© WZL/Fraunhofer IPT Seminararbeit Auswahl des Optimierungsverfahrens zu einer Sitzplanoptimierung Fabian Hanrath.

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1 © WZL/Fraunhofer IPT Seminararbeit Auswahl des Optimierungsverfahrens zu einer Sitzplanoptimierung Fabian Hanrath

2 Seite 2© WZL/Fraunhofer IPT Literatur7 Aussicht und Fazit6 Auswahl des Optimierungsverfahrens5 mögliche Optimierungsverfahren4 Notwendigkeit eines Optimierungsverfahrens3 Problembeschreibung2 Aufgabenstellung1 Agenda

3 Seite 3© WZL/Fraunhofer IPT Literatur7 Aussicht und Fazit6 Auswahl des Optimierungsverfahrens5 mögliche Optimierungsverfahren4 Notwendigkeit eines Optimierungsverfahrens3 Problembeschreibung2 Aufgabenstellung1 Agenda

4 Seite 4© WZL/Fraunhofer IPT 1 Aufgabenstellung Die Kommunikation zwischen Mitarbeitern wird immer wichtiger in Firmen  Je mehr zwei Mitarbeiter miteinander kommunizieren, desto effizienter arbeiten sie an gemeinsamen Projekten Das heißt speziell:  Für ein Projekt, für das eine gewisse Anzahl Manntage angesetzt sind, werden weniger Manntage zum Abarbeiten benötigt  Im Umkehrschluss: Bei weniger Kommunikation werden mehr Manntage als angesetzt benötigt

5 Seite 5© WZL/Fraunhofer IPT 1 Aufgabenstellung Aber wodurch wird eine hohe und gute Kommunikation erreicht?  Je näher sich zwei Mitarbeiter in der Bürostruktur beieinander befinden, desto mehr Stunden werden sie durchschnittlich pro Woche kommunizieren  Mitarbeiter, die weit voneinander entfernt arbeiten, kommunizieren weniger bis gar nicht  Die Güte der Kommunikation wird in drei Klassen eingeteilt: Gute Kommunikation Mittlere Kommunikation Schlechte Kommunikation

6 Seite 6© WZL/Fraunhofer IPT 1 Aufgabenstellung  Anhand einer gegebenen Büro- und Projektstruktur muss ein optimaler Sitzplan erzeugt werden, der alle Projekte in minimaler Zeit bearbeitet werden lässt Also muss der Sitzplan optimiert werden!

7 Seite 7© WZL/Fraunhofer IPT Literatur7 Aussicht und Fazit6 Auswahl des Optimierungsverfahrens5 mögliche Optimierungsverfahren4 Notwendigkeit eines Optimierungsverfahrens3 Problembeschreibung2 Aufgabenstellung1 Agenda

8 Seite 8© WZL/Fraunhofer IPT 2 Problembeschreibung Es gibt zwei Möglichkeiten das Problem mathematisch darzustellen:  Durch eine Tauschmatrix und eine Bürostrukturmatrix  Durch einen Zuordnungsvektor

9 Seite 9© WZL/Fraunhofer IPT 2 Problembeschreibung Tauschmatrix:  Es gibt eine Bürostrukturmatrix, die darstellt in welchem Büro welcher Mitarbeiter sitzt. Dabei stellt eine 1 dar, dass der Mitarbeiter in dem Büro sitzt und eine 0, dass er nicht in dem Büro sitzt

10 Seite 10© WZL/Fraunhofer IPT 2 Problembeschreibung  Dazu wird eine Tauschmatrix aufgestellt (Vom Optimierungsalgorithmus), die die Mitarbeiter beliebig austauscht, sodass eine Ideale Sitzstruktur entsteht B * T ist dann die Matrix, die darstellt, wie die Mitarbeiter tatsächlich sitzen sollen

11 Seite 11© WZL/Fraunhofer IPT 2 Problembeschreibung  Durch die allgemeine Bürostruktur ist eine Matrix gegeben, wie viele Stunden Mitarbeiter aus jedem Büro mit Mitarbeitern aus anderen Büros kommunizieren

12 Seite 12© WZL/Fraunhofer IPT 2 Problembeschreibung Wir haben nun:  Die Aufteilung der Mitarbeiter auf Büros (B)  Die Tauschmatrix (T)  Die ideale Aufteilung der Mitarbeiter (B*T)  Die Kommunikation zwischen Büros (E) Daraus können wir erzeugen:

13 Seite 13© WZL/Fraunhofer IPT 2 Problembeschreibung Hat man nun eine Möglichkeit, Kommunikation in Stunden pro Woche zu bewerten und in die drei Kategorien gute, mittlere und schlechte Kommunikation einzuteilen, kann man eine Matrix erstellen, die die bewertete Kommunikation zwischen allen Mitarbeitern aufstellt. Hierbei kann man die Güte der Kommunikation mit Faktoren beschreiben, die anzeigen, um welchen Faktor sich die Projektzeit eines Projektes erhöht/verringert, wenn sie zusammen daran arbeiten.

14 Seite 14© WZL/Fraunhofer IPT 2 Problembeschreibung Durch die allgemeine Projektstruktur lässt sich eine Matrix erzeugen, die darstellt wie viele Stunden jeder Mitarbeiter mit jedem anderen Mitarbeiter zusammen an Projekten arbeitet.

15 Seite 15© WZL/Fraunhofer IPT 2 Problembeschreibung Werden nun die bewertete Kommunikation und die Kommunikation aufgrund von Projekten multipliziert, so erhält man eine gewichtete Kommunikationsmatrix. Der Algorithmus kann nun die Diagonale(Das sind die Stunden, die insgesamt effektiv gearbeitet werden müssen) der Matrix minimieren durch:  Verändern der Tauschmatrix

16 Seite 16© WZL/Fraunhofer IPT 2 Problembeschreibung Zuordnungsvektor:  Durch die allgemeine Bürostruktur ist eine Matrix gegeben, wie viele Stunden Mitarbeiter aus jedem Büro mit Mitarbeitern aus anderen Büros kommunizieren Siehe die Effizienzmatrix der letzten Darstellung

17 Seite 17© WZL/Fraunhofer IPT 2 Problembeschreibung Durch die allgemeine Projektstruktur lässt sich eine Matrix erzeugen, die darstellt wie viele Stunden jeder Mitarbeiter mit jedem anderen Mitarbeiter zusammen an Projekten arbeitet. Siehe die Projektstruktur der letzten Darstellung

18 Seite 18© WZL/Fraunhofer IPT 2 Problembeschreibung Ein Vektor wird definiert, der jedem Mitarbeiter einen Arbeitsplatz zuweist. Jeder Eintrag im Vektor steht für einen Mitarbeiter und die Werte bezeichnen den Arbeitsplatz, an dem dieser Mitarbeiter sitzt.

19 Seite 19© WZL/Fraunhofer IPT 2 Problembeschreibung Die Zielfunktion ist: Die Summe der Produkte zwischen der Anzahl an Manntagen, die von zwei Mitarbeitern gemeinsam an Projekten gearbeitet wird, und der Kommunikationsgüte, die zwischen den Arbeitsplätzen der zwei Mitarbeitern vorherrscht.

20 Seite 20© WZL/Fraunhofer IPT Literatur7 Aussicht und Fazit6 Auswahl des Optimierungsverfahrens5 mögliche Optimierungsverfahren4 Notwendigkeit eines Optimierungsverfahrens3 Problembeschreibung2 Aufgabenstellung1 Agenda

21 Seite 21© WZL/Fraunhofer IPT 3 Notwendigkeit eines Optimierungsverfahrens Aber warum muss man überhaupt ein spezielles Verfahren anwenden? Man könnte ja auch die Zielfunktion für alle Fälle berechnen und sich die beste Lösung heraussuchen. Durch Multithreading ließe sich die Laufzeit des Programmes um das 2-4 fache verkürzen.

22 Seite 22© WZL/Fraunhofer IPT 3 Notwendigkeit eines Optimierungsverfahrens Gehen wir davon aus, eine Bürostruktur mit 10 Büros mit je 3 Arbeitsplätzen liegt vor und es müssen 25 Mitarbeiter auf diese Büros verteilt werden.  30! Möglichkeiten, alle Arbeitsplätze aufzuteilen  davon fallen 5! Möglichkeiten weg (5 Arbeitsplätze sind unbesetzt)  3! Möglichkeiten fallen pro Büro weg (Aufteilung innerhalb der Büros ist egal)

23 Seite 23© WZL/Fraunhofer IPT 3 Notwendigkeit eines Optimierungsverfahrens Das ist die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten die Mitarbeiter auf die Büros aufzuteilen. Geht man davon aus, dass die Berechnung jeder Möglichkeit genau eine Millisekunde dauert und dass ein Jahr aus 365 Tagen besteht, benötigt man Jahre zur Berechnung aller Möglichkeiten.

24 Seite 24© WZL/Fraunhofer IPT Literatur7 Aussicht und Fazit6 Auswahl des Optimierungsverfahrens5 mögliche Optimierungsverfahren4 Notwendigkeit eines Optimierungsverfahrens3 Problembeschreibung2 Aufgabenstellung1 Agenda

25 Seite 25© WZL/Fraunhofer IPT 4 mögliche Optimierungsverfahren Im Folgenden werden zwei Optimierungsverfahren betrachtet:  Die Simplex Methode (direkter Löser)  Der genetische Algorithmus (Suchverfahren) Was ist mit „simulated annealing“?  Der genetische Algorihmus deckt eine größere Fläche ab  simulated annealing läuft nur in eine Richtung und zieht keine Fälle weit von der Startlösung in Betracht Also ist der genetische Algorithmus besser geeignet das Problem zu lösen, denn: In der Umgebung einer guten Lösung befinden sich nicht unbedingt ähnlich gute Lösungen

26 Seite 26© WZL/Fraunhofer IPT 4 mögliche Optimierungsverfahren  direkter Löser  lineare Probleme Lösen des Problems durch:  Eingrenzen des Bereiches der Veränderlichen  Vom Nullpunkt aus auf den Grenzen des Bereiches laufen, bis keine Verbesserung mehr erzielt werden kann Die Simplex Methode

27 Seite 27© WZL/Fraunhofer IPT 4 mögliche Optimierungsverfahren Durchführung:  Erstellen eines „Simplextableaus“ (stellt ein lineares Gleichungssystem dar)  durch einen sogenannten „Basiswechsel“ wird immer wieder ein neues Tableau erzeugt, welches die Lösung für eine der angrenzenden Eckpunkte des Definitionsbereiches („Basislösung“) darstellt.  Ist durch einen Basiswechsel keine bessere Lösung mehr zu erzeugen, so ist die optimale Lösung gefunden

28 Seite 28© WZL/Fraunhofer IPT 4 mögliche Optimierungsverfahren Das Simplextableau:  Erstellen eines „Simplextableaus“ (stellt ein lineares Gleichungssystem dar)  durch einen sogenannten „Basiswechsel“ wird immer wieder ein neues Tableau erzeugt, welches die Lösung für eine der angrenzenden Eckpunkte des Definitionsbereiches („Basislösung“) darstellt.  Ist durch einen Basiswechsel keine bessere Lösung mehr zu erzeugen, so ist die optimale Lösung gefunden

29 Seite 29© WZL/Fraunhofer IPT 4 mögliche Optimierungsverfahren 5 S.57

30 Seite 30© WZL/Fraunhofer IPT 4 mögliche Optimierungsverfahren Der Basiswechsel:  Auswahl eines Pivot-Elements  bestimmen der maximalen Veränderung dieses Elementes anhand der Nebenbedingungen  Die eingrenzende Nebenbedingung so umstellen, dass der Wert des Pivot Elements dargestellt wird  eleminieren des Pivot Elements in allen anderen Zeilen Das ganze wiederholt man so lange, bis keine Hilfsvariable mehr ungleich Null ist. Die Nebenbedingungen zeigen nun die Werte der Variablen und der Wert der Zielfunktion ist optimiert.

31 Seite 31© WZL/Fraunhofer IPT 4 mögliche Optimierungsverfahren 5 S.59

32 Seite 32© WZL/Fraunhofer IPT 4 mögliche Optimierungsverfahren Anwendungen:  Ermitteln von Mischverhältnissen

33 Seite 33© WZL/Fraunhofer IPT 4 mögliche Optimierungsverfahren Vorteile:  Sucht immer die optimale Lösung heraus  Muss nur die Grenzen des Definitionsbereiches betrachten  Im Normalfall in polynomialer Zeit bewältigt  Fügt man dem Simplex eine weitere Bedingung hinzu, ist nur ein weiterer Schritt nötig, um die neue optimale Lösung zu bestimmen. Nachteile:  Keine Zwischenergebnisse  Ist sehr Problemspezifisch  Nicht auf alle Probleme anwendbar (z.B. linear und in polynomialer Zeit bewältigbar)  Eigentlich nur mit reellen Zahlen. Muss für andere angepasst werden

34 Seite 34© WZL/Fraunhofer IPT 4 mögliche Optimierungsverfahren  Suchverfahren  In den Sechziger Jahren von John Holland entwickelt  Orientiert sich an den Informationsstrukturen der Evolutionstheorie Lösen des Problems:  Mutiert und kombiniert gültige Lösungen, um bessere Lösungen zu erzeugen.  Bewertung der Lösung durch eine „Fitnessfunktion“, die aus einer Lösung einen Wert erzeugt Der genetische Algorithmus

35 Seite 35© WZL/Fraunhofer IPT 4 mögliche Optimierungsverfahren Durchführung:  Starten mit mehreren (entweder zufälligen oder gesetzten) Lösungen des Problems (auch: Generation/Population)  Lösung: Vektor aus Zahlen, welcher die Eigenschaften der Lösung definiert (Auch: Individuum)  Erzeugen von einer neuen Generation durch vermischen (Kombination), verändern (Mutation) und der Auswahl der vielversprechendsten Individuen für die neue Generation (Selektion)  Es immer wieder Generationen aus der vorherigen Generation gebildet, bis ein Kriterium erreicht ist (X Generationen, T Zeit vergangen, die Zielfunktion („Fitnessfunktion“) eines Individuums hat einen gewissen Grenzwert erreicht)  Das Individuum mit der größten Fitness der letzten Generation ist die optimierte Lösung

36 Seite 36© WZL/Fraunhofer IPT 4 mögliche Optimierungsverfahren Die Mutation:  Eigenschaften („Gene“) eines Individuums, die durch die Zahlen im Vektor dargestellt werden, werden zufällig verändert  Entweder wird ein Gen zufällig ersetzt oder man tauscht es mit einem Gen des gleichen Individuums aus (falls möglich)  Konzentration auf Gene, die den schlechtesten Beitrag zur Fitnessfunktion liefern, verbessert die Ergebnisse stark 3; S.93 Abb.26 2: S.31 Abb. 2.17

37 Seite 37© WZL/Fraunhofer IPT 4 mögliche Optimierungsverfahren Die Kombination:  Zusammenführen zweier Individuen  Zusammensetzen eines neuen Individuums durch übernehmen von Genen der beiden Elternindividuen  Falls möglich können beide Individuen an einer bestimmten stelle aufgeteilt werden und die Teilstücke der zwei Individuen passend wieder zusammengefügt werden. (Ist nicht immer möglich!) 3: S.90 Abb.24, 8 2: S.31 Abb. 2.17

38 Seite 38© WZL/Fraunhofer IPT 4 mögliche Optimierungsverfahren Die Selektion:  Auswahl der Individuen für eine neue Generation (die auf eine bestimmte Anzahl an Individuen limitiert ist)  eventuell werden weniger Individuen benötigt, da der Rest mit Zufallsindividuen gefüllt wird Es gibt zwei Möglichkeiten die Selektion zu implementieren:  Auswahl der absolut besten Individuen anhand der Fitnessfunktion  Jedes Individuum wird mit einem Zufallswert belegt. Individuen mit besserer Zielfunktion sind wahrscheinlicher als andere. Anschließende zufällige Auswahl anhand dieser Zufallswerte.

39 Seite 39© WZL/Fraunhofer IPT 4 mögliche Optimierungsverfahren Anwendungen:  Alle Probleme, die mit Parametern beschrieben und bewertet werden können  z.B. Fahr-, Stunden- und Raumpläne

40 Seite 40© WZL/Fraunhofer IPT 4 mögliche Optimierungsverfahren Vorteile:  Kaum Anpassung an das Problem nötig  Arbeitet immer gleich  Nur Randbedingungen sind zu wissen  Liefert mehrere Lösungen  Kann Zwischenergebnisse liefern  Erzeugt immer eine Lösung Nachteile:  Garantiert nicht die bestmögliche Lösung  Braucht ggf. lange für die Berechnung

41 Seite 41© WZL/Fraunhofer IPT Literatur7 Aussicht und Fazit6 Auswahl des Optimierungsverfahrens5 mögliche Optimierungsverfahren4 Notwendigkeit eines Optimierungsverfahrens3 Problembeschreibung2 Aufgabenstellung1 Agenda

