Das Maßproblem von Klee Jörg Bruder Benjamin Drayer Joachim Krempel Daniel Schüssele

Übersicht Problem 1-dimensional Problem 2-dimensional Scanline (Bentley) Naive Lösung Segmentbaum Lösung Problem d-dimensional

Das eindimensionale Maßproblem Gegeben: n Intervalle auf einer Geraden.

Das eindimensionale Maßproblem Gegeben: n Intervalle auf einer Geraden.

Das eindimensionale Maßproblem Gegeben: n Intervalle auf einer Geraden. Gesucht: Länge der Vereinigung über alle n Intervalle

Das eindimensionale Maßproblem Gegeben: n Intervalle auf einer Geraden. Gesucht: Länge der Vereinigung über alle n Intervalle

Das eindimensionale Maßproblem Gegeben: n Intervalle auf einer Geraden. Gesucht: Länge der Vereinigung über alle n Intervalle Platzbedarf: O(n)

Das eindimensionale Maßproblem Gegeben: n Intervalle auf einer Geraden. Gesucht: Länge der Vereinigung über alle n Intervalle Platzbedarf: O(n) Zeitkomplexität: O(n log(n))

Das zweidimensionale Maßproblem

Das zweidimensionale Maßproblem Gegeben: n Rechtecke

Das zweidimensionale Maßproblem Gegeben: n Rechtecke Gesucht: Die von den Rechtecken überdeckte Fläche

Scanline Speicherung der Rechtecke Scanline Berechnung der Fläche

Speicherung der Rechtecke q = (x-low, x-high, y-low, y-high)

Scanline Sortiere x-Werte aufsteigend Verschmelze gleiche x-Werte Analog y-Werte Speichere die v als Listen bei den u

Scanline

Scanline

Scanline

Scanline

Berechnung der Fläche

Berechnung der Fläche m(i)=Maß der aktiven Segmente

Naiver Ansatz Verwende die Scanline Berechne m(i) als eindimensionales Maßproblem Achtung: Worstcaselaufzeit

Segmentbaum Idee Blätter q-voll, q-partiell 1-Umbrella count(x) Delta(x) Einfügen Löschen Gesamtalgorithmus

Segmentbaum Idee Blätter q-voll, q-partiell 1-Umbrella count(x) Delta(x) Einfügen Löschen Gesamtalgorithmus

Idee Speichere nicht die Fragmente aus denen ein Segment besteht sondern markiere bestimmte Knoten. Der Unterbaum, der von jedem Knoten ausgeht überdeckt gewisse Segmente. Das Maß der aktiven Segmente soll in den Knoten gespeichert werden. Wenn dies realisiert ist, dann kann man an der Wurzel des Baumes das Gesammtmaß für die gerade aktiven Segmente ablesen.

Segmentbaum Idee Blätter q-voll, q-partiell 1-Umbrella count(x) Delta(x) Einfügen Löschen Gesamtlgorithmus

Blätter Speichere alle y-Werte bis auf und doppelt, da sie einmal als Anfang und einmal als Ende eines Segments auftreten.

Segmentbaum Idee Blätter q-voll, q-partiell 1-Umbrella count(x) Delta(x) Einfügen Löschen Gesamtlgorithmus

q-voll, q-partiell Knoten A ist q-voll, wenn das Segment von A ganz in q liegt

q-voll, q-partiell Knoten A ist q-partiell, wenn A nicht q-voll ist aber einen Sohn hat, der q-voll oder q-partiell ist.

Segmentbaum Idee Blätter q-voll, q-partiell 1-Umbrella count(x) Delta(x) Einfügen Löschen Gesamtalgorithmus

1-Umbrella Konstrukt um Infomationen effizient in den Knoten zu halten 1-Umbrella für Segment q: -Tip t

1-Umbrella Konstrukt um Infomationen effizient in den Knoten zu halten 1-Umbrella für Segment q: -Tip t - high-line, low-line, high-tip, low-tip

1-Umbrella Konstrukt um Infomationen effizient in den Knoten zu halten 1-Umbrella für Segment q: -Tip t - high-line, low-line, high-tip, low-tip - q-volle Knoten an der high- oder low-line

1-Umbrella Konstrukt um Infomationen effizient in den Knoten zu halten 1-Umbrella für Segment q: -Tip t - high-line, low-line, high-tip, low-tip - q-volle Knoten an der high- oder low-line Analyse:

1-Umbrella Konstrukt um Infomationen effizient in den Knoten zu halten 1-Umbrella für Segment q: -Tip t - high-line, low-line, high-tip, low-tip - q-volle Knoten an der high- oder low-line Analyse: - O(log(n)) Knoten

1-Umbrella Konstrukt um Infomationen effizient in den Knoten zu halten 1-Umbrella für Segment q: -Tip t - high-line, low-line, high-tip, low-tip - q-volle Knoten an der high- oder low-line Analyse: - O(log(n)) Knoten - O(log(n)) Zeit

Segmentbaum Idee Blätter q-voll, q-partiell 1-Umbrella count(x) Delta(x) Einfügen Löschen Gesamtalgorithmus

count(x) Idee war das Maß in den Knoten zu speichern nicht die Umbellas Gefahr: Das Maß soll sich nur erhöhen, wenn ein noch nicht ganz enthaltenes Segment eingefügt wird Gefahr: Beim Löschen muß berücksichtigt werden ob es noch andere Segmente gibt, die das gelöschte Intervall überdecken Lösung: Zusatzinformation in den Knoten

count(x) Informationen in den Knoten Speichere im Knoten x das aktuelle Maß val(x) Speichere im Knoten x, wie oft x als q-voller Knoten in einem 1-Umbrella vorkommt als count(x)

Segmentbaum Idee Blätter q-voll, q-partiell 1-Umbrella count(x) Delta(x) Einfügen Löschen Gesamtalgorithmus

Delta(x) Aktualisiert val(x) und count(x) im Knoten x, wenn ein Segment eingefügt wird und gibt Änderung zurück Fall 1: Fall 2: - count(x)++ - Änderung=Segmentgröße - val(x) - val(x)=Segmentgröße - count(x)++ - Änderung=0 - val(x) bleibt

Delta(x) Algorithmus: if(val(x)=Segmentgröße){ count(x)++; return 0; } else{ f=Segmetgröße-val(x); val(x)=Segmentgröße; return f; Laufzeit: O(1)

Segmentbaum Idee Blätter q-voll, q-partiell 1-Umbrella count(x) Delta(x) Einfügen Löschen Gesamtlgorithmus

Einfügen Berechnen des 1-Umbrellas Von low- und high-tip bis t mit Delta(x) updaten Bei t Informationen verschmelzen Information zur Wurzel propagieren

Einfügen Algorithmus: incr=Delta(low-tip); x=father(low-tip);

Einfügen

Einfügen

Einfügen Algorithmus: incr=Delta(low-tip); x=father(low-tip); while(x!=t){ f=0; if(x hat einen q-vollen Sohn y){ f=Delta(y); }

Einfügen

Einfügen Algorithmus: incr=Delta(low-tip); x=father(low-tip); while(x!=t){ f=0; if(x hat einen q-vollen Sohn y){ f=Delta(y); } if(val(x)=Wert des gesammten von x aufgespannten Segments){ incr=0; else{ incr=incr+f; val(x)=val(x)+incr; x=father(x);

Einfügen

Einfügen Algorithmus: incr=Delta(low-tip); x=father(low-tip); while(x!=t){ f=0; if(x hat einen q-vollen Sohn y){ f=Delta(y); } if(val(x)=Wert des gesammten von x aufgespannten Segments){ incr=0; else{ incr=incr+f; val(x)=val(x)+incr; x=father(x);

Einfügen Die Hilfsfunktion Delta(x) wird in konstanter Zeit abgearbeitet. Die Berechnung des 1-Umbrellas O(log(n)). Die Schleifendurchläufe der while-Schleife O(log(n)) Propagieren ebenfalls in O(log(n)) => Einfügen in O(log(n))

Segmentbaum Idee Blätter q-voll, q-partiell 1-Umbrella count(x) Delta(x) Einfügen Löschen Gesamtalgorithmus

Löschen Analog zum Einfügen

Segmentbaum Idee Blätter q-voll, q-partiell 1-Umbrella count(x) Delta(x) Einfügen Löschen Gesamtalgorithmus

Gesamtalgorithmus Scanline ist an Lese aktive Segmente m(i) an der Wurzel ab, berechne Fläche mit Hilfe von Lösche Segmente die inaktiv werden Füge Segmente ein, die aktiv werden Analyse: - Scanline O(n) - m(i) berechnen O(1) - Löschen/Einfügen O(log(n)) => Gesamtlaufzeit O(n log(n))

Beispiel

Beispiel x-Werte: 2<4<7<8<9<10 y-Werte: 2<3<4<5<8

Beispiel

Beispiel Füge Segement a=[4,8] ein

Beispiel

Beispiel Fläche=4(4-2)=8 Füge Segement b=[3,5] ein

Beispiel

Beispiel Fläche=5(7-4)+8=23 Entferne a=[4,8]

Beispiel

Beispiel Fläche=2(8-7)+23=25 Entferne b=[3,5]

Beispiel

Beispiel Fläche=0(9-8)+25=25 Füge c=[2,3] ein

Beispiel

Beispiel Fläche=1(10-9)+25=26 Entferne c=[2,3]

Das mehrdimensionale Maßproblem d-Dimensionen Scanlineansatz Kosten: