellung heißt Präsentation einer Gruppe und beschreibt sie vollständig. D3 = {id, d120, d240, sa, sb, sc} = < sa, d120> = <s,d> Ein Wort ist ein beliebiger Ausdruck in den Erzeugenden und ihren Inversen. Worte, die =id sind, heißen Relationen, Relationen, die man nicht kürzen kann sind reduziert. Bsp: s2 oder d3 sind reduzierte Relationen, d6 ist eine nicht reduzierte Relation. sd ist ein Wort, das keine Relation ist. Relationen kann man leicht im Cayley-Graph erkennen Satz: Sei G =< g1,... ,gn > und w = a1a2...am ein Wort in den Erzeugenden und ihren Inversen. w ist genau dann eine Relation in G, wenn γw ∈ ΓG(g1,... ,gn) geschlossen ist. Rosebrock p99, Bew: p100 SFZ 15/16 W.Seyboldt

23 Sei G =< g1,..,gn > und seien w1,... ,wm Relationen in G.
Matrizen Sei G =< g1,..,gn > und seien w1,... ,wm Relationen in G. Lässt sich jede andere Relation aus {w1,... ,wm } gewinnen, so heißen diese definierende Relationen von G bezüglich den Erzeugenden g1,..,gn . {s2, d3, sdsd} eine Menge von definierenden Relationen für D3 =< s, d > Sei G =< g1,..,gn > und seien w1,... ,wm definierende Relationen in den Erzeugenden g1,..,gn . Dann heißt <g1,..,gn | w1,... ,wm> Präsentation der Gruppe G. Dn=<s,d | s2, dn, sdsd> (Bew. P100) Drehmatrizen SFZ 15/16 W.Seyboldt