Auspreisen von Restriktionen Lagrange-Multiplikatoren Kuhn-Tucker-Theorem Schattenpreise

Restriktionen beschränken die Menge der wählbaren Handlungsmöglichkeiten im Entscheidungskalkül Handlungsmöglichkeiten, die zu inakzeptablen Ergebnissen führen, weil die vorhandenen Mittel nicht ausreichen, um sie durchzuführen durch Vorentscheidungen festgelegte Ziele („Targets“) nicht erreicht werden werden durch Restriktionen ausgeschlossen. Im Folgenden betrachtet: Restriktionen in Gleichungs- oder Ungleichungsform mit stetig differenzierbarer Abhängigkeit von den Entscheidungsvariablen keine explizite Berücksichtigung von Unsicherheit

Darstellung der Handlungsmöglichkeiten als lineare Aktivitäten Charakterisierung durch Einsatz und Aufkommen von Gütern in Abhängigkeit von Entscheidungsvariablen Handlungsalternativen als Kombinationen von Aktivitäten Zielbeiträge Einfluss auf Zulässigkeitsbedingungen (Restriktionen) insbesondere Güterbilanzen

Optimierung kontinuierlich variabler Aktivitätsniveaus: Lineare Optimierung Ein Gut des Plans wird als Zielgröße ausgewählt, für die übrigen sind Restriktionen einzuhalten.

Lineare Optimierung: Formale Darstellung Bezeichne aij den Koeffizienten von Gut i in Aktivität j (i = 0 bezeichne die Zielgröße) xj das Aktivitätsniveau von Aktivität j bi die Verfügbarkeitsschranke für Gut i A := (aij)i = 1,...,m; j = 1,...,n a0• := (a0j)j = 1,...,n b := (bi )i = 1,...,m

Lineares Optimierungsproblem: Beispiel Die Tiefkühlkost AG hat je eine Produktionsstätte in den Anbaugebieten SW und NO und Auslieferungslager in S und NW. Einige Daten der Produktionsstätten und Auslieferungslager: Das Management sucht nach der kostengünstigsten Lösung, den Bedarf zu bedienen.

Aktivitäten: j = 1: Produktion in SW für NW; j = 2: ... in SW für S j = 3: Produktion in NO für NW; j = 4: ... in NO für S j = 5: Einrichtung zusätzlicher Kapazität in SW; j = 6: ... in NO. Restriktionen: i = 1: Bedarf in NW; i = 2: Bedarf in S; i = 3: Kapazität in SW; i = 4: Kapazität in NO. LP-Formulierung: min {200x1 + 50x2 +100x3 + 150x4 + 125x5 + 25x6 } u.d.N. x1 + x3  5000 x2 + x4  2500 – x1 – x2 + x5  -2000 – x3 – x4 + x6  -6000 xi,  0 (alle i)

min {200 x1 + 50 x2 + 100 x3 + 150 x4 + 125 x5 + 25 x6 u.d.N. x1 + x3  5000 x2 + x4  2500 – x1 – x2 + x5  -2000 – x3 – x4 + x6  -6000 xi,  0 (alle i)

Knappheitspreise im Sensitivitätsbericht (Excel®) !!

Nichtlineare Optimierung unter Restriktionen Aufstellen der Zielfunktion F(x1,...,xn) Bewerten der Restriktionsverletzungen fi(x1,...,xn) mit einem Knappheitspreis li (i = 1,...,m) Einbeziehung der bewerteten Restriktionsverletzungen als Kosten in die Zielgröße (Lagrange-Funktion) L(x1,...,xn ,l1..., lm) : = F(x1,...,xn) - l1 f1(x1,...,xn) - ... - lm fm(x1,...,xn) Ein System von Bedingungen für Knappheitspreise und Entscheidungsvariablen ermöglicht die Bestimmung der optimalen Lösung

Ökonomische Interpretation Dem Entscheider bietet ein virtueller Partner einen bestimmten Knappheitspreis li , zu dem er fehlenden Spielraum fi(x1,...,xn) der Restriktion i kaufen und überschüssigen Spielraum -fi(x1,...,xn) verkaufen kann. Die Lagrangefunktion ist die Zielfunktion des Entscheiders in dieser Situation Der Knappheitspreis muss so gewählt werden, dass der Entscheider effektiv weder kaufen noch verkaufen will, d.h. der Preis muss null sein, wenn die Restriktion nicht bindet eine Verbesserung der Zielgröße durch Zukauf von Spielraum zum Knappheitspreis ausschließen.

Joseph-Louis Lagrange *1736 in Turin (Italien) † 1813 in Paris 1766 von Friedrich II. von Preußen als Nachfolger von Leonhard Euler nach Berlin berufen 1787 von Louis’ XVI. nach Paris berufen 1797 folgte er einem Ruf an die neu gegründete École Polytechnique in Paris, wo er bis zu seinem Tode blieb. Napoleon I. erhob ihn in den Stand eines Comte (Grafen).

