Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 04/

Finden von mehreren markierten Elementen Angenommen unter x 0,...,x N-1 gibt es t mal x i =1, finde alle solche Positionen Verwende Grover Algorithmus t mal Zeit: s=1,...,t O((N/s) 1/2 ) · O(N 1/2 s=1,...,t 1/s 1/2 ) · O(N 1/2 s 1...t 1/s 1/2 ds) · O(N 1/2 t 1/2 )

Minima Gegeben: Zahlen z 0,...,z N-1, gesucht wird das Minimum [Dürr/Hoyer]: kann in Zeit O(N 1/2 ) gefunden werden Algorithmus: ziehe zufälliges j aus 0...N-1 Wiederhole: Suche z i : z i < z j mit Grover-suche Abbruch wenn kein i gefunden, Ausgabe j Setze j=i

Analyse O.B.d.A. seien alle z i paarweise verschieden Rang r(i) sei Anzahl z j · z i p(r,t) sei Wahrscheinlichkeit, dass Element von Rang r irgendwann gefunden wird, wenn bereits Element von Rang t gefunden p(r,t)=0 wenn t · r Ansonsten p(r,t)=1/r Induktion: t=r+1: einfach t->t+1: p(r,t+1)=1/t+ k=r+1....t p(r,k)/t =1/t + (t-r) (1/r) (1/t)=1/r

Analyse Erwartete Laufzeit höchstens: r=1...N p(r,N) O((N/r) 1/2 ) · O(N 1/2 r=1...N (1/r)/r 1/2 ) · O(N 1/2 (1+ s r=1...N 1/r 3/2 dr) ) · O(N 1/2 ) Anzahl der Suchen insgesamt · r=1...N p(r,N) · O(log N) erwartet, Daher Speicherplatz O(log 2 N)

Amplituden Amplifikation Problem: Gegeben Quantenalgorithmus, der mit Erfolgswahrscheinlichkeit a<1 funktioniert, wobei Erfolg verifizierbar ist [Ohne interne Messungen] Erreiche Erfolg mit konstante Ws.! Klassische Wiederholungstechnik braucht (1/a) Iterationen um konstante Erfolgswahrscheinlichkeit zu erzielen Verallgemeinerung von Grovers Technik erlaubt selbiges in O(1/a 1/2 ) Wiederholungen

Amplituden Amplifikation Gegeben Quantenalgorithmus, der mit Erfolgswahrscheinlichkeit a<1 funktioniert, wobei Erfolg verifizierbar ist [Ohne interne Messungen] Seien Ausgaben x 2 {0, 1} n gut oder schlecht. A berechne ein gutes x mit Wahrscheinlichkeit a Guter Unterraum aufgespannt von guten |x i, schlechter von schlechten | i =A|0 i =| g i +| s i || g || 2 =a Operator S wechsele Vorzeichen von guten |x i, bilde schlechte |x i auf sich selbst ab Operator P wie bei Grover (wechsele Vorzeichgen von |0 i ) Q= - A PA -1 S [A anstatt Hadamard]

Amplituden Amplifikation Q= - A PA -1 S Q| g i = (1-2a) | g i -2a| s i Q| s i = (2-2a) | g i +(1-2a)| s i Z.B. h g | Q g i = h g | APA -1 g i = h A -1 g | PA -1 g i Sei A -1 | g i = a|0 i + b | i Dann PA -1 | g i = | g i -2a|0 i Und obiges = h g | g i -2 h 0|A -1 g i =a-2a 2 Also wird der 2-dimensionale Raum von | g i und | s i nicht verlassen

Amplituden Amplifikation Q= - A PA -1 S Q ist auch Reflektion um | s i durch I-2/(1-a) | s ih s | gefolgt von Reflektion um | i durch I-2| ih | Starte mit A|0 i =| i Wende Q ungefähr 1/a 1/2 mal an: a= h g | i =cos( /2- )|| g ||=cos( /2- )a 1/2 Also a 1/2 =sin( ) ¼ Winkelfortschritt 2 Anzahl der Iterationen /(4a 1/2 )

Amplituden Amplifikation Q= - A PA -1 S Anzahl der Iterationen /(4a 1/2 ) Beispiel: Grover A=H ­ n erzeugt uniforme Superposition, bei t Lösungen ist Wahrscheinlichkeit von Treffer a=t/N nach Messung Damit ist klar, dass statt H ­ n jede Transformation ausreicht, die |0 i auf eine fast uniforme Superposition abbildet

Element Distinctness Problem: Gegeben n Zahlen von [1...10n] Sind die n Zahlen paarweise verschieden? Lösung zum Beispiel durch Sortieren (Counting Sort), lineare Zeit Schneller Quantenalgorithmus? Lösung in Zeit O(n 3/4 log n) Benutze Amplituden Amplifikation

Element Distinctness Problem: Gegeben Menge T von n Zahlen aus [1...10n] Sind die n Zahlen paarweise verschieden? Ziehe n 1/2 Elemente zufällig, lese sie und sortiere sie in Zeit O(n 1/2 ), Menge A Wenn zwei gleiche Elemente gefunden, Ausgabe Benutze Grover Algorithmus, um festzustellen, ob es in T-A ein Element gibt, das auch in A liegt, Zeit O(n 1/2 log n), da A sortiert [Suche Element in T-A, Black Box im Grover wird durch Suche in A ersetzt] Prozedur findet zwei gleiche Elemente mit Wahrscheinlichkeit 1/n 1/2 wenn vorhanden Amplituden Amplifikation! Laufzeit O(n 1/2 log n ¢ n 1/4 )

Element Distinctness Wir haben Algorithmus mit O(n 3/4 log n) Zeit gesehen (und Speicherplatz O(n 1/2 log n) Tatsächlich können wir mit weniger Speicher, aber mehr Zeit auskommen

Element Distinctness Algorithmus Ziehe S Elemente zufällig, lese sie und sortiere sie in Zeit O(S), Menge A Wenn zwei gleiche Elemente gefunden, Ausgabe Benutze Grover Algorithmus, um festzustellen, ob es in T-A ein Element gibt, das auch in A liegt, Zeit O(n 1/2 log n), da A sortiert Prozedur findet zwei gleiche Elemente mit Wahrscheinlichkeit S/n, wenn vorhanden Amplituden Amplifikation! Laufzeit also O((n 1/2 log n +S) ¢ (n/S) 1/2 )= O(n log n/S 1/2 ) für beliebiges S < n 1/2 log n

Element Distinctness [Shi02] Zeit (n 2/3 ) notwendig [Ambainis03] O(n 2/3 ) reicht ! [Szegedy04] Spezialfall einer Quantisierung von random walks