42 Seite 42© WZL/Fraunhofer IPT 5 Auswahl des Optimierungsverfahrens Simplex:  Es entstehen T – Tupel (Durch zweifache Multiplikation mit der Tauschmatrix)  Diese T – Tupel können vom Simplexalgorithmus verändert werden  Durch Setzen und gleichzeitiges Ausschließen von Tupeln wird die Zielfunktion optimiert Aber:  Diese Tupel kommen nicht direkt in der Zielfunktion vor!  Tupel bestimmen die Güte der Kommunikation zwischen zwei Mitarbeitern.  Die Güte geht dann direkt in die Zielfunktion ein, die Tupel nicht.  Ein Schwanken der Kommunikation innerhalb einer Güteklasse ändert die Zielfunktion nicht  Bereits die Berechnung der Zielfunktion kann aufgrund von der Berechnung aller Tupel viel Zeit in Anspruch nehmen

43 Seite 43© WZL/Fraunhofer IPT 5 Auswahl des Optimierungsverfahrens Genetischer Algorithmus:  Es wird nicht jede Kombination von Mitarbeitern erzeugt  Jeder Mitarbeiter wird genau einem Platz zugeordnet  Entschärfung der Komplexität durch Betrachten von endlich vielen Lösungen, die verbessert werden  Liefert dafür nicht die beste Lösung  Bei zu kurzer Laufzeit wird eine relativ schlechte Lösung wahrscheinlich  Wenig Problemwissen vonnöten

44 Seite 44© WZL/Fraunhofer IPT 5 Auswahl des Optimierungsverfahrens Simplex:  Dank binärer Tupel muss der Simplex angepasst werden  Hohe Komplexität  Liefert die beste Lösung  Nicht zwangsweise durchführbar Genetischer Algorithmus:  Keine quadratierung  Geringere Komplexität  Liefert eine möglichst gute Lösung  Auf jeden Fall durchführbar Insgesamt ist der Genetische Algorithmus vielversprechender.

45 Seite 45© WZL/Fraunhofer IPT Literatur7 Aussicht und Fazit6 Auswahl des Optimierungsverfahrens5 mögliche Optimierungsverfahren4 Notwendigkeit eines Optimierungsverfahrens3 Problembeschreibung2 Aufgabenstellung1 Agenda

46 Seite 46© WZL/Fraunhofer IPT 6 Aussicht und Fazit  Implementierung des Algorithmus im Rahmen einer Bachelorarbeit  Einbinden des Algorithmus in ein Web basiertes Tool, mit der Benutzer Sitzpläne betrachten und optimieren können

47 Seite 47© WZL/Fraunhofer IPT Literatur7 Aussicht und Fazit6 Auswahl des Optimierungsverfahrens5 mögliche Optimierungsverfahren4 Notwendigkeit eines Optimierungsverfahrens3 Problembeschreibung2 Aufgabenstellung1 Agenda

48 Seite 48© WZL/Fraunhofer IPT 7 Literatur -1: Andreas K. Emrich; „Optimierung des Spanraumes bei Bohrwerkzeugen mit Hilfe Genetischer Algorithmen“; Dissertation, TU Darmstadt, 2001; Shaker Verlag, Aachen -2: Daniel Mourek; „Automatische Suche der Scheibenposition beim Schleifen wendelförmiger Nuten von Schaftwerkzeugen“; Dissertation, Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg, Institut für Fertigungstechnik und Qualitätssicherung, 2011; Shaker Verlag, Aachen -3: J. Kirchner; „Mehrkriterielle Optimierung von Parallelkinematiken“; Dissertation, Technische Universität Chemnitz, Fakultät für Maschinenbau und Verfahrenstechnik, 2000; Verlag Wissenschaftliche Scripten, Zwickau -4: Holland, John; „Adaption in Natural and Artificial Systems“; University of Michigan Press, 1975 -5: Andreas Koop, Hardy Moock; “Lineare Optimierung – Eine anwendungsorientierte Einführung in Operations Research”; Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008, Spektrum Akademischer Verlag -6: Stryker, J.B., Santoro, M. D.; “Facilitating Face-to-Face Communication in High-Tech Teams”; In: Research-Technology Management. 55. Jg, 2012, Nr. 1, S. 51–56.g “Face-to-Face Communication in High-Tech Teams” -7: Bartholomäus Wolff; “Entwicklung eines generischen Modells zur Beschreibung der Abhängigkeiten zwischen unternehmenskulturellen Parametern und dem Unternehmenserfolg mit Methoden der Systemdynamik“; Diplomarbeit; Aachen; 2012 -8: Hilbert, A.: „Mehrkriterielle Optimierung mit Hilfe genetischer Algorithmen am Beispiel von Parallelstrukturen“; Diplomarbeit, Technische Universität Chemnitz, Juli 1999

49 Seite 49© WZL/Fraunhofer IPT Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Gibt es noch Fragen?