Fundamente der Computational Intelligence (Vorlesung) Prof. Dr. Günter Rudolph Fachbereich Informatik Lehrstuhl für Algorithm Engineering Wintersemester 2005/06

Rudolph: FCI (WS 2005/06) Kap. 3: Evolutionäre Algorithmen2 Kapitel 3: Evolutionäre Algorithmen Inhalt Grundlagen Optimierung Nachbarschaftssuche (1+1)-EA - Erwartete Laufzeit Counting Ones Leading Ones - Konvergenz Populationsbasierte EA EA im B n EA im R n

Rudolph: FCI (WS 2005/06) Kap. 3: Evolutionäre Algorithmen3 Kapitel 3: Evolutionäre Algorithmen Nachtrag: EP-Selektion (Beispiel für Verlust des Besten) = = 2 bei Minimierung, q = 2 Index1234 f(x) Rang4123 Siege0222 Sortierrang4321 Auswahl--++ Annahme: Sortierung nach Anzahl der Siege mit selection sort abhängig von Implementierung! Lösung: Bestem vorher q+1 Siege zuweisen!

Rudolph: FCI (WS 2005/06) Kap. 3: Evolutionäre Algorithmen4 Kapitel 3: Evolutionäre Algorithmen Initialisierung der Population repeat Reproduktionsselektion Rekombination Mutation Überlebensselektion until Abbruch Schematischer Ablauf eines Evolutionären Algorithmus GA ES EP x x x x - - x x - x x x - x x Heute: Keine Unterscheidung zwischen GA/ES/EP, da Übergänge fließend

Rudolph: FCI (WS 2005/06) Kap. 3: Evolutionäre Algorithmen5 Kapitel 3: Evolutionäre Algorithmen EA im R n Selektion: unabhängig von Representation Rekombination:k-Punkt-Crossover, Uniform Crossover funktioniert auf allen Produkträumen! zusätzlich: Intermediäre Rekombination z i = i x i + (1- i ) y i, i (0,1) i auf Verbindungslinie zwischen x und y sonst innerhalb des durch x und y definierten Hyperrechtecks auch: Varianten mit > 2 Eltern Mutation:additiv via Normalverteilung N(0, C), C Kovarianzmatrix häufig: C = 2 ¢ I n oder individuelle i auch: Cauchyverteilung (Levy flights) oder Mixturen notwendig: Anpassung von C bzw. i während Suche!

Rudolph: FCI (WS 2005/06) Kap. 3: Evolutionäre Algorithmen6 Kapitel 3: Evolutionäre Algorithmen Optimierung ohne Anpassen (reine Zufallssuche) f(x) = || x || 2 = xx min! wobei x S n (r) = { x R n : || x || r } Z k ist gleichverteilt in S n (r) X k+1 = Z k falls f(Z k ) < f(X k ), sonst X k+1 = X k V k = min { f(Z 1 ), f(Z 2 ), …, f(Z k ) } bester ZF-Wert bis Iteration k P{ || Z || x } = P{ Z S n (x) } = Vol( S n (x) ) / Vol( S n (r) ) = ( x / r ) n, 0 x r P{ || Z || 2 x } = P{ || Z || x 1/2 } = x n/2 / r n, 0 x r 2 P{ V k x } = 1 - ( 1 - P{ || Z || 2 x } ) k = 1 – ( 1 – x n/2 / r n ) k E[ V k ] r 2 (1 + 2/n ) k -2/n für große k

Rudolph: FCI (WS 2005/06) Kap. 3: Evolutionäre Algorithmen7 Kapitel 3: Evolutionäre Algorithmen Optimierung ohne Anpassen (lokal gleichverteilt) f(x) = || x || 2 = xx min! wobei x S n (r) = { x R n : || x || r } Z k ist gleichverteilt in [-r, r], n = 1 X k+1 = X k + Z k falls f(X k + Z k ) < f(X k ), sonst X k+1 = X k 0 r0 ab hier: wie reine Zufallssuche!

Rudolph: FCI (WS 2005/06) Kap. 3: Evolutionäre Algorithmen8 Kapitel 3: Evolutionäre Algorithmen (1+1)-EA mit Schrittweitenanpassung (1/5-Erfolgsregel, Rechenberg 1973) Idee: Wenn viele erfolgreiche Mutationen, dann Schrittweite zu klein. Wenn wenige erfolgreiche Mutationen, dann Schrittweite zu groß. Ansatz: Protokolliere erfolgreiche Mutationen in gewissem Zeitraum Wenn Anteil größer als gewisse Schranke (z. B. 1/5), dann Schrittweite erhöhen, sonst Schrittweite verringern bei infinitesimal kleinem Radius ist Erfolgsrate = 1/2

Rudolph: FCI (WS 2005/06) Kap. 3: Evolutionäre Algorithmen9 Kapitel 3: Evolutionäre Algorithmen Schrittweite? Normalverteilter Vektor Z = N(0, 2 I n ) hat zufällige Länge || Z || Man kann zeigen: E[ || Z || ] ( n – ½ ) ½ mit Varianz von etwa 2 / 2 Satz: X = (x 1, …, x n ) sphärisch verteilt gdw. X = r ¢ U, wobei r nicht negative Zufallsvariable, U n-dim. Zufallsvektor gleichverteilt auf Kugelrand und = im Sinne von gleich in Verteilung Definition: Zufallsvektor X = (x 1, …, x n ) sphärisch verteilt wenn X für jede orthonormale Matrix T die gleiche Verteilung wie TX besitzt (also rotationsinvariant ist).

Rudolph: FCI (WS 2005/06) Kap. 3: Evolutionäre Algorithmen10 Kapitel 3: Evolutionäre Algorithmen Wenn Zufallsschrittweite r wie n ( )-verteilt, dann X normalverteilt N(0, 2 I n ) Für große n: Normalverteilung verhält sich ähnlich wie Kugelrandverteilung! fast alle sphärischen Verteilungen verhalten sich für große n ähnlich! fast alle? alle mit finiter Varianz!

Rudolph: FCI (WS 2005/06) Kap. 3: Evolutionäre Algorithmen11 Kapitel 3: Evolutionäre Algorithmen Analyse (1, )-EA mit f(x) = || x || 2 || Y k || 2 = || X k + r k U k || 2 = (X k + r k U k ) (X k + r k U k ) = X k X k + 2r k X k U k +r k 2 U k U k = ||X k || 2 + 2r k X k U k + r k 2 ||U k || 2 = ||X k || 2 + 2X k U k + r k 2 = 1 da das zufällige Skalarprodukt xU die gleiche Verteilung hat wie ||x|| B, wobei Zufallsvariable B betaverteilt mit Parametern (n-1)/2 auf [-1, 1] ist, folgt || Y k ||2 = || X k || 2 + 2r k || X k || B + r k 2 da der (1, ) den besten Wert aus Versuchen selektiert, folgt || X k+1 || 2 = || X k || 2 + 2r k || X k || B 1: + r k 2

Rudolph: FCI (WS 2005/06) Kap. 3: Evolutionäre Algorithmen12 Kapitel 3: Evolutionäre Algorithmen || X k+1 || 2 = || X k || 2 + 2r k || X k || B 1: + r k 2 bedingte Erwartungswerte auf beiden Seiten E|| X k+1 || 2 = || X k || 2 + 2r k || X k || E[ B 1: + r k 2 Ansatz: r k = || X k || E|| X k+1 || 2 = || X k || || X k || 2 E[ B 1: + 2 || X k || 2 wg. Symmetrie von B folgt E[B 1: ] = - E[B : ] < 0 E|| X k+1 || 2 = || X k || || X k || 2 E[ B : + 2 || X k || 2 = || X k || 2 (1 – 2 E[B : ] + 2 ) Parabelscheitel bei * = E[B : ], also E|| X k+1 || 2 = || X k || 2 ( 1 – E[B : ] 2 )