Informatik II, SS 2008 Algorithmen und Datenstrukturen Vorlesung 2 Prof. Dr. Thomas Ottmann Algorithmen & Datenstrukturen, Institut für Informatik Fakultät für Angewandte Wissenschaften Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Formale Eigenschaften von Programmen

Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann2 Lernziele Algorithmen für wichtige Probleme : Sortieren, Suchen, Wörterbuch-Problem, Berechnung kürzester Pfade,... Datenstrukturen : Listen, Stapel, Schlangen, Bäume, Hash-Tabellen,... Problemlösetechniken : Divide-and-Conquer, Greedy, vollständige Aufzählung, Backtracking,... Ziele: Finden effizienter Algorithmen für Instanzen von Problemen aus einem gegebenen Bereich Fähigkeit zur Beurteilung von Algorithmen aufgrund präziser Kriterien (Korrektheit, Effizienz)

Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann3 Sprache zur Formulierung von Algorithmen Natürliche Sprache, Flussdiagramme, Programmiersprache (Java, C,...) Pseudocode Analyse von Algorithmen und Programmen Tut der Algorithmus das, was er soll? Nutzt der Algorithmus die Ressourcen effizient? Mathematisches Instrumentarium zur Messung der Komplexität (Zeit- und Platzbedarf): Groß-O-Kalkül (Landausche Symbole) Beschreibung und Analyse von Algorithmen

Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann4 Formale Eigenschaften von Algorithmen Korrektheit Effizienz Fragen : Wie beweist man die Korrektheit ? Programmverifikation Testen Wie misst man die Effizienz von Algorithmen ? Implementation und Test für repräsentative Beispiele Platz- und Zeitbedarf auf Real RAM Bestimmung signifikanter Parameter

Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann5 Korrektheit partielle : Wenn der Algorithmus hält, dann liefert er das gewünschte Resultat totale : Algorithmus hält und liefert das gewünschte Ergebnis Vorbedingung (Eingabe-Bedingung) : Spezifiziert den Zustand vor Ausführung eines Algorithmus Nachbedingung (Ausgabe-Bedingung) : Spezifiziert den Zustand nach Ausführung des Algorithmus {P} S {Q} Beispiel : { ? } x = y + 23 { x > 0 } Hoare Kalkül

Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann6 Grundbausteine imperativer Sprachen Sprachkonstrukte spiegeln die Von Neumann Rechnerarchitektur wieder. Variablen sind symbolische Namen für Speicherplätze. Anweisungen: Zuweisung: x = t Komposition: S 1 ; S 2 Selektion: if B then S 1 else S 2 Iteration: while B do S Hoare Kalkül: Dient zum Nachweis der partiellen Korrektheit von Programmen, d.h. von Aussagen der Form {P} S {Q}

Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann7 Beweisregeln Wenn aus wahren Aussagen A 1, …, A n folgt, dass auch die Aussage A wahr ist, notiert man das in der Form: A 1, …, A n A Die zu verifizierenden Aussagen sind die Hoare-Tripel der Form {P} S {Q}.

Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann8 Zuweisungsaxiom {P[x/t]} x = t {P} P[x/t] bedeutet, dass in der Aussage P jedes Vorkommen von x durch den Term t ersetzt wird. Beispiele: {x+1 > a} x = x+1 {x > a} x = y + 23 {x < 0}

Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann9 Komposition und Selektion Komposition {P} S 1 {Q}, {Q} S 2 {R} {P} S 1 ; S 2 {R} Selektion {P und B} S 1 {R} {P und nicht B} S 2 {R} {P} if B then S 1 else S 2 {R}

Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann10 Beispiel zur Komposition Komposition {P} S 1 {Q}, {Q} S 2 {R} {P} S 1 ; S 2 {R} {x + 1 = 43} y = x + 1; {y = 43} z = y {z = 43}

Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann11 Beispiel zur Komposition Komposition {P} S 1 {Q}, {Q} S 2 {R} {P} S 1 ; S 2 {R} {x = y (q+1) + r – y} r = r – y; {x = y (q+1) + r} q = q + 1 {x = y q + r}

Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann12 Iteration P impliziert I, {I und B} S {I}, (I und nicht B) impliziert Q {P} while B do S {Q} Die in dieser Regel auftretende Aussage I heißt Schleifeninvariante. Das Finden geeigneter Schleifeninvarianten ist i.a. algorithmisch unlösbar! Daher empfiehlt es sich, Schleifeninvarianten als Kommentare (Assertions) an den entsprechenden Stellen in Programme einzufügen

Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann13 Abschwächung und Verstärkung Abschwächung {P} {P´}, {P´} S {Q} {P} S {Q} Verstärkung {P} S {Q´}, {Q´} {Q}, {P} S {Q}

Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann14 Beispiel eines (formalen) Korrektheitsbeweises Algorithmus Mult(x,y) Eingabe : Ein Paar x,y von natürlichen Zahlen Ausgabe : Das Produkt von x und y Methode : z = 0 ; while (y>0) do { if (y ist gerade) then {y = y/2; x = x+x} else /* y ist ungerade */ {y = y-1; z = z+x} } return z;

Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann15 Implementation in Java class Mult { public static void main ( String [] args ) { int x = new Integer (args[0]).IntValue(); int y = new Integer (args[1]).IntValue(); System.out.println (Das Produkt von +x+ und +y+ ist +mult(x,y)); public static int mult (int x, int y) { int z = 0; while (y>0) if (y % 2 == 0) { y = y / 2; x = x+x ;} else { y = y-1; z = z+x; } return z; } }

Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann16 Nachweis der totalen Korrektheit Beh. (1) Für jedes Paar a,b von natürlichen Zahlen gilt: Mult(a,b) hält nach endlich vielen Schritten. Beh. (2) Sind a und b natürliche Zahlen, dann liefert Mult(a,b) den Wert z = a * b. int z = 0; while (y>0) if (y % 2 == 0) { y = y / 2; x = x+x ;} else { y = y-1; z = z+x; }

Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann17 Schleifeninvariante Schleifeninvariante I: y 0 und z + x y = a b Beh. 2.1: I gilt vor erstmaliger Ausführung der while-Schleife Beh. 2.2: I bleibt bei einmaliger Ausführung des Rumpfs der while-Schleife richtig. int z = 0; while (y>0) if (y % 2 == 0) { y = y / 2; x = x+x ;} else { y = y-1; z = z+x; }

Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann * xyz# Iterationen Durchführung von Mult(x,y) an einem Beispiel

Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann19 Weiteres Beispiel {n 0} i = 0; k = -1; y = 0; while i < n do i = i + 1; k = k + 2; y = y + k {y = n 2 } Schleifeninvariante: (k = 2i -1) und (y = i 2 ) und (i n)