Einschub: Axiomatische Mengenlehre Die Grundlagenkrise
Frage: Gibt es Mengen, die sich selbst als Element enthalten? Naive Mengenlehre: Nichts spricht dagegen. Beispiel: Die Allmenge A aller Mengen: A = { M | M ist Menge} A ist Menge und daher selbst in der Allmenge aller Mengen als Element enthalten.
M = {M | M ist Menge und M ∉ M} Frage: Ist M ϵ M? Also macht die folgende Definition Sinn: Wir betrachten die Menge M aller Mengen M, die sich nicht selbst als Element enthalten (Russel). In Formeln: M = {M | M ist Menge und M ∉ M} Frage: Ist M ϵ M?
Grundlagenkrise!!! Die Definition von M impliziert: Krise! Desaster ! 1.) M ∈ M ⟹ M ∉ M und umgekehrt genauso 2.) M ∉ M ⟹ M ∈ M Widerspruch! Desaster ! Krise! Grundlagenkrise!!!
Axiomatische Lösung: (angedeutet) Man beginnt wie in der naiven Mengenlehre, nur ersetzt man das Wort „Menge“ durch „Klassen“ und legt aber nicht fest, was man als Elemente von Klassen zulassen will. Durchschnitt, Vereinigung und Teilklassen werden wie in der naiven Mengenlehre definiert.
Definition: Eine Klasse, die selbst Element einer Klasse ist, heißt Menge. Mengen dürfen also zu Klassen zusammengefasst werden. Axiome: Die leere Klasse ist eine Menge. Teilklassen von Mengen sind Mengen. Durchschnitt und Vereinigung von Mengen sind Mengen. Die Potenzklasse einer Menge ist eine Menge.
Damit lässt sich dann das Universum der Mengen aus der leeren Menge erzeugen. Das Problem der unmöglichen Russelschen Widerspruchsmenge M aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten, stellt sich nicht mehr: M ist eine Klasse und keine Menge und daher insbesondere nicht in sich selbst als Element enthalten. Die Allklasse A aller Mengen existiert, ist aber keine Menge.
Alternativ (und äquivalent) kann man auch mit einer Allklasse starten („Universum“ genannt), die alle Mengen enthält, und grundsätzlich nur Objekte zu Mengen zusammenfassen, die Elemente dieses Universums sind. Das Universum ist per Definitionem kein Element von sich selbst, kann aber Element in einem höheren Universum sein. Dadurch entsteht eine ganze Hirarchie von Universen…. (Das läuft aber auf dasselbe hinaus, wie in der Klassenaxiomatik).