Fundamente der Computational Intelligence (Vorlesung) Prof. Dr. Günter Rudolph Fachbereich Informatik Lehrstuhl für Algorithm Engineering Wintersemester 2005/06

Rudolph: FCI (WS 2005/06) Kap. 3: Evolutionäre Algorithmen2 Kapitel 3: Evolutionäre Algorithmen Inhalt Grundlagen Optimierung Nachbarschaftssuche (1+1)-EA …

Rudolph: FCI (WS 2005/06) Kap. 3: Evolutionäre Algorithmen3 Kapitel 3: Evolutionäre Algorithmen Zufällige Auswahl aus der 1-Nachbarschaft von x B n entspricht: 1 Bitposition zufällig gleichverteilt auswählen und invertieren Bsp: N 1 ( ) = { , , , } kann man wie folgt auffassen: - Bitstring x = (x 1 x 2 … x n ) ist Chromosom eines Individuums - das Chromosom wird durch Mutation (Bit invertieren) zufällig geändert - der Nachkomme mit geändertem Chromosom überlebt, wenn es der Umwelt besser angepasst ist bzw. bessere Fitness hat.

Rudolph: FCI (WS 2005/06) Kap. 3: Evolutionäre Algorithmen4 Kapitel 3: Evolutionäre Algorithmen (1+1)-EA wähle X 0 S, k = 0 repeat Y k = Mutation(X k ) if f(Y k ) < f(X k ) then X k+1 = Y k else X k+1 = X k k = k + 1 until Terminierung Mutation Selektion Mutation: S = B n lokal 1 Bit auswählen und flippen, d.h. aus N 1 -Nachbarschaft global jedes Bit mit Wkeit p flippen, d.h. aus N n -Nachbarschaft

Rudolph: FCI (WS 2005/06) Kap. 3: Evolutionäre Algorithmen5 Kapitel 3: Evolutionäre Algorithmen globale Mutation jede Bitposition jeweils mit Wkeit p invertieren entspricht: zufällige Entscheidung über Anzahl zu invertierender Bits, dann aus dieser Teilmenge der N n -Nachbarschaft gleichverteilt ziehen Anzahl K zu invertiender Bits: N4( ) = { , , , , , , , , , , , , , , } K = 1 K = 2 K = 3 K = 4

Rudolph: FCI (WS 2005/06) Kap. 3: Evolutionäre Algorithmen6 Kapitel 3: Evolutionäre Algorithmen Binomialverteilung: üblicherweise wird p = 1 / n gesetzt: n groß P{K= 0} ~ e -1 P{K=10} ~ E[K] = n p

Rudolph: FCI (WS 2005/06) Kap. 3: Evolutionäre Algorithmen7 Kapitel 3: Evolutionäre Algorithmen Typische theoretische Fragestellungen: Optima erreichbar?Bis wohin kommt man? Konvergenz?Zeit bis zum ersten Treffer? Zeit bis Konvergenz? Wenn Optima nicht immer erreichbar: Mit welcher Wkeit erreichbar? nein ja

Rudolph: FCI (WS 2005/06) Kap. 3: Evolutionäre Algorithmen8 Kapitel 3: Evolutionäre Algorithmen D k = | f(X k ) – f* | 0 ist eine Zufallsvariable wir betrachten die stochastische Folge D 0, D 1, D 2, … Konvergiert die Folge (D k ) k0 gegen 0? Wenn ja, dann offensichtlich Konvergenz zum Optimum! Erwartungswert von Zufallsvariable T = min{ k 0 : D k = 0 }