Ökonomische Interpretation Der Knappheitspreis muss so gewählt werden, dass er die mit der zusätzlichen Einheit des knappen Faktors erzielbare Verbesserung des Zielfunktionswerts gerade absorbiert. Dann ist der Entscheider indifferent, ob er die zusätzliche Einheit nachfragt oder nicht. Der Knappheitspreis kann nicht negativ sein, sonst könnte der Entscheider durch Erhöhen seiner Nachfrage nach dem knappen Faktor den Wert der Lagrangefunktion beliebig erhöhen.

Optimalitätsbedingungen Problem: max {F(x1,...,xn)| fi(x1,...,xn)  0 (i = 1,...,m), x1,...,xn  0} Lagrangefunktion: L(x1,...,xn ,l1..., lm) : = F(x1,...,xn) - l1 f1(x1,...,xn) - ... - lm fm(x1,...,xn) Optimalitätsbedingungen: (Karush/Kuhn-Tucker-Bedingungen) ( bezeichnet hier die Ableitung der Funktion L nach der Variablen xj )

Geometrische Veranschaulichung I Für ein inneres Maximum gilt die übliche Optimalitäts- bedingung: Ableitung der Zielfunktion = 0

Geometrische Veranschaulichung II Bei einem Randmaximum kann die Ableitung der Zielfunktion nur negativ oder null sein; wäre sie positiv, würde eine Erhöhung von xj den Zielfunktions- wert erhöhen.

Vorsicht ! Es gibt Fälle, in denen eine optimale Lösung den genannten Bedingungen nicht genügt und Fälle, in denen eine Lösung, die den Bedingungen genügt, nicht optimal ist. Für diese Probleme muss auf mathematische Literatur verwiesen werden, z.B.: Mangasarian, Olvi L., Nonlinear Programming, New York 1969, (McGraw-Hill), Chapter 7.

Beispiel: Lagerhaltung bei beschränkter Annahmekapazität Magdeburg-Frost vertreibt von einem Auslieferungslager Tiefkühl- produkte (j = 1,..., n), die mit Tiefkühl-LKW angeliefert werden. bj Kosten einer LKW-Lieferung qj Menge je LKW-Lieferung hj Lagerkosten pro to und Jahr. fj Lieferhäufigkeit pro Jahr fj qj Jahresabsatzmenge dj Bruttogewinn je Einheit Jahresabsatz Zahl der Lieferungen pro Jahr (für alle Produkte zusammen) darf nicht größer sein als f. Jahresnachfrage Dj nach Produkt j muß befriedigt werden. Wie groß sollten Menge qj je Lieferung und Lieferhäufigkeit fj für jedes Produkt j sein ?

L( q1 ,..., qn , m) = Modellierung max q1 ,..., qn { j = 1,...,n [dj fj qj – (hj qj)/2 – fj bj] } u.d.N. fj = Dj/qj (in der Zielgröße substituieren!)  fj  f ; (Knappheitspreis: m) qj  0. Lagrangefunktion L( q1 ,..., qn , m) = j = 1,...,n [ Djdj – (hjqj )/2 – Djbj/qj ] – m  (j = 1,...,n Dj /qj – f ) Jahres- absatz Lagerkosten pro Jahr Jahres- lieferkosten n j = 1

Die Zielgröße setzt sich zusammen aus Erläuterung Die Zielgröße setzt sich zusammen aus den Erlösen: j = 1,...,n fj qj dj den Kosten der Anlieferung j = 1,...,n fj bj und den Kosten der Lagerung = durchschnittlicher Bestand  Lagerkostensatz = j = 1,...,n (hj qj)/2. Unterstellt: gleichmäßiger Lagerabgang, sofortige Anlieferung von qj , sobald Lager leer. Dann ist im langfristigen zeitlichen Durchschnitt die halbe Bestellmenge am Lager.

Lösung des Tiefkühlkost-Beispiels qi = 0 ist ausgeschlossen, die Nachfrage könnte nicht bedient werden. Also muss gelten: L( q1 ,..., qn , m) = j [ Djdj - (hjqj )/2 - Djbj/qj ] - m  (j Dj/qj - f )

Erweiterung Aufgabe: Man erweitere das vorherige Beispiel für den Fall, dass neben der Annahmebeschränkung auch noch der Lagerraum beschränkt ist. (Man nehme dazu an, dass die Lieferzeitpunkte so gewählt werden können, dass sich die Lagerraum-beschränkung nur auf den durchschnittlichen Lagerbestand auswirkt. Ihr Modell sollte den unterschiedlichen Lagerraumbedarf der Produkte je Werteinheit berücksichtigen.)