Begründen und Beweisen als Aufgabe 19.01.2010 Ein Vortrag von Christina Schreiner und Melanie Horn.

Präsentation zum Thema: "Begründen und Beweisen als Aufgabe 19.01.2010 Ein Vortrag von Christina Schreiner und Melanie Horn."—  Präsentation transkript:

1 Begründen und Beweisen als Aufgabe 19.01.2010 Ein Vortrag von Christina Schreiner und Melanie Horn

2 Übersicht Situation im Mathematikunterricht Arten des Begründens Funktion von Beweisen Argumentationsbasis Exaktheit Gruppenarbeit: Wortlose Beweise Einordnung in den Lehrplan Bildungsstandards Neue Begründungskultur im Unterricht Literaturangaben

3 Situation im Mathematikunterricht Beweise führen ein Schattendasein im Mathematikunterricht. Wie kommt es dazu, dass etwas, das so charakteristisch für die Mathematik ist, im Unterricht eine so untergeordnete Rolle spielt?

4 Situation im Mathematikunterricht falsche und zu grobe Vorstellungen über das Beweisen und damit zusammenhängende Begriffe Ansicht, dass Art und Weise, wie an der Hochschule bewiesen wird, der Beweisstandard schlechthin ist Beweise auf diesem Niveau in der Schule kaum möglich  Frage: Sind Beweise generell zu schwierig für die Schule?

5 „Zwischen den ersten Begründungsversuchen eines Primarstufenschülers und den ausgefeilten Beweisen an der Hochschule gibt es eine breite Palette von Übergangsstadien, die es auszuloten gilt.“ (Günther Malle, In: Mathematik lehren, Heft 110, S.4) –> verschiedene Arten von Beweisen Situation im Mathematikunterricht

6 Arten von Beweisen Berufung auf eine Autorität Deduktives Schließen Reduktives Schließen Induktives Schließen Analogieschlüsse, Wahrscheinlichkeitsaussagen

7 Berufung auf eine Autorität Bestätigung der Richtigkeit einer Aussage durch glaubwürdigen Zeugen Beispiele allgemein: Ein Artikel aus einer Fachzeitschrift Internetquellen, z.B.: google, wikipedia (kritisch)

8 Berufung auf eine Autorität Beispiel aus der Mathematik: Die Summe von n natürlichen Zahlen lässt sich wie folgt berechnen: n·(n+1)/2 Diese Formel stammt von dem Mathematiker Gauß, also ist sie richtig. Hier wird sich auf Gauß als Autorität bezogen.

9 Deduktives Schließen Anführen von Aussagen, die X als richtig anerkennt und aus denen C mit anerkannten Schlussregeln folgt. Beispiel: (A) Alle Kater sind schwarz. (B) Felix ist ein Kater. (C) Felix ist schwarz. (!) Aus (A) und (B) folgt (C) zwingend..

10 Deduktives Schließen Beispiel aus der Mathematik: Die Schüler lernen: Jedes Quadrat ist ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten. Das geometrische Objekt im Buch ist ein Quadrat  Es ist ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten.

11 Deduktives Schließen Beispiel aus der Mathematik: Beweis durch vollständige Induktion: Dazu zeigt man zuerst, dass die Aussage für einen Anfangswert n0 gilt, und danach, dass sie immer auch für n+1 gilt, wenn sie für n gilt.

12 Deduktives Schließen Beweis des Satzes von Pythagoras (Scherung) Voraussetzungen: 1. Flächeninvarianz bei Scherung, 2. Streckung und Winkeleigenschaften

13 Reduktives Schließen Anführen von Folgerungen (a2) aus a1, die von X als richtig angesehen werden, deren Richtigkeit aber nicht hinreichend für die Richtigkeit von a1 sind. Beispiel: (a1) Kermit ist ein Frosch (a2) Kermit ist grün. (Blätter sind grün, aber keine Frösche)

14 Reduktives Schließen Satz des Pythagoras an 3 Dreiecken ausmessen  Reduktiv wird aufs Allgemeine geschlossen.

15 Induktives Schließen Vom einem Einzelfall wird auf das Allgemeine geschlossen. Beispiel: Heute ist das Wetter schön. Es scheint die Sonne. Also ist Sommer.

16 Induktives Schließen In der Physik werden Experimente gemacht. Hierbei schließt vom Einzelnen aufs Allgemeine.

17 Induktives Schließen Satz des Pythagoras: Puzzlebeweis: an Einzelfällen überprüfen Man hat nicht die Sicherheit, dass die Teile überhaupt passen.

18 Analogieschluss, Wahrscheinlichkeitsaussagen Anführen von Aussagen, die von X als richtig angesehen werden und deren Richtigkeit in einem gewissen, nicht deduktiven Zusammenhang mit der Richtigkeit einer Aussage steht.

19 Analogieschluss, Wahrscheinlichkeitsaussagen Beispiel für Analaogieschluss: Ich spüre an mir, was es bedeutet, Bewusstsein zu besitzen. Ich nehme Ähnlichkeiten (beispielsweise im Verhalten) wahr zwischen mir und anderen Menschen. Alle Menschen sind sich in dieser Hinsicht ähnlich. Daraus schließe ich, dass alle Menschen ein Bewusstsein besitzen. Beispiel für Wahrscheinlichkeitsaussage: Schüler mit einer Abiturnote von mindestens 1,5 erreichen zu 60 % einen ausgezeichneten Abschluss im Studium.

20 Funktion von Beweisen Zwei wichtige Funktionen sind: 1. Überzeugungsfunktion oder demonstrative Funktion Durch die Begründung soll jemand von der Richtigkeit einer Behauptung überzeugt werden. In dieser Funktion sind Beweise also Mittel zur Darstellung, Ordnung und Sicherung mathematischen Wissen.

21 Funktion von Beweisen Beispiel: Puzzle-Beweis Satz des Pythagoras Danach sind die Schüler überzeugt, es besteht kein Beweisbedürfnis mehr

22 Funktion von Beweisen 2. Zusammenhang stiftende Funktion oder explorative Funktion Durch die Begründung soll erkannt werden, dass etwas aus etwas Anderem hergeleitet werden kann. In dieser Funktion sind Beweise Mittel zum Erkennen und Erforschen von Zusammenhängen, sowie zur Entwicklung von Begriffen.

23 Funktion von Beweisen Beispiel: Satz des Pythagoras, Beweis über Scherung aus bekanntem Wissen erschließt man sich etwas Neues Zusammenhang zwischen Formel und Anschauung.

24 Funktion von Beweisen Große Verwirrung bei den Schülern, wenn nicht klar ist, welche Funktion der gerade ausgeführte Beweis ausübt.  Den Lernenden bewusst machen, welche Funktion der jeweilige Beweis hat.

25 Argumentationsbasen Jede Begründung bedarf einer Argumentationsbasis, d.h eines Fundaments, auf das man sich bei seiner Argumentation stützt. Argumentationsbasen können von verschiedener Art sein.

26 Argumentationsbasen Beispiel: Man begründe: ½ + ¼ = ¾ 1. Möglichkeit der Begründung „Das ist doch klar.“ In diesem Fall gehört die Behauptung selbst zur Argumentationsbasis.

27 Argumentationsbasen 2. Möglichkeit der Begründung: ½ kg Butter und ¼ kg Butter ergeben zusammen ¾ kg Butter. Hier gehört eine Alltagserfahrung zur Argumentationsbasis.

28 Argumentationsbasen 3. Möglichkeit der Begründung: Aus der Abbildung ist es ersichtlich. Hier gehört die Anschauung (Tortenbild) zur Argumentationsbasis

29 Argumentationsbasen 4. Möglichkeit der Begründung: ½ + ¼ = 2/4 + ¼ = ¾ In diesem Fall gehören gewisse Rechenverfahren der Bruchrechnung zur Argumentationsbasis.

30 Argumentationsbasen 5. Möglichkeit der Begründung: Aufgrund der Erweiterungsregel a/b= c*a/c*b gilt ½ = 2/4 und aufgrund der Additionsregel a/c + b/c = a+b/c gilt 2/4 + ¼ = ¾ In diesem Fall gehören gewisse Bruchrechenregeln zur Argumentationsbasis.

31 Argumentationsbasen Ein weiteres Beispiel zeigt, dass eine Argumentationsbasis auch von der kognitiven Struktur einer Person abhängen kann.

32 Argumentationsbasen Beispiel: Zu zeigen: In jedem gleichschenkligen Trapez sind die Diagonalen gleich lang. 1. Möglichkeit: Dass die Diagonalen gleich lang sind, ist klar, das braucht man nicht zu zeigen. Argumentationsbasis: der Satz, dass die Diagonalen in einem gleichschenkligen Dreieck gleich lang sind, ist Teil der Argumentationsbasis.

33 Argumentationsbasen 2. Möglichkeit: Nach dem Zeichnen eines gleichschenkligen Trapez und Messen der Diagonalen, wird festgestellt: Die Diagonalen sind gleich lang. Argumentationsbasis: das Ergebnis der Messung

34 Argumentationsbasen 3. Möglichkeiten: Denkt man sich das Trapez aufgeschnitten, umgedreht und wieder an die alte Stelle gelegt, erkennt man: Die Diagonalen sind gleich lang. Argumentationsbasis: Annahme, dass man wenn man eine Strecke durch „Bewegung“ in eine andere überführen kann, die Strecken gleich lang sind.

35 Argumentationsbasen 4. Möglichkeit: In einem gleichschenkligen Trapez ABCD ist die Symmetrale der Seite [A,B] auch eine Symmetrale der Seite [C,D]. Also geht bei einer Spiegelung an dieser Symmetrale die Diaognale [A,C] in die Diagonale [B,D] über. Daher sind die Diagonalen gleich lang. Argumentationsbasis: Die Symmetrale von [A,B] ist eine Symmetrale von [C,D]. Bei einer Spiegelung gehen Strecken in Strecken gleicher Längen über.

36 Exaktheit In der Mathematik gibt es keine exakte Definition von „exakt“. Lediglich: Wesentliche Merkmale der Exaktheit.

37 Exaktheit Von Exaktheit kann nur in Bezug auf eine bestimmte Argumentationsbasis gesprochen werden. Was in Bezug auf eine Argumentationsbasis exakt erscheint, kann in Bezug auf eine andere durchaus unexakt sein.

38 Exaktheit Exaktheit hat zu tun mit Explikation der Argumente. Eine Begründung ist umso exakter, je detaillierter die einzelnen Begründungsschritte ausgeführt werden und je deutlicher dabei der Bezug zur Argumentationsbasis ersichtlich wird. Im Allgemeinen ist die Situation so, dass eine Begründung einige explizierte Gedanken enthält, dass aber vieles unausgeführt bleibt.

39 Exaktheit --> Den absolut perfekten Beweis, in dem alles expliziert wird, gibt es nicht. Es bleibt immer etwas Unausgesprochenes übrig. Was expliziert wird und was nicht, hängt vom jeweiligen Kontext ab. Exaktheit kann also in verschiedenen Graden vorliegen.

40 Exaktheit Es gibt keine oberste Exaktheit. Es gibt keinen Exaktheitsgrad, der für alle verbindlich ist. Man kann den jeweiligen Exaktheitsgrad selbst wählen und zwar so, dass er der jeweiligen Situation angemessen ist. --> Es macht Sinn zu sagen, ein Beweis ist exakter als ein anderer, aber nicht, ein Beweis ist schlechthin exakt.

41 Gruppenarbeit „ Schweigen ist Beweisführung mit anderen Mitteln.“ Ernesto Che Guevara  Wortlose Beweise

42 Einordnung in den Lehrplan Beweise bietet auf unterschiedlichen Niveaus in allen Klassenstufen an. z.B.: Klasse 7: Geometrie (Beweis des Satzes von Thales)

43 Bildungsstandards (K 1) Mathematisch argumentieren (K 2) Probleme mathematisch lösen (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden (K 6) Kommunizieren

44 Neue Begründungskultur im Unterricht Begründen sollte für die Schüler ein Alltagsgeschäft werden, so wie etwa das übliche Aufgabenlösen im Unterricht. Die setzt voraus, dass sich die Lernenden regelmäßig mit dem Begründen beschäftigen. Man kann beispielsweise mehr Begründungsaufgaben stellen. Oft kann man auf einer traditionellen Rechen- oder Verfahrensaufgabe eine Begründungsaufgabe machen, indem zusätzlich verlangt wird, das Vorgehen zu begründen.

45 Beispiele Berechne die Wurzel aus 289. Diese Aufgabe lässt sich umformulieren: Berechne die Wurzel aus 289 und begründe deine Lösung. Mögliche Lösung: Die Wurzel aus 289 ist 17, denn 17 ist nicht negativ und 17 quadriert ergibt 289.

46 Beispiele Ermittle eine Nullstelle der Funktion f mit f(x) = ½ (-x³ + 9 x² - 24 x + 15) im Intervall [0,2] auf zwei Nachkommastellen genau. Diese Aufgabe kann umformuliert werden: Ermittle eine Nullstelle der Funktion f mit f(x) = ½ (-x³ + 9 x² - 24 x + 15) im Intervall [0,2] auf zwei Nachkommastellen genau und begründe, dass dies die einzige Nullstelle von f in diesem Intervall ist.

47 Beispiele Mögliche Antwort: f(0)>0, f(2)<0 und f ist in [0,2] streng monton fallend. Falls bekannt, kann auch auf den Zwischenwertsatz eingegangen werden.

48 Literaturangaben Fischer & Malle: Mensch und Mathematik. Eine Einführung in didaktisches Denken und Handeln. BI. 1985, S. 178-191. Malle: Begründen. In: mathematik lehren, Heft 110, 2002, S. 4-8. http://www.saarland.de/lehrplaene.html

49 Zum Schluss „Für das Können gibt es nur einen Beweis: das Tun.“ Marie von Ebner-Eschenbach