Cutting & Packing (Verschnitt- und Verpackungsprobleme)

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1 Cutting & Packing (Verschnitt- und Verpackungsprobleme)
Kapitel 5 Cutting & Packing (Verschnitt- und Verpackungsprobleme)

2 Inhalt 5.1 Einleitung/Beispiele 5.2 Typologie & Begriffe
5.3 Eindimensionale Probleme 5.4 Zweidimensionale Probleme 5.5 Dreidimensionale Probleme (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

3 Beispiel 1: Zuschneiden von Heizungsrohren
Rohre der Länge 9 vorrätig Es sollen kürzere Rohrstücke der Längen 2, 3 und 4 (mehrere je Typ) herausgeschnitten werden Dabei ist es sinnvoll, „gute“ Schnittmuster zu finden Eindimensionales C&P Problem (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

4 Beispiel 2: Zuschneiden von Platten
Es sollen eine Reihe von kleinen Platten hergestellt werden (mehrere je Typ) Es stehen einige Typen von großen Platten zur Verfügung, aus denen die kleinen Platten geschnitten werden können. Zweidimensionales C&P Problem (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

5 Beispiel 3: Container Beladung
Es sollen eine Reihe von kleinen Boxen in möglichst wenige Container verladen werden Dreidimensionales C&P Problem (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

6 Beispiel 4: Backup auf CDs oder USB Sticks
Eine gegebene Anzahl von Dateien (verschiedene Größen) soll auf möglichst wenig CDs oder USB Sticks gesichert werden Ähnlich wie Beispiel 1 (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

7 Beispiel 5: Rucksackproblem
ein Wanderer will seinen Rucksack packen und kann verschiedene Dinge mitnehmen (Getränk, Brot, Fernglas, Regenschutz, Kamera, Handy, Navi ...) jedes Teil hat Gewicht und bringt Nutzen bei gegebener Gewichtsbeschrän- kung (oder Volumens-beschränkung) für den Rucksack (z.B. 10 kg oder 25 Liter) soll der Nutzen maximiert werden  Rucksackproblem, „knapsack“-Problem ähnlich BSP 1, aber Nutzen i.a. nicht proportional zu Gewicht (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

8 Beispiel 6: Kapitalbudget
ein gegebenes Budget soll auf Investitionsprojekte mit unterschiedlichem internen Zins (bei gleicher Laufzeit) aufgeteilt werden Projekte können gleichzeitig realisiert, aber nicht geteilt werden Gesamtverzinsung soll maximiert werden z.B. Anfangsinvestition interner Zinssatz Projekt 1: 14 Mio 12 % Projekt 2: 10 Mio 11 % Projekt 3: 9 Mio 10 % Alternativerendite 5 % Gesamtbudget 20 Mio (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

9 Beispiel 6: Kapitalbudget – Fortsetzung1
z.B. Anfangsinvestition interner Zinssatz Projekt 1: 14 Mio 12 % Projekt 2: 10 Mio 11 % Projekt 3: 9 Mio 10 % Alternativerendite 5 % Gesamtbudget 20 Mio Zwei mögliche Lösungen: Lösung 1: Zinsertrag pro Jahr = 14·12 + 6·5 = 198 Lösung 2: Zinsertrag pro Jahr = 10·11 + 9·10 + 1·5 = 205 (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

10 Beispiel 6: Kapitalbudget – Fortsetzung2
Entspricht Produktionsprogammplanung bei einem Engpass (Produktion & Logistik 1) Bei Teilbarkeit  Reihung nach relativem DB (einfach) Unteilbarkeit (nur 0 oder Absatzobergrenze)  np-schweres C&P Problem Produkt j DB pro Stück dj Bearbeitungs- zeit pro Stück aj Absatzhöchst- Menge Aj 1 4 200 2 12 75 3 10 50 6 40 5 7 100 (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

11 Beispiel 7: Fliessbandabstimmung
C&P Problem mit Reihenfolgebeschränkungen Tätigkeit Beschreibung Ausführungszeit Unmittelbar vorhergehende A Grundplatte 3 - B Achsen C Motor 4 D Getriebe 6 E Räder 8 F Lenkstange C, D G Keilriemen 2 H Karosserie 5 E, F I Lichtanlage J Scheiben 1 F, H, I (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

12 Inhalt 5.1 Einleitung/Beispiele 5.2 Typologie & Begriffe
5.3 Eindimensionale Probleme 5.4 Zweidimensionale Probleme 5.5 Dreidimensionale Probleme (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

13 5.2 Typologie Wie gezeigt, lassen sich viele inhaltlich verschiedene Problemstellungen der BWL als C&P-Probleme formulieren. Es ist daher sinnvoll, eine allgemeine Einteilung (Typologie) dieser Probleme vorzunehmen; siehe: Dyckhoff, 1990, A Typology of C&P problems, European J. on OR, 44, pp Inhaltlich Dimension Verlade- oder Beladeprobleme Anzahl große und kleine Objekte (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

14 Inhaltliche Charakterisierung
C&P im engeren Sinne (räumliche Dimension) Verschnittprobleme Verpackungs-, Beladungsprobleme abstrakte C&P-Probleme (nicht räumliche Dimension) Gewicht: Rucksack, vehicle loading Zeit: Fließbandabgleich, multiprocesser scheduling Geld: Kapitalbudgetierung andere: Dateienbackup  für formale Behandlung und Lösungsmethode nicht wesentlich. (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

15 Dimension eindimensional 1 zweidimensional 2 dreidimensional 3 …
Objekte sind zwar fast immer dreidimensional, aber oft sind nur 1 oder 2 Dimensionen relevant Z.B. wenn nicht gestapelt werden kann. z.B. Palettenbeladung ist z.B. zumeist zweidimensional (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

16 Verlade- oder Beladeprobleme
Beladeprobleme: Alle großen Objekte und eine Auswahl der kleinen Objekte B Verladeprobleme: Alle kleinen Objekte in eine Auswahl der großen Objekte verpacken V Ladeprobleme: Auswahl der kleinen Objekte und Auswahl der großen Objekte [L] (Auswahl z.B. nach Wert oder Termin) (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

17 Große und kleine Objekte
Große Objekte ein Objekt O „one“ (z.B. Rucksackproblem) identische Objekte I „identical“ verschiedene Objekte D „different“ (20 oder 40 Fuß Container) Kleine Objekte wenige Objekte von verschiedenen Formen F „few“ viele Objekte von vielen Formen M „many“ viele Objekte von relativ wenig verschiedenen Formen R „relatively few“ kongruente (identische) Objekte C „congruent“ (z.B. Paletten beladen)  wichtig für die Auswahl der Algorithmen (exakt, Heuristiken) (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

18 Mögliche Typologie Dimension / Be-Verlade / große Objekte / kleine Objekte z.B. Deckt nicht alles ab  zusätzliche Gliederungsmerkmale Oder andere Klassfikation Rucksackproblem 1/B/O/ Palettenbeladung 2/B/O/C klassisches n-dimensionales Verschnitt- oder Verpackungsproblem n/V/I/R Fließbandabgleich 1/V/I/M n-periodiges Kapitalbudgetierungsproblem "bin-packing" (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

19 Andere Typologien z.B. Gerhard Wäscher, Heike Hausner, Holger Schumann: An improved typology of cutting and packing problems,  European Journal of Operational Research 183 (2007) 1109–1130. Verladeproblme  Input Minimierung Beladeprobleme  Output Maximierung … (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

20 Guillotine-Schnitte Als Schnittmuster kommen in Frage:
Guillotine-Schnitte z.B. Glas immer von einem Ende des großen Objekts bis zum anderen verschachtelte Muster erlaubt Beschränkung auf Guillotine-Schnitte kann technisch notwendig sein, auf Grund der einfacheren Handhabung sinnvoll sein, oder auch nur eine Zweckannahme für die Optimierung sein. (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

21 Guillotine-Schnitte 1-stufiges Guillotine-Schnittmuster
verschachteltes Schnittmuster (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

22 Formen Rechteckig Allgemeine Formen (c) Prof. Richard F. Hartl
Transportlogistik

23 Orientierung Drehung (z.B. um 900) möglich
Drehung nicht möglich z.B. Holzmaserung, Stoffmuster Allgemeine Drehung möglich (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

