Resource-Bounded Reasoning about Knowledge On Epistemic Foundations of Intelligent Agents Ho Ngoc Duc

Überblick Intelligente Agenten Wissen und Handlung Explizites Wissen Algorithmisches Wissen Ausblick

Intelligente Agenten „Agent“: nützliche Abstraktion für Konzeptualisierung verschiedener Bereiche Agenten als intentionale Systeme Modellierung mit Hilfe mentalistischer Begriffe: Belief, Desire, Intention, Obligation Zusammenspiel zwischen Handlung und Wissen/Ziel/Intention Am wichtigsten: epistemische Begriffe

Agententheorien In allen wichtigen Ansätzen in der (D)AI Forschung: Wissen als Grundbegriff In der Regel: Modalsysteme Moore, Cohen & Levesque, Rao & Georgeff, Shoham, Singh, Meyer et.al.: KD45, S4, S5 Andere Begriffe reduzierbar / gleiche Logik Logische Allwissenheit (Logical omniscience problem, LOP), Seiteneffekt-Problem

Probleme des Modalansatzes Modallogik nicht geeignet: nur implizites Wissen. Nur explizites Wissen kann Handlung begründen: Deduktive Wissensbasen Optimale Tour (TSP) Primzahl-Faktorisierung Optimale (Gewinn-)Strategie in Schach Ressourcenbeschränkte Agenten (resource-bounded agents): Agenten verfügen grundsätzlich nur über begrenzte Ressourcen

Alternativen zu modalen Systemen Schwächere Kalküle als normale Modallogiken, schwächere Abgeschlossenheitsbedingungen (sonst keine Logik!) Semantisch: Montague-Sem., unmögliche Welten Syntaktisch: unvollständige Deduktionssysteme Wann ist ein Schluß plausible? Kein Nutzen für Agententheorien: entweder immer noch zu stark, also nicht explizites Wissen, oder zu schwach, dann irrationale Agenten

Was läuft schief? Lösung des LOP liefert nicht automatisch ein Modell für expilizites Wissen Ressourcenbeschränktheit: nicht Ungültigkeit bestimmter logischer Schlußregeln, sondern: die Häufigkeit ihrer Anwendung ist beschränkt Nichtwissen nicht wegen Unkenntnis der Logik, sondern wegen fehlender Ressourcen (wenn er genug Zeit hätte...)

Meine Ziele Framework für ressourcenbeschränktes Schliessen Beziehung Wissen / Ressourcen Primär: Solide epistemische Grundlage für Theