Chaos im Sonnensystem (Kurzüberischt) Eine numerische Abschätzung der Größe von chaotischen Zonen

Einführung und geschichtlicher Hintergrund Lagrange & Laplace: Determinismus, quasiperiodische Bewegung Poincaré: vermutete Chaos im Sonnensystem Laskar: numerische Integrationsverfahren Aktuelle Fragestellungen: – Woher kommt das Chaos im Sonnensystem? – Wie groß sind die chaotischen Zonen?

Überblick Analyse der proper modes Säkulare Resonanzen Messung des Chaos Aktuelle Planetenbahnen Zusammenfassung

Analyse der proper modes Einfache Methode zur Bestimmung der Fundamentalfrequenzen: Lineares System: proper modes => Transformation in Polarkoordinaten => A/A-Variables Gestörtes System: nahe A/A-Variables Lineare Transformation vor der Fourieranalyse => isolierte Hauptfrequenz Verbesserung der Bestimmung: durch Trennung des linearen und nichtlinearen Teils Koordinatentransformation: normalisierte proper modes näher an A/A-Variables MFT-Analyse => Frequenzen Ergebnis (über 20 myr): Äußere Planeten: nahe A/A-Variables Innere Planeten: größere Störungen aufgrund der Nichtlinearität Hauptfrequenzen des Systems: gut bestimmt Nach Hauptfrequenzen: Tabelle VIII

Säkulare Resonanzen Bei Langzeitintegrationen treten Säkularstörungen auf. Ursache: Resonanz in den Bewegungen zweier Planeten (Änderung der Knoten- und Perihellängen) Kritisches Argument:  = 2 (g4 - g3) - (s4 - s3) – Säkularstörungsterm zwischen den Perihel- und Knotenbewegungen von Erde und Mars; – Übergang von Libration zu Zirkulation => Chaos – Bewegung nahe einer Resonanz ist instabil => Abweichung der Orbits => expon. Anstieg des Lyapunov-Exponenten Was passiert bei einer Resonanz? Eine der Fundamentalfrequenzen wird eine Kombination der anderen Frequenzen. Die Librationsfrequenz wird zur neuen, unabhängigen Frequenz. Die neuen Fundamentalfrequenzen sind in Resonanz, die ebenfalls eine meßbare Frequenz haben. Fig. 2 und Fig. 3 Fig. 1

Säkulare Resonanzen Beispiele für Resonanzen im Sonnensystem: – System Erde-Mars: Die Librationsfrequenz  befindet sich in Resonanz mit g4 - g3 (2  g4 - g3) – System Merkur-Venus: Resonanz: s  (g1 - g5) – (s1 - s2) – Resonanz t = 2 (g5 - g7) – (s8 - s7) Ergebnis der Analyse: 2 wichtige säkulare Resonanzen im inneren Sonnensystem: – Säkulare Resonanz : Resonanz zwischen Erde und Mars – Säkulare Resonanz s: zwischen Merkur, Venus und Jupiter => Veränderung des Langzeitverhalten im Sonnensystem: Die säkulare Resonanz  ist für die chaotische Bewegung im inneren Planetensystem verantwortlich. => Lyapunov-Exponent: 1/5 myr. Fig. 4 und Fig. 5 Tab. IX

Messung des Chaos Messung des Chaos durch Untersuchung der Änderung der Hauptfrequenzen. Methode der numerischen Berechnung zur Bestimmung der chaotischen Zonen: – Integrierbares System: Bewegung im Phasenraum folgt der eines Torus mit konstanten Radien und Geschwindigkeiten. Analyse der Frequenzen möglich. Langzeitverhalten: Frequenzen ändern sich nicht. – Nichtgeneriertes integrierbares System: Frequenzbestimmung aus der Wirkung J. Langzeitverhalten: Frequenzen ändern sich, da sich die A/A-Variables ändern. => chaotische Zone Fourieranalyse => Fundamentalfrequenzen Vorteil der Methode: gültig, auch bei modifizierten A/A-Variables. Nachteil: – Frequenzen müssen gut genug bestimmt sein (MFT) – Bewegung darf nur schwach chaotisch sein Fig. 4 und Fig. 5 Tab. IX

Messung des Chaos Proper modes schlecht bestimmbar => näher an A/A-Variables Lineare Transformation => MFT-Analyse Ergebnis der Berechnung (über 200 myr): – Änderung der Frequenzen der inneren Planeten sind sehr viel stärker als bei den äußeren Planeten. – Chaotische Zonen im inneren Sonnensystem sind groß genug, um makroskopisch sichtbare Effekte zu erzeugen. – Geringe Änderung in den AB oder eine weiter kleine Störung reicht nicht aus, um das System aus seiner chaotischen Zone heraus zu bewegen. – Chaotisches Verhalten ist ausreichen stabil gegen geringe Veränderungen. – Die Frequenzen der äußeren Planeten sind relativ stabil (außer g6) – Vermutung von kleinen chaotischen Zonen im äußeren Sonnensystem Chaotische Zone: Überlappung von 2 oder mehreren Resonanzen Größe der chaotischen Zonen: Bestimmung der Fundamentalfrequenz => wie ändern sie sich mit der Zeit. Fig. 8 und Fig. 9 Tab. X

Aktuelle Planetenbahnen Venus und Erde sind stark gekoppelt => Subsystem Mars und Merkur Jupiter und Saturn gekoppelt durch große Ungleichheit (5:2 Resonanz) Uranus regelmäßige Schwankungen: Periode 106 Jahren Neptun beinahe kreisförmige Bahn minimale Änderung der Exzentrizität lange Periode von mehr als 107 Jahren Abb. 1 und 2 Abb. 3 und 4

Zusammenfassung Laskar integrierte das säkulare System über 200 myr Jahre Fouriertransformation => Frequenzen  und s => Analyse Innere Planetensystem – Erklärung für das exponentielle Abweichen der Planetenbahnen Säkulare Resonanz  = 2 (g4 - g3) - (s4 - s3) zwischen Erde und Mars Übergang von Libration zu Zirkulation => Chaos – Entdeckung der säkulare Resonanz s: zwischen Merkur, Venus und Jupiter Periode 10myr, bleibt in Libration – Auftreten von großen, chaotischen Zonen im inneren Sonnensystem – Änderung der Fundamentalfrequenzen um ca. 0.2 arcsec/yr. – Chaotische Zone ist stabil gegen kleine Veränderungen in den AB.   Äußeres Planetensystem – nahe einer quasiperiodische Bewegung – nur sehr kleine chaotische Regionen (g6) Abb. 5