24 Zuordnungsweise on-line: Stücke müssen sofort verpackt werden
off-line: simultane Optimierung aller Stücke und dann Verpackung – Sortierung möglich Zusammenhang mit statisch/dynamisch statisch: alle kleinen Objekte zu Beginn bekannt (off-line) dynamisch: kleine Objekte werden nach und nach bekannt und verfügbar on-line ist Extremfall von dynamisch, d.h. immer nur 1 kleines Objekt bekannt, und muss sofort verpackt werden (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

25 Inhalt 5.1 Einleitung/Beispiele 5.2 Typologie & Begriffe
5.3 Eindimensionale Probleme 5.4 Zweidimensionale Probleme 5.5 Dreidimensionale Probleme (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

26 5.3.1 Eindimensionale Probleme: ONLINE
Wir betrachten den Fall 1/V/I/M (in der Literatur oft als "Bin-packing" bezeichnet), wo also viele kleine Objekte in möglichst wenige identische große Objekte eingepackt werden sollen. Es sei keine Zeit, aufwendige Berechnungen anzustellen; die Teile müssen sofort On-Line verpackt werden. Die einfachsten bekannten Heuristiken sind NF (next-fit) FF (first-fit) BF (best-fit) (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

27 NF (next-fit) Man ordne das kleine Objekt in das nächste große Objekt, das frei ist. Wenn also im aktuellen großen Objekt kein Platz mehr ist, wird ein neues großes Objekt begonnen und die zuvor bepackten großen Objekte werden nicht weiter betrachtet. BSP1: große Objekte Länge 8, kleine Objekte Länge 5, 2, 3, 2, 1, 3, (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

28 FF (first-fit) Man ordne das kleine Objekt in das erste große Objekt ein, in das es noch hineinpasst. Alle bisherigen großen Objekte kommen also in Betracht. Nur wenn das kleine Objekt nirgends mehr hineinpasst, wird ein neues großes Objekt begonnen. BSP1: große Objekte Länge 8, kleine Objekte Länge 5, 2, 3, 2, 1, 3, 5 (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

29 BF (best-fit) man ordne das kleine Objekt in jenes große Objekt ein, wo dann der kleinste Restraum bleibt. Im Falle von Nichteindeutigkeit wähle man das erste solche große Objekt. BSP2: große Objekte Länge 8, kleine Objekte Länge 5, 6, 4, 2, 3, 3 Lösung NF (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

30 BF (best-fit) man ordne das kleine Objekt in jenes große Objekt ein, wo dann der kleinste Restraum bleibt. Im Falle von Nichteindeutigkeit wähle man das erste solche große Objekt. BSP2: große Objekte Länge 8, kleine Objekte Länge 5, 6, 4, 2, 3, 3 Lösung FF (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

31 BF (best-fit) man ordne das kleine Objekt in jenes große Objekt ein, wo dann der kleinste Restraum bleibt. Im Falle von Nichteindeutigkeit wähle man das erste solche große Objekt. BSP2: große Objekte Länge 8, kleine Objekte Länge 5, 6, 4, 2, 3, 3 Lösung BF (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

32 5.3.1.4 Online Algorithmen Komplexität
NF  wächst linear mit Anzahl der kleinen Objekte FF  wächst quadratisch (es sei denn, man hält nur ein fixe Maximalzahl an großen Objekten offen  dann linear BF  wächst ebenfalls quadratisch (es sei denn, man hält nur ein fixe Maximalzahl an großen Objekten offen  dann linear Meist ist BF die beste und NF die schlechteste Heuristik Die Effizienz kann gesteigert werden, indem man die kleinen Objekte zuvor sortiert  Offline Algorithmen (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

33 5.3.2 Eindimensionale Probleme: OFFLINE
Wir betrachten wieder den Fall 1/V/I/M, also das klassische "Bin-packing" problem, wo also viele kleine Objekte in möglichst wenige identische große Objekte eingepackt werden sollen. Nun sei es möglich, aufwendigere Berechnungen anzustellen; die Teile müssen nicht sofort On-Line verpackt werden  sortieren möglich Die einfachsten bekannten Heuristiken sind NFD (next-fit decreasing) FFD (first-fit decreasing) BFD (best-fit decreasing) (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

34 Eindimensionale Probleme: OFFLINE
Im Falle von NFD bringt das sortieren nicht viel, da die Lücken später nicht mehr mit kleinen Objekten gefüllt werden. Es ist ja immer nur ein großes Objekt offen. Wir lösen daher mit FFD (first-fit decreasing) und BFD (best-fit decreasing) die obigen Beispiele BSP1: große Objekte Länge 8, kleine Objekte Länge 5, 2, 3, 2, 1, 3  5, 3, 3, 2, 2, 1 BSP2: große Objekte Länge 8, kleine Objekte Länge 5, 6, 4, 2, 3, 3  6, 5, 4, 3, 3, 2 (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

35 BSP1: OFFLINE BSP1: große Objekte Länge 8, kleine Objekte sortiert 5, 3, 3, 2, 2, 1 Wir lösen mit FFD und BFD In beiden Fällen (zufällig) die optimale Lösung 5 großes Objekt 1: 8 3 2 großes Objekt 2: 1 7 (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

36 BSP2: OFFLINE BSP2: große Objekte Länge 8, kleine Objekte sortiert 6, 5, 4, 3, 3, 2 Wir lösen mit FFD und BFD In beiden Fällen (zufällig) die optimale Lösung 8 5 großes Objekt 1: großes Objekt 2: großes Objekt 3: 4 3 7 6 2 (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

37 Theoretische Resultate
1. Im Gegensatz zu Heuristiken gibt es für Approximationsalgorithmen „worst case" Abschätzungen So kann z.B. für FFD die folgende "worst case" Abschätzung gezeigt werden: [Anzahl bins mit FFD]  [optimale Anzahl bins] + 4 2. Wenn die Länge der großen Objekte steigt, so kann die Anzahl der benötigten Bins nicht steigen Dies gilt für die optimale Lösung, nicht aber für Heuristiken oder Approximationsalgorithmen; siehe folgendes Beispiel. (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

38 Gegenbeispiel Anzahl Bins - 60
bei größerer Länge L benötigt FFD mehr große Objekte: kleine Objekte der Längen 44, 24, 24, 22, 21, 17, 8, 8, 6, 6. Großes Objekt der Länge 60 Bei "Länge" 60 kommt man mit 3 großen Objekten aus. Diese Lösung ergibt sich bei FFD (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

39 Gegenbeispiel Anzahl Bins – 61
Kleine Objekte der Längen 44, 24, 24, 22, 21, 17, 8, 8, 6, 6. Großes Objekt der Länge 61 Bei "Länge" 61 benötigen FFD & BFD 4 große Objekte Optimale Lösung wäre jene die bei L = 60 herauskam. (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

40 Weitere Lösungsverfahren
Weitere Lösungsverfahren für das Bin-Packing Problem: Greedy-Heuristik: Löse eine Reihe von Knapsackproblemen, also jedes große Objekt wird so gut wie möglich befüllt, dann geht man über zum nächsten Bin (obiges Gegenbeispiel 60-61) Knapsackprobleme exakt lösbar über dynamisch Optimierung, Branch & Bound, MIP, oder heuristisch durch Sortierung nach Nutzen/Gewichtseinkeit (gleiche Idee wie relativer Deckungsbeitrag) Exakt: Generiere „alle möglichen“ Schnittmuster aus den kleinen Objekten und wähle dann die beste Kombination mittels MIP aus (Set covering) Dabei ist es nicht nötig, alle Schnittmuster zu generieren, sonderen es werden schrittweise neue Muster generiert (Spaltengenerierung, column generation) (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

41 Inhalt 5.1 Einleitung/Beispiele 5.2 Typologie & Begriffe
5.3 Eindimensionale Probleme 5.4 Zweidimensionale Probleme 5.5 Dreidimensionale Probleme (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

42 5.4 Zweidimensionale Probleme
Bei zweidimensionalen Problemen haben die kleinen Objekte nicht nur Länge i sondern auch eine Höhe hi Ebenso haben die großen Objekte eine Länge L und eine Höhe H. Ein einfacherer Fall ist das s.g. „Strip packing“ Problem, wo nur die Länge L gegeben ist, und ALLE kleinen Objekte zu verpacken sind, wobei die Gesamthöhe des “großen Streifens“ zu minimieren ist Auch 1,5-dimensionales Problem genannt (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

43 5.4.1 ONLINE „Strip packing“ Problem
Ein Niveau-Algorithmus (level algorithm) packt die kleinen Objekte so, daß mehrere nebeneinander gepackt werden und die größte Höhe eines dieser Objekte das Niveau ergibt, wo die nächsten Objekte eingepackt werden. Der einfachste Algorithmus ist der der NFL (next fit level) Algorithmus, in dem die kleinen Objekte in der Reihenfolge eingepackt werden, in der sie ankommen. Passt ein kleines Objekt nicht mehr in ein „Level“, so wird dieses Level geschlossen und ein neues eröffnet. (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

44 Beispiel NFL für Strip Packing
Einfachster ONLINE Algorithmus NFL Zunächst wird Level 1 befüllt mit kl. Objekten 1, 2 und 3. Objekt 4 hat horizontal keinen Platz mehr  Level 1 geschlossen (Höhe durch das höchste Objekt, nämlich Obj. 2 bestimmt), und Level 2 eröffnet Objekte 4 und 5 in Level 2 (Höhe durch Objekt 4 bestimmt) Etc. (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

45 FFL und BFL für Strip Packing
Deutlich besser sind die Level Algorithmen FFL und BFL, die immer alle Level offen halten und die Lücken später füllen können FFL (first fit level): jedes kleine Objekt wird in das unterste Level eingepackt, wo es mit Breite i und Höhe hi noch hineinpaßt. Dabei ist die Höhe des obersten Levels nicht beschränkt (als ONLINE Algorithmen können die Höhen der unteren Levels aber nicht mehr verändert werden). Wenn kl. Obj. nirgends mehr hineinpasst  neues Level beginnen. BFL (best fit level): wie FFL, nur wird jedes kleine Objekt in jenes Level eingepackt, wo es am besten passt, wo also der verbleibende horizontale Restplatz minimal ist. (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

46 Beispiel FFL und BFL für Strip Packing
L = 8 kleine Obj. i  hi : 1  8, 5  4, 3  3, 4  7, 2  3, 1  2, 2  3 und 4  2. NFL FFL und BFL (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

47 5.4.2 OFFLINE „Strip packing“ Problem
In vorigen Beispiel sah man, dass BFL (bzw. auch FFL) zwar den Platz horizontal recht gut ausnutzen kann, aber vertikal viel Platz verschwendet wird, weil sehr unterschiedlich hohe Teile in einem Level angeordnet sind. Wie in § kann auch hier aus dem on-line-Algorithmus ein off-line-Algorithmus gemacht werden, indem man die kleinen Objekte zunächst nach abnehmender Höhe sortiert. So erhält man den BFDH (best fit decreasing height) Algorithmus. (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

48 Beispiel BFDH für Strip Packing
L = 8 kleine Obj.: 1  8, 5  4, 3  3, 4  7, 2  3, 1  2, 2  3 und 4  2. kleine Obj. nach Höhe sortiert (sekundär nach Länge): 1  8, 4  7, 5  4, 3  3, 2  3, 4  2 und 1  2. FFL und BFL BFDH (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

49 ONLINE „Strip packing“ - Shelf
Auch im Rahmen von Online Algorithmen kann der Platz vertikal besser ausgenutzt werden, z.B. durch Shelf (Regal)-Algorithmen. Wenn über die Dimensionen der kleinen Objekte zumindest eine Wahrscheinlichkeits­verteilung bekannt ist, dann kann man auch optimale Regalhöhen angeben Im einfachsten Fall sind die Höhen der kleinen Objekte gleichverteilt zwischen 0 und M. Dann ist es sinnvoll (optimal), äquidistante „Regalhöhen“ zu definieren, also gleich große Intervalle, die insgesamt [0,M] ergeben, also z.B. (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

50 Beispiel ONLINE „Strip packing“ - Shelf
Maximale Höhe M=8 und K=4 Intervalle [0, 2], (2, 4], (4, 6], (6, 8]: L = 8 kleine Obj.: 1  8, 5  4, 3  3, 4  7, 2  3, 1  2, 2  3 und 4  2. FFL und BFL FFS (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

51 5.4.3 Strip packing  2d Bin packing
Wenn man eine gute Heuristik (z.B. BFDH oder BFS) zur Lösung des 1,5 dimensionales Problems hat (Strip packing), kann man leicht daraus eine Heuristik für das 2d Bin packing Problem machen: Ordne alle kleinen Objekte in Streifen Löse ein eindimensionales Bin Packing für die Höhe wobei die gebildeten Streifen die kleinen Objekte sind Wenn in Schritt 1 die BFDH Heuristik gewählt wird und in Schritt 2 die FFD Heuristik, nennt man diese 2d Bin packing Heuristik auch Hybrid First-Fit (HFF) (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

52 Beispiel für Hybrid First-Fit (HFF)
Siehe Schritt 1 Schritt 2 (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

53 4.4.4 Bottom-Left (BL) Algorithmus
Meist wird zunächst nach fallender Breite sortiert, es ist also dann ein OFFLINE Algorithmus. Ferner wird nun von der Annahme abgegangen, dass es ein Guillotine Muster sein muss. Man versucht also die Lücken noch besser zu füllen und keine Ebenen/Regale zu bauen → Lösungen sehen ”unordentlicher” aus Das nächste kl. Objekt wird so tief unten wie möglich platziert, und dann so weit links wie möglich. Kann als Strip packing oder auch als 2d Bin packing Algorithmus verwendet werden (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

54 Bottom-Left (BL) - Bottom-Left-FILL (BLF)
Beim BL Algorithmus können nur Lücken verwendet werden, die von oben „zur Gänze zu sehen“ sind, wo also das neue Item von oben in die Lücke fallen kann. Der BLF Algorithmus ist eine Variante des BL, wobei nun aber auch alle Lücken verwendet werden können, die von oben nicht oder nur teilweise zu sehen sind (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

55 Beispiel für BL und BLF 4 5 4 7 2 3 2 3 8 1 2 4 3 2 1 (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

56 Vergleich BL - BFDH BL BFDH 4 5 8 1 4 7 2 3 2 3 2 1 8 1 2 3 2 3 4 7 2
Lücke kann nicht genutzt werden (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

57 Vergleich BLF - BFDH BLF BFDH 4 5 4 7 2 3 2 3 8 1 8 1 4 7 2 1 2 4 2 3
Lücke kann genutzt werden (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

58 Mögliche Einfügepositionen
Bei BL Bei BLF „bottom left fill“ Weitere Punkte 8 1 4 7 2 1 2 3 2 3 2 4 4 5 3 (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

59 Weitere Bespiele Aus: E. K. Burke, G. Kendall, G. Whitwell: A New Placement Heuristic for the Orthogonal Stock-Cutting Problem, Operations Research 52 (4, July) , pp. 655–67, 2004 (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

60 Weitere Bespiele Aus: E. K. Burke, G. Kendall, G. Whitwell: A New Placement Heuristic for the Orthogonal Stock-Cutting Problem, Operations Research 52 (4, July) , pp. 655–67, 2004 (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

61 5.4.5 Touching Perimeter Heuristic
Zunächst wie BL: Meist wird – wie bei BL und BLF - zunächst nach fallender Breite sortiert, es ist also dann ein OFFLINE Algorithmus. Ebenso wird von der Annahme abgegangen, dass es ein Guillotine Muster sein muss - man versucht also die Lücken noch besser zu füllen und keine Ebenen/Regale zu bauen Anders als bei BL und bei BLF, wird das nächste Item dort platziert, wo Berührung mit anderen Objekten oder dem Rand so groß wie möglich ist. Nur wenn die Entscheidung hier nicht eindeutig ist, wird nach, BLF entschieden Kann als Strip packing oder auch als 2d Bin packing Algorithmus verwendet werden (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

62 Beispiel für Touching Perimeter
4 5 4 7 2 3 2 3 8 1 2 4 3 2 1 (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

63 Beispiel für Touching Perimeter
4 5 4 7 2 3 2 3 Touching perimeter = 2+4 = 6 8 1 2 4 8 1 4 7 4 7 2 4 Touching perimeter = = 5 2 1 3 2 3 2 1 2 3 2 4 4 5 4 5 3 (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

64 5.4.6 Best Fit (BF) Heuristik
Die kleinen Objekte werden nicht in vorsortierter Reihenfolge eingefügt, sondern es wird in jeden Schritt das am besten passendste Objekt gesucht und so tief wie möglich eingefügt: Suche tiefste Lücke, füge folgendes Item ein: Das höchste Item, das die Breite der Lücke völlig ausfüllt Wenn nicht möglich, wähle das breiteste Item, das Platz hat (Anordnung links, höchster Nachbar, oder niedrigster Nachbar) Wenn kein Objekt hineinpasst  schließe bzw. lösche die Lücke (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

