Algorithmen und Datenstrukturen Übungsmodul 10 Dr. W.Narzt u. Dr. A.Stritzinger Institut für Wirtschaftsinformatik- Software Engineering JKU Linz

Komplexität - Allgemeines Speicherkomplexität Laufzeitkomplexität Laufzeit = f(Problemgröße) typ. Größe der Datenmenge O-Notation gibt Obergrenze für Laufzeit an. Konstanten werden weggelassen (zb. f(2,43N+1) = O(N))

Laufzeitkomplexitäts-Klassen Bezeichnung O Wertung Beispiel konstante Komp. O(1) optimal, selten Hashing, Prepend Logarithmische K. O( log n ) Sehr günstig Binäres Suchen Lineare Komp. O( n ) Günstig Lineares Suchen Leicht überlinear O(n log n) Noch gut Gutes Sortierverfahren Quadratische K. O( n2 ) Ungünstig Schlechtes Sortierverfahren Kubische K. O( n3 ) Matrizenmultiplikation Exponentielle K. O( an ) Katastrophal Rundreiseproblem

Mathem. Aussagen wenn P(n) ein Polynom m-ten Grades ist, so gilt: P(n) = O(nm) an wächst stärker als jedes Polynom -> kein polynomialer Algorithmus log n wächst schwächer als n, egal welche Basis

Laufzeitkomplexität n O(n) O(n2) O(2^n) 1 1 sec 10 10 sec 100 sec ca. 1 msec 100 10 msec 4*106 Jahre 1000 1 msec 1 sec 3,4*10286 Jahre

Laufzeitkomplexität (relativ kleine Werte)

Laufzeitkomplexität (relativ große Werte)

Laufzeit für einfache FOR-Schleifen for (i=1; i<n; i++) { A } Unter der Annahme, dass A konstante Laufzeit aufweist, ist die Laufzeitkomplexität O(n), also linear.

Laufzeitkomplexität für geschachtelte For-Schleifen for (int i = 1..n) { for (int j = 1..n) { A } Laufzeitkomplexität O(n*n), also quadratisch

Geschachtelte FOR-Schleife mit variabler Obergrenze for (int i = 1..n) { for (int j = 1..i) { A } Laufzeitkomplexität O(n*n/2), also quadratisch

Geschachtelte Schleifen 2 Achtung: nicht jede geschachtelte Schleifenkonstruktion führt zu überlinearer Komplexität! i = n while (i > 0) { j = 1 while (j <= i) { j = j + 1 } i = i / 2 ist O(n) macht folgendes: 1. Durchlauf: x x x x x x x x x x x x x x x x (n = 16) 2. Durchlauf: x x x x x x x x (8 mal) 3. Durchlauf: x x x x (4 mal) 4. Durchlauf: x x (2 mal) 5. Durchlauf: x (1 mal)

Schleife mit Teilung der Laufweite while (i < n) { n = n/2 i = i + 1; } Laufzeitkomplexität O(log2n), also logarithmisch

Rekursiver Algorithmus int fact(int n) { if (n == 0) return 1 else return n * fact(n-1) } Anzahl der Aufrufe n * Aufwand jeder Aktivierung k

int doSomething(int a, int b) { // a < b if (a == b) return 0; Rekursion 2 int doSomething(int a, int b) { // a < b if (a == b) return 0; else return (doSomething (a+1, b) – doSomething(a, b-1)) } Durch den zweifachen rekursiven Abstieg ergibt sich ein binärer Aufrufbaum ! Die Laufzeitkomplexität kann dabei exponentiell werden (2N). Dies hängt jedoch immer vom Ausmaß der Problemverkleinerung mit jedem zusätzlichen Rekursionsschritt ab. Für doSomething(0,3) ergeben sich (23+1 – 1) Aufrufe, da ein Binärbaum mit Höhe 4 entsteht. Laufzeitkomplexität O(2N)

Konkrete Laufzeitabschätzung Durch moderne Prozessortechnologien L1 und L2 Caches Pipelining, Branchprediction Multi-core Und Compiler- sowie VM-Optimierungen inLining common subexpression elimination uam. lässt sich kaum noch eine brauchbare konkrete Laufzeitabschätzung erzielen!!