Die Binomialverteilung

Zitat: „Wie viel No-Shows es weltweit gibt, ist nicht bekannt Zitat: „Wie viel No-Shows es weltweit gibt, ist nicht bekannt. Aber es müssen viele Millionen sein, denn allein bei der Lufthansa erschienen 2006 rund 4,7 Millionen Passagiere nicht auf ihren gebuchten Flügen, das sind circa 8,2 Prozent aller gebuchten Gäste und entspricht 12 700 leeren Jumbos.“ Aufgabe: Nutzen Sie diese Vorlage für den Unterricht zum Thema Binomialverteilung. Setzen Sie die Kenntnis der Binomialverteilung voraus und legen Sie den Schwerpunkt auf den Aspekt Modellbildung und Interpretation der Ergebnisse.

Modellbildung • Information: Die Lufthansa weiß aus Erfahrung, dass 8,2% der gebuchten Gäste nicht zum Flug erscheinen. • Modellannahme: Jeder der n Kunden, die einen Flug gebucht haben, tritt den Flug unabhängig von den anderen Kunden mit Wahrscheinlichkeit p = 0,918 an. Das heißt auch, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,082 ein Kunde seinen Flug nicht antritt bzw. zum Abflug nicht da ist. Ausnahmen wären z.B.: - Geschäftsleute, die immer kurzfristig buchen und dann nicht erscheinen - Familien, die krank sind und daher nicht kommen können

Modellierung der Variablen: Bei der Modellierung handelt es sich um die Binomialverteilung. Sei Xn = Anzahl der Stornierungen bei n Buchungen (= „No Shows“) Xn ~ Bin(n, 0,082) Wir betrachten ein Flugzeug mit 120 Sitzen. E(X) = n * p = 120 * 0,082 = 9,84 ~ 9 Stornierung bei 100 Flugbuchungen werden erwartet. • Um die Flugzeuge besser auszulasten, bietet die Fluggesellschaft stets mehr Plätze als verfügbar zum Verkauf an. Da auch diese Plätze alle im Voraus gebucht werden, geht die Fluggesellschaft damit das Risiko einer Überbuchung ein.  Anhand dieser Modellierung können nun verschiedene Aufgaben betrachtet werden!

Aufgaben: a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass - genau 115 Passagiere - höchstens 115 Passagiere - mindestens 117 Passagiere tatsächlich zum Abflug erscheinen? Weiterer Typ: b) Bei einem Flug erscheinen laut Lufthansa 91,8% der Passagiere im Schnitt. Daher bucht die Lufthansa ihre Flugzeuge, die 120 Sitzen haben, mit 129 Passagieren. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird es zu Komplikationen kommen? c) Weitere Variation: (Gewinne und Verluste der Fluggesellschaft)

Interpretation der Ergebnisse • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es entweder: a) es zu Überbuchungen kommt?  sind die Wahrscheinlichkeiten gering/ groß, was kannst du damit über das Zitat des Focus sagen! b) nicht alle Fluggäste zum Flug erscheinen? c) die Fluggesellschaft mit Verlusten/Gewinnen rechnen kann?  was kannst du mit Hilfe dieser Ergebnisse zu den Risiken von Fluggesellschaften sagen, wenn sie Überbuchungen tätigen?

Ergebnisse: a) X = Anzahl der Stornierungen bei n Buchungen Ergebnisse: a) X = Anzahl der Stornierungen bei n Buchungen . P(X = 5) = Bin (120; 0,082; 5)  0,0377  3,8%  P(X  5) =  Bin~(120; 0.082; k)  0,0652  6,5% P(X  3) = 1 – P(X  2) =  Bin~(120; 0,082, k)  0,9976  99,76%  aufgrund der geringen Wahrscheinlichkeiten, lässt sich vielleicht nachvollziehen, warum die Fluggesellschaften ihre Flüge stets überbuchen! b) X = Anzahl der gebuchten Passagiere gesucht: P(X > 120) = X ~ Bin(129; 0,918)  0,416  die Fälle lassen sich auch auf das Focus-Beispiel mit n=370 übertragen.

c) Verlust / Gewinn der Fluggesellschaft • Pro gebuchtem Flug verdient die Lufthansa 200€. • Pro storniertem Flug verdient die Lufthansa 100 €. • Pro Überbuchung hat die Lufthansa einen Verlust von 300 €. Nutze diese Werte: - um den zu erwartenden Gewinn für Aufgabe a) zu berechnen. - um den Verlust für die Lufthansa bei Aufgabe b) zu berechnen.  als Ausblick könnte man dann eine Formel aufstellen für die maximale Gewinnerwatung der Fluggesellschaften