65 Beispiel für BF Heuristik (links)
4 5 4 7 2 3 2 3 8 1 2 4 3 2 1 2 3 Lücke Lücke 4 5 4 5 Tiefste Lücke 3 3 (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik Tiefste Lücke

66 Beispiel für BF Heuristik (links)
4 5 4 7 2 3 2 3 2 4 8 1 Lücke 8 1 4 7 8 1 2 4 2 3 3 Lücke Lücke 2 1 2 3 2 1 2 3 Lücke Tiefste Lücke 4 5 4 5 3 Tiefste Lücke 3 (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

67 Beispiel für Platzierungsregeln in BF
links, höchster Nachbar, niedrigster Nachbar: Aus: E. K. Burke, G. Kendall, G. Whitwell: A New Placement Heuristic for the Orthogonal Stock-Cutting Problem, Operations Research 52 (4, July) , pp. 655–67, 2004 (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

68 Nachtrag 5.3.3 Eindim. Probleme - Exakt
Eindimensionale Problemen können bis zu einer gewissen Größenordnung auch exakt gelöst werden Eine Möglichkeit ist hier ein MIP mit Spaltengenerierung Beispiel: Zerschneiden von Rollen aus Papier, Textilien, Folien (Verschnittproblem vom Typ 1/V/I/F) Eine solche Rolle sei z.B. 100 cm breit. Es liegen Kundenaufträge zu Bahnen von 40, 30 und 25 cm Breite vor. Mögliches Schnittmuster: Dabei fällt ein Randstreifen von 5 cm als Verschnitt an: (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

69 Beispiel (Angabe) Die gefertigten Standardrollen weisen eine Breite von 100 cm und eine Länge von 100 Metern auf. Die eingegangenen Kundenaufträge sind: Zunächst werden alle zulässigen (effizenten) Schnittmuster aufgestellt, bei denen keine Rolle der Länge 60, 50, 40, 25 oder 15 mehr Platz hat: Breite: 60 cm 50 cm 40 cm 25 cm 15 cm Längenmeter: 300 400 200 500 100 Also Stück: 3 4 2 5 1 (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

70 Beispiel (alle effizienten Schnittmuster )
Es existieren folgende möglichen Schnittmuster Im Fall 1/V/I/F kann man alle effizienten Schnittmuster evtl. noch enumerieren. Im Falle 1/V/I/M geht das typischerweise nicht mehr Rollen-breite 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 -- 50 40 25 Rest (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

71 Beispiel (IP Formulierung)
Entscheidungsvariable: xi … Anzahl der Rollen, die nach Muster i zugeschnitten werden (i = 1, ..., 17) Dabei sei Überlieferung erlaubt, d.h. die Kunden akzeptieren auch etwas mehr als die verlangten Mengen. Die Modellformulierung kann dann lauten: Minimiere den Verschnitt unter den Nebenbedingungen der Bedarfsdeckung: (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

72 Beispiel (IP Formulierung)
Nebenbedingungen der Bedarfsdeckung: Breite: 60 cm: Breite: 50 cm: Breite: 40 cm: Breite: 25 cm: Breite: 15 cm: sowie der Nichtnegativität: xi ≥ 0 i = 1, ..., 17 Optimale Lösung (mittels LP solver…): x1 = 2, x2 = 1, x4 = 2, x13 = 1. (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik

73 Beispiel (LP Lösung) Es fällt kein Verschnitt an, wobei von erlaubter Überlieferung ausgegangen wird (Kunden akzeptieren etwas höhere Liefermengen) Bei erlaubter Überlieferung tritt das Problem auf, daß auch alle Lösungen optimal wären, wo Schnittmuster mit Rest = 0 (z.B. Schnittmuster 1) beliebig oft zusätzlich geschnitten werden Wenn Überlieferung nicht erlaubt ist, müssen alle zu viel produzierten Stücke als Verschnitt gerechnet werden (wo also > statt = bei den Nebenbedingungen der Bedarfsdeckung gilt, z.B. (c) Prof. Richard F. Hartl Transportlogistik