Bézier-Bernstein Methoden für Bivariate Polynome Lehrstuhl für Mathematik IV Approximationstheorie G. Nürnberger, M. Matt, G. Schneider Seminar HWS 2011 Bézier-Bernstein Methoden für Bivariate Polynome Mathias Grieser Murat Deniz 29.09.2011

Bézier-Bernstein Methoden für Bivariate Polynome Inhaltsverzeichnis Baryzentrische Koordinaten Bernstein Basis Polynome Die Bézier-Bernstein Darstellung Stabilität der BB-Darstellung Der deCasteljau Algorithmus Richtungsableitung Ableitung an einem Eckpunkt Kreuzableitung auf einer Kante Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit Unterteilung/Basiswechsel

1. Baryzentrische Koordinaten Seien vi := (xi; yi), i = 1, 2, 3 Punkte in ℝ² und sei T := <v1, v2, v3> ein Dreieck mit den Ecken v1, v2, v3 Lemma 1.1: Jeder Punkt v := (x, y) є ℝ² lässt sich in der Form v = b1v1 + b2v2 + b3v3 mit 1 = b1 + b2 + b3 darstellen. b1, b2, b3 werden als baryzentrische Koordinaten des Punkts v bzgl. des Dreiecks T bezeichnet.

1. Baryzentrische Koordinaten Dies ist gleichbedeutend mit folgender Matrix 1 1 1 b1 1 x1 x2 x3 b2 = x y1 y2 y3 b3 y Durch lösen dieses LGS oder durch die Formel (b2, b3 analog) 1 1 1 det x x2 x3 y y2 y3 b1 = det (M) erhält man die baryzentrischen Koordinaten. =: M

1. Baryzentrische Koordinaten Sei T ein Dreieck mit Eckpunkten v1, v2 und v3. Dann besitzen die baryzentrischen Koordinaten an den Eckpunkten folgende Werte: am Punkt v1 am Punkt v2 am Punkt v3 b1 = 1 b1 = 0 b1 = 0 b2 = 0 b2 = 1 b2 = 0 b3 = 0 b3 = 0 b3 = 1 Abb. 1: baryzentrische Koordinaten an den Punkten v1 , v2 , v3

2. Bernstein Basis Polynome Definition 2.1 Die Bernstein Basis Polynome sind Bdijk := wobei i,j,k є ℕ0 Rekursionsformel: Bdijk := b1 Bd-1i-1,j,k + b2 Bd-1i,j-1,k + b3 Bd-1i,j,k-1 i+j+k=d > 0 wobei B0000 = 1 gilt und die Bernstein Polynome gleich 0 sind, falls mindestens eines der Indizes negativ ist. Beispiel: Bdd00 := b1 Bd-1d-1,0,0 + b2 Bd-1d,-1,k + b3 Bd-1d,0,-1 = b1 Bd-1d-1,0,0 d! i! j! k! bi1bj2bk3 , i+j+k = d

2. Bernstein Basis Polynome Eigenschaften: „Partition der Eins“: ∑ Bdijk (v) = 1 für alle v є ℝ² „Nicht-Negativität“: Bdijk (v) ≥ 0 für alle i+j+k = d v є T Basis: Bd := {Bdijk }i+j+k=d Dimension: dim Bd = i+j+k = d d+2 2

3. Die Bézier-Bernstein Darstellung Bézier - Bernstein Darstellung (BB-Darstellung): p = ∑ cijkBdijk wobei Bdijk die Bernstein Basis Polynome sind und cijk als Bézier-Bernstein-Koeffizienten (BB-Koeffizienten) bezeichnet werden. Notation: Sei T := <v1, v2, v3> ein Dreieck, wobei v1, v2, v3 die Eckpunkten sind und d sei der Grad des Polynoms p auf diesem Dreieck. Dann korrespondiert der Eckpunkt v1 mit dem Koeffizient cd00, der Eckpunkt v2 mit dem Koeffizient c0d0 und der Eckpunkt v3 mit dem Koeffizient c00d i+j+k = d

3. Die Bézier-Bernstein Darstellung Bézier-Bernstein-Punkte (BB-Punkte): Die BB-Punkte ξijk є ℝ² lassen sich folgendermaßen bestimmen: Dd,T := { ξijk := (iv1 + jv2 + kv3)/ d}i+j+k=d Zusammen mit den Bézier-Bernstein-Koeffizienten cijk є ℝ bilden sie die Kontrollpunkte von p. Wichtig: Die BB-Punkte bilden eine Interpolationslage für das Polynom p

3. Die Bernstein - Bézier Form Beispiel für d = 3: Abb. 3: BB-Koeffizienten Abb. 2: BB-Punkte dim B³ = = = 10 Im weiteren Verlauf werden die Koeffizienten aus Abb. 3 so wie in Abb. 4 dargestellt Abb. 4: BB-Koeffizienten(vereinfacht) d+2 2 3+2 2

4. Stabilität der BB-Darstellung Der Graph eines Polynoms p verläuft innerhalb der konvexen Hülle dieser Kontrollpunkte Abb. 5: konvexe Hülle der Kontrollpunkte im univariaten Fall

4. Stabilität der BB-Darstellung Sei ║c║∞ := max |cijk| dann gilt folgender Satz: Satz 4.1: Sei p ein Polynom in BB-Darstellung mit Koeffizientenvektor c. Dann gilt: ║p║T ≤ ║c║∞ Dies bedeutet, dass die Werte des Polynoms p nie größer sein können, als der größte Koeffizient der BB-Darstellung i+j+k = d

5. Der deCasteljau Algorithmus Satz 5.1: Sei p ein Polynom in BB-Darstellung mit Koeffizienten c(0)ijk := cijk i+j+k = d v besitzt die baryzentrischen Koordinaten b := (b1.b2, b3) und für ℓ = 1,...,d gilt c(ℓ)ijk := b1 c(ℓ-1)i+1,j,k + b2 c(ℓ-1)i,j+1,k + b3 c(ℓ-1)i,j,k+1 für i+j+k = d - ℓ Dann gilt p(v) = ∑ c(ℓ)ijk Bd- ℓijk(v) für alle 0 ≤ ℓ ≤ d und p(v) = c(d)000 i+j+k = d - ℓ

5. Der deCasteljau Algorithmus ℓ = 0 Abb. 6: de Casteljau Algorithmus Abbildung 6 zeigt den Algorithmus für d = 2 Beispiel für ℓ = 1: c(1)100:= b1 c(0)2,0,0 + b2 c(0)1,1,0 + b3 c(0)1,0,1 wobei c(0)ijk := cijk ℓ = 1 ℓ = 2

6. Richtungsableitung Wichtige Notationen: Ring RTm(v1): Sei 0 ≤ m ≤ d. Dann ist der Ring RTm(v1) wie folgt definiert: RTm(v1) := { ξd-m,j,m-j }mj=0 wobei die ξ die BB-Punkte sind. Der Ring beinhaltet alle Punkte, die auf dem Rand des Radius m um den Punkt v1 liegen. (RTm(v2), RTm(v3) analog) Scheibe DTm(v1): Sei 0 ≤ m ≤ d. Dann ist die Scheibe DTm(v) wie folgt definiert: DTm(v1) := ∪mn=0 RTm(v) Sie beinhaltet alle Punkte die auf dem Rand und innerhalb des Radius m um den Punkt v1 liegen. (DTm(v2), DTm(v3) analog) Achtung: Verwechsel die Notation der Scheibe DTm nicht mit der Notation der Ableitung Du , die auf den folgenden Folien definiert wird!

6. Richtungsableitung RT1(v) ist der Ring, der alle Punkte Veranschaulichung: Gegeben sei eine Triangulierung der Dreiecke T1, T2, T3, T4, T5 mit gemeinsamen Punkt v. RT1(v) ist der Ring, der alle Punkte auf dem Radius 1 um v enthält. RT2(v) ist der Ring, der alle Punkte auf dem Radius 2 um v enthält. RT3(v) ist der Ring, der alle Punkte auf dem Radius 3 um v enthält. Die Scheibe DT3(v) enthält alle Punkte von RT1(v) , RT2(v) und RT3(v) T1 T2 T5 v T3 T4 Abb. 7: Triangulierung von T1, T2, T3, T4, T5

6. Richtungsableitung In diesem Abschnitt sei v ein Punkt in ℝ² und u ein Vektor. Jeder Punkt v ist eindeutig bestimmt durch seine baryzentrische Koordinaten b1, b2 und b3. Außerdem wird jeder Vektor u := w - ŵ durch ein Tripel (a1, a2, a3) bestimmt. Dabei ist ai := αi – βi, i = 1, 2, 3, wobei (α1, α2, α3) und (β1, β2, β3) die baryzentrischen Koordinaten der zwei Punkte w und ŵ sind. Beachte, dass die Summe des Tripels (a1, a2, a3) sich zu 0 summieren. (a1, a2, a3) werden als Richtungskoordinaten von u bezeichnet.

6. Richtungsableitung Lemma 6.1: Sei u ein Vektor mit Richtungskoordinaten (a1, a2, a3). Dann ist für jedes i+j+k = d DuBdijk := d [a1 Bd-1i-1,j,k + a2 Bd-1i,j-1,k + a3 Bd-1i,j,k-1] die Richtungsableitung der Bernstein-Polynome. Diese hängt nicht nur von der Richtung ab, sondern auch von der Länge des Vektors u.

6. Richtungsableitung Satz 6.2: Sei p ein Polynom in BB-Darstellung bzgl. eines Dreiecks T und sei u ein Richtungsvektor, der durch das Tripel (a1, a2, a3) beschrieben wird. Dann ist die Richtungsableitung an einem Punkt v von p in Richtung u gegeben durch: Dup(v) = d ∑ c(1)ijk(a)Bd-1ijk(v) wobei c(1)ijk(a) die Koeffizienten aus dem 1. Schritt des deCasteljau Algorithmus, basierend auf dem Tripel a, sind. Abb. 8: Richtungsableitung am Punkt v i+j+k=d-1

6. Richtungsableitung Satz 6.3: Sei p ein Polynom in BB-Darstellung bzgl. eines Dreiecks T und sei u ein Richtungsvektor, der durch das Tripel (a1, a2, a3) beschrieben wird. Dann gilt für 1 ≤ m ≤ d Dmup(v) = ∑ c(m)ijk(a)Bd-mijk(v) wobei c(m)ijk(a) die Koeffizienten aus dem m. Schritt des deCasteljau Algorithmus, basierend auf dem Tripel a, sind. Der Vorteil der BB-Polynome ist, dass wir für die Richtungsableitung mit m < d nicht alle Koeffizienten des deCasteljau-Algorithmus benötigen! d! (d-m)! i+j+k=d-m

7. Ableitung an einem Eckpunkt Sei T wieder ein Dreieck mit den Eckpunkten v1, v2, v3. Die Ableitung an dem Eckpunkt v1 Richtung Eckpunkt v2 und Richtung Eckpunkt v3 ist beispielhaft wie folgt definiert: Dmv2-v1Dnv3-v1p(v1) = ∑ ∑ (-1)i+j cd-i-j,i,j für beliebige 0 ≤ m+n ≤ d. Dabei liegen alle dieser Koeffizienten in der Scheibe DTm+n(v1) Die Ableitungen an den Eckpunkten v2 und v3 oder die Ableitung in eine Richtung erfolgt analog. m n m i n j (-1)m+nd! (d-m-n)! i=0 j=0

7. Ableitung an einem Eckpunkt j (-1)m+nd! (d-m-n)! Dmv2-v1Dnv3-v1p(v1) = ∑ ∑ (-1)i+j cd-i-j,i,j Veranschaulichung für d = 3 und m, n = 1: D1v2-v1D1v3-v1p(v1) = ∑ ∑ (-1)i+j c3-i-j,i,j = 6 (c3,0,0 – c2,0,1 – c2,1,0 + c1,1,1 ) Die benötigten Koeffizienten liegen alle auf der Scheibe DT1+1(v1) = DT2(v1). Der Vorteil der BB-Polynome ist, dass wir für eine Ableitung an einem Eckpunkt nicht alle Koeffizienten cijk benötigen! i=0 j=0 (-1)2 3! 1! 1 1 1 i 1 j i=0 j=0 i=0, j=0 i=0, j=1 i=1, j=0 i=1, j=1

7. Ableitung an einem Eckpunkt i = 0, j = 0 i = 0, j = 1 Abb. 9: Ableitung am Eckpunkt v1 Richtung v2 und Richtung v3 i = 1, j = 0 i = 1, j = 1 DT2(v1)

8. Kreuzableitung auf einer Kante Sei T wieder ein Dreieck mit den Eckpunkten v1, v2, v3 und u sei ein Richtungsvektor, der nicht parallel zur Kante e := < v2, v3> ist. Das Tripel a := (a1, a2, a3) sind die Richtungskoordinaten von u. Dann ist die Kreuzableitung auf der Kante e definiert durch: Dmup(v) = ∑ c(m)0jk(a)Bd-m0jk(v) wobei c(m)0jk(a) die Koeffizienten aus dem m. Schritt des deCasteljau Algorithmus, basierend auf dem Tripel a, sind. Bei der Kreuzableitung muss mind. eine Komponente des Richtungsvektors parallel zur jeweiligen Kante, auf der abgeleitet wird, sein. d! (d-m)! j+k=d-m

8. Kreuzableitung auf einer Kante Veranschaulichung für d = 3: Abb. 10: Kreuzableitung auf Kante <v2, v3> für m = 0, 1, 2, 3 Wenn wir den Algorithmus betrachten, erkennen wir, dass wir nur die Koeffizienten cijk mit 0 ≤ i ≤ m benötigen. Diese Koeffizienten korrespondieren mit den BB-Punkten, die auf e oder auf den nächsten m Reihen parallel zu e liegen. c[1]200 c[2]100 c300 c201 c[3]000 c210 c[1]101 c[1]110 c111 c102 c120 c[2]010 c[1]002 c[2]001 c003 c[1]020 c[1]011 c030 c021 c012 m = 2 m = 3 m = 1 m = 0

9. Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit Satz 9.1: Seien T := <v1, v2, v3> und T := <v4, v3, v2> Dreiecke mit gleicher Kante e := < v2, v3>. Die Polynome auf den Dreiecken T und T seien p(v) = ∑ cijkBdijk (v) und p (v) = ∑ cijkBdijk(v) wobei Bdijk und Bdijk die Bernstein Basispolynome bzgl. T und T sind. Sei u eine beliebige Richtung, die nicht parallel zu e ist. Dann gilt Dnup(v) = Dnup(v) für alle v є e und n = 0, …, r nur wenn folgendes gilt cnjk = ∑ cv,k+µ,j+KBnvµK(v4), j+k = d-n n = 0, …, r. ~ ~ i+j+k=d ~ ~ ~ i+j+k=d ~ ~ ~ ~ v+µ+K=n

9. Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit Dies bedeutet, dass für Stetigkeit, also für n = 0, folgendes gilt: c0jk = c0,k,j , j+k = d Für stetige Differenzierbarkeit, also für n = 1, muss folgendes gelten: c1jk = b1c1,k,j + b2c1,k+1,j + b3c1,k,j+1 , j+k = d-1 Veranschaulichung für d = 3: Für n = 0 stimmen die Koeffizienten von T mit den Koeffizienten von T auf der gemeinsamen Kante e überein ~ ~ c300 T c210 c201 Abb. 11: Stetigkeit von T und T auf e ~ c120 ~ c111 c102 c030 c021 c012 c003 ~ ~ ~ c003 ~ c030 c012 c021 ~ ~ c102 c120 ~ c111 ~ ~ ~ T c201 c210 ~ c300

9. Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit c300 ~ Für n = 1 (Abb. 12) stehen die c1jk von T in einer linearen Beziehung zu jeweils 3 Koeffizienten von T, d.h. sie liegen in einer Ebene Abb. 12: stetige Differenzier- barkeit von T und T auf e T ~ c210 c201 ~ c120 c111 c102 c030 c021 c012 c003 ~ ~ ~ c003 ~ c030 c012 c021 ~ ~ c201 c120 ~ c111 ~ ~ ~ c102 c210 c300 T ~ c300 T c210 c201 Abb. 13: 2-fache stetige Differenzierbar- keit von T und T auf e c120 c111 ~ c102 ~ Für n = 2 (Abb. 13) stehen die c2jk von T in einer quadratischen Beziehung zu jeweils 6 Koeffizienten von T c030 c021 c012 c003 ~ ~ ~ ~ ~ c003 c030 c012 c021 ~ ~ c102 c120 ~ c111 ~ ~ T ~ c201 c210 ~ c300

9. Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit Gegeben sei eine Triangulierung der Dreiecke T1, T2, T3, T4, T5 mit Polynomen p1, p2, p3, p4, p5 und einem gemeinsamen Punkt v. Nur die Koeffizienten von T1 mit den schwarzen Punkten seien bekannt und die restlichen Koeffizienten (weiße Punkte) seien unbekannt. Außerdem seien die Polynome am Punkt v 2-mal stetig Differenzierbar. Dann lassen sich die Koeffizienten, die sich auf und innerhalb der Scheibe DT2(v) befinden, anhand der bekannten Koeffizienten bestimmen. T1 T2 T5 v T3 T4 Abb. 14: Triangulierung von T1, T2, T3, T4, T5

9. Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit Lemma 9.2: Seien p und p Polynome auf den Dreiecken T und T mit Cr (r-fache stetige Differenzierbarkeit) auf einer gemeinsamen Kante e := <v2, v3> und sei 0 ≤ ℓ+1 ≤ q, q sowie q+q-ℓ≤ m ≤ d. Außerdem seien die Knoten v1, v2 und v4 nicht kollinear und die Koeffizienten cijk und cijk der Polynome p und p korrespondieren mit den BB-Punkten in DTm-1(v2) ∪ DTm-1(v2). Zusätzlich seien die Koeffizienten von p und p auf dem Ring Rm(v2) innerhalb des Abstands q+q-ℓ von e, außer den Koeffzienten cv = cv,d-m,m-v, v = ℓ+1, …, q cv = cv,m-v,d-m, v = ℓ+1, …, q bekannt. Dann sind diese Koeffizienten eindeutig bestimmt durch die Cr –Bedingungen cn,m-n,d-m = ∑ ci,j+d-m,k+m-nBnijk(v4), ℓ+1 ≤ n ≤ q+q-ℓ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ i+j+k=n

9. Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit v1 v3 v4 Beispiel: Sei d = 10, m = r = 8, q = 2, q = 4, ℓ = 0 Abbildung 13 zeigt die Koeffizienten der zwei zusammengefügten Dreiecke. Wir nehmen an, dass wir alle mit einem Kreis markierten Koeffizienten kennen und nur die 6 Koeffizienten, die mit einem blauen Viereck markiert sind, unbekannt sind. ~ v2 Abb. 15: Anwendung des Lemma 9.2

9. Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit Um die 6 unbekannten Koeffizienten zu bestimmen, benötigen wir 6 Gleichungen. Da p und p am Punkt v2 8-mal stetig differenzierbar ist und diese 6 Koeffizienten auf dem Ring R8(v2) liegen, lassen sich diese durch die 6 Bedingungen C1, …, C6 bestimmen. Beachte, dass nicht alle Koeffizienten zur Berechnung benötigt werden, sondern nur diejenigen, die in den 6 Bedingungen vorkommen (schwarz markierte Punkte) v1 v3 v4 Abb. 15: Anwendung des Lemma 9.2 ~ v2

9. Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit v1 Die 6 stetige Differenzierbarkeits- Bedingungen: C1 C2 C3 C4 C5 C6 v3 v2 v4 Abb. 15: Anwendung des Lemma 9.2

10. Unterteilung/Basiswechsel Sei p ein Polynom in BB-Darstellung bzgl. eines Dreiecks T mit den Eckpunkten v1, v2, v3. Dann unterteilt ein beliebiger Punkt w im inneren von T das Dreieck T in die drei Teildreiecke T1 := <w, v2, v3>, T2 := <w, v3, v1>, T3 := <w, v1, v2>, Der folgende Satz sagt unter anderem aus, dass die Basen der Teildreiecke T1, T2, T3 ebenfalls Basen des Polynomraums Pd sind. Dadurch lässt sich ein Basiswechsel durchführen

10. Unterteilung/Basiswechsel Satz 10.1: Gegeben sei das Dreieck T mit den Teildreiecken T1, T2, T3, wie oben beschrieben. Der Punkt w hat die baryzentrischen Koordinaten a := (a1, a2, a3) und für ℓ = 1, 2, 3 seien BTℓ,dijk die Bernstein Basis Polynome bzgl. Tℓ := <w, vℓ+1, vℓ+2>. Dann gilt für beliebige Polynome p mit BB-Koeffizienten ∑ c(i)0jk BT1,dijk(v), v є T1 p(v) = ∑ c(j)i0k BT2,dijk(v), v є T2 ∑ c(k)iij0 BT3,dijk(v), v є T3 wobei c(v)ijk := c(v)ijk(a) die Koeffizienten aus dem v-ten Schritt des deCasteljau Algorithmus, basierend auf dem Tripel a, sind und der Startwert c(0)ijk := cijk ist. i+j+k = d i+j+k = d i+j+k = d

10. Unterteilung/Basiswechsel Veranschaulichung für d = 2: Der Koeffizient c(2)000 korrespondiert hierbei mit dem Punkt w. Man erkennt durch abzählen der Koeffizienten, dass die Dimension der Teildreiecken (= 6) mit der Dimension von T (= 6) übereinstimmt. T3 T2 T1 Abb. 16: Koeffizienten der Teildreiecke

Literaturverzeichnis Lai, M. J.; Schumaker, L.L. (2007): Spline functions on triangulations, 18-61. Cambridge Univ. Press.

Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit!