Begriffliche Fundierung der Fuzzy- und Systemtheorie Karl Erich Wolff Fachbereich Mathematik der Fachhochschule Darmstadt Ernst-Schröder-Zentrum für Begriffliche Wissensverarbeitung Forschungsgruppe Begriffsanalyse der Technischen Universität Darmstadt Forschungszentrum Begriffliche Wissensverarbeitung

Gliederung 1 Begriffliche Wissensverarbeitung 2 Begriffliche Fundierung der Fuzzy-Theorie 3 Begriffliche Systemtheorie

1 Begriffliche Wissensverarbeitung Eingeführt 1982 durch Prof. Dr. Rudolf Wille Mathematisierung des Begriffs „Begriff“ Visualisierung begrifflicher Hierarchien Datenanalyse Begriffliche Skalierungstheorie Begriffliche Wissensakquisition Logik Fuzzy-Theorie Allgemeine und Mathematische Systemtheorie Rudolf Wille

1.1 Ein klassisches Beispiel Aristoteles

1.2 Formale Kontexte und Begriffsverbände

1.3 Mehrwertige Kontexte und Skalierung (1)

1.3 Mehrwertige Kontexte und Skalierung (2)

1.4 Liniendiagramme: gestuft: Einbettung in „geistige Rahmen“ Das einfache Liniendiagramm

Begriffliche Konstruktion der reellen Zahlen Der Begriffsverband des Kontextes (Q,Q, ) ist der vollständige Verband der reellen Zahlen inclusive plus und minus Unendlich. 

Daten einer Magersuchtpatientin 011DF SELBST IDEAL VATER MUTTER 1 rational denkend 2 emotional 2 3 5 3 ehrlich 4 unehrlich 1 5 optimistisch 6 pessimistisch 7 interessiert 8 desinteressiert 9 flexibel 10 gehemmt 11 materialistisch 12 idealistisch 4 13 nicht modebewußt 14 modebewußt 15 lebensfroh 16 depressiv 6 17 zielbewußt 18 unsicher 19 zwanglos 20 zwanghaft

Der abgeleitete Kontext 011D2FX SELBST IDEAL VATER MUTTER 1 rational X   2 emotional 3 ehrlich 4 unehrlich 5 optimistisch 6 pessimistisch 7 interessiert 8 desinteressiert 9 flexibel 10 gehemmt 11 materialistisch 12 idealistisch 13 nicht modebewußt 14 modebewußt 15 lebensfroh 16 depressiv 17 zielbewußt 18 unsicher 19 zwanglos 20 zwanghaft

Der Begriffsverband der Familie

Familie und Bekannte: 1. Zeitpunkt

Familie und Bekannte: 4. Zeitpunkt

2 Begriffliche Fundierung der Fuzzy-Theorie Lotfi A. Zadeh führte 1965 die Fuzzy-Theorie ein als eine Theorie der „graded concepts“ „in which everything is a matter of degree or to put it figuratively, everything has elasticity.“ 1995 IEEE Medal of Honor

Zugehörigkeitsfunktionen Def.: Sei X ein Menge und f: X  [0,1]. Dann heißt f eine Zugehörigkeitsfunktion oder eine Fuzzy-Menge auf X. „graded concepts“ werden beschrieben durch die lineare Ordnung auf [0,1] Ersetze [0,1] durch eine beliebige Ordnung!

Direkte Produkte... ... von Ordnungen sind Ordnungen. Aber: Direkte Produkte von Intervallen sind keine Intervalle! Deshalb: Fuzzy-Implikationen sind theoretisch nicht fundiert!

Die Mamdani-Implikation Min(blue, red) If X is big then Y is big.

Kontextuelle Implikationen

Second International Conference on Rough Sets and Current Trends in Computing, Banff /Kanada, 16.-19.10.2000. Ziarko Pawlak Wolff Zadeh Skowron

3 Begriffliche Systemtheorie 3.1 Probleme in der Mathematischen Systemtheorie: Was ist ein System? Wie sollte man allgemein die Zeit beschreiben? Was ist ein Zustand? Raum – Zeit – Kontinuum versus diskrete Phänomene? Was ist ein Gegenstand? Was ist ein Teilsystem?

3.2 Zwei Zitate: Liu: (General Systems Theory: A Mathematical Approach. 1999) „There might not exist an ideal definition for general systems, upon which a general systems theory could be developed so that this theory would serve as the theoretical foundation for all approaches of systems analysis, developed in various disciplines.“ Zadeh: (The Concept of State in System Theory. 1964) „To define the notion of state in a way which would make it applicable to all systems is a difficult, perhaps impossible, task. In this chapter, our modest objective is to sketch an approach that seems to be more natural as well as more general than those employed heretofore, but still falls short of complete generality.”

3.3 Begriffliche Zeitsysteme Hauptideen: Zustände als formale Begriffe definieren Systemdefinition: skalierter mehrwertiger Kontext Zeitobjekte einführen Zerlegung in Zeit- und „Raum“-Merkmale Begriffliche Skalierung als Granularitätstheorie Einführung von Zustandsraum und Phasenraum Objekte und Teilsysteme Aktuelle Objekte Transitionen

3.4 Ein Beispiel: Klimaanlage bei ROCHE Zu jeder Stunde: Temperaturen: Aussen Raum 2 Raum 3 Vorlauftemperatur Im Folgenden: Nur die ersten drei Tage

Die ersten drei Tage

Die Außentemperatur

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 1. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 1. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 1. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 1. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 1. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 1. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 1. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 2. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 2. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 2. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 2. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 2. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 2. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 2. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 2. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 2. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 2. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 2. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 2. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 2. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 2. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 3. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 3. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 3. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 3. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 3. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 3. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 3. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 3. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 3. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 3. Tag

Ein Film im Phasenraum: Die Außentemperatur 3. Tag

Ein dreidimensionaler Phasenraum

Ein dreidimensionaler Zustandsraum (grob skaliert)

Ein dreidimensionaler Zustandsraum (feiner skaliert)

Ein dreidimensionaler Zustandsraum (sehr fein skaliert)

Ein Zustandsraum von vier Variablen der Ordnungsdimension drei

Ein Zustandsraum von vier Variablen der Ordnungsdimension vier

Ein kurzer Blick auf die mathematische Beschreibung der Begrifflichen Systemtheorie Definition: ‘Begriffliches Zeitsystem' Sei G eine beliebige Menge und T := ((G, M, W, IT), (Sm | m  M)) und C := ((G, E, V, I), (Se | e  E )) skalierte mehrwertige Kontexte (auf derselben Menge G). Dann heißt das Paar (T, C) ein begriffliches Zeitsystem auf G. T heißt der Zeitteil und C der Ereignisteil von (T, C).

Zustände in begrifflichen Zeitsystemen Definition: ‘Zustandsraum eines begrifflichen Zeitsystems’ Sei (T, C) ein begriffliches Zeitsystem und KT und KC der abgeleitete Kontext von T bzw. C. Für jedes Zeitobjekt g definieren wir den Zustand s(g) von (T, C ) am Zeitobjekt g durch s(g) := C(g) := Gegenstandsbegriff von g in KC und den Zeitzustand t(g) durch t(g) := T(g) := Gegenstandsbegriff von g in KT. S(T, C):= {s(g) | g  G } heißt der Zustandsraum von (T, C).

Situationen in begrifflichen Zeitsystemen Definition: Sei (T, C) ein begriffliches Zeitsystem auf G und KT und KC die abgeleiteten Kontexte von T und C. Die Apposition KT|KC der abgeleiteten Kontexte heißt der Situationenkontext von (T, C). Die Gegenstandsbegriffe von B(KT|KC) heißen die Situationen von (T, C).

Phasen in begrifflichen Zeitsystemen Definition: Sei (T, C) ein begriffliches Zeitsystem auf G und KT und KC die abgeleiteten Kontexte von T und C. Das Paar ( t(g), s(g) ) aus Zeitzustand und Zustand von g heißt die Phase von (T, C) im Zeitpunkt g. B(KT)  B(KC) heißt der Phasenraum von (T, C).

Transitionen in begrifflichen Zeitsystemen In begrifflichen Zeitsystemen kann man unterscheiden zwischen Transitionen in verschiedenen Räumen, zum Beispiel: Transitionen zwischen Zuständen, Transitionen zwischen Situationen, Transitionen zwischen Zeitzuständen, Transitionen zwischen Phasen. Alle diese lassen sich erzeugen aus einer gemeinsamen Relation R aus Transitionen auf den Zeitobjekten.

Lebenslinien Transition: ( (g,h), (f(g), f(h) ) Lebenslinie f := {(g,f(g)) | g G } 

Transitionen in der Automatentheorie In der Automatentheorie sind Transitionen Übergänge zwischen Zuständen, formal Tripel (r, a, s), wobei r, s Zustände sind und a eine Aktion (Befehl, Buchstabe) bezeichnet. Der Transitionen-Rekonstruktionssatz: Die Transitionen jedes Automaten A lassen sich beschreiben durch die Transitionen eines begrifflichen Zeitsystems, das aus A definiert werden kann.

Der Zustandsraum einer Familie (in der Sprache des Therapeuten)

Der Zustandsraum einer Familie (in der Sprache der Patientin (SELF))

Der Zustandsraum eines Petri-Netzes

Der Zustandsraum einer Destillationskolonne

Der Zustandsraum einer Wafer-Produktion

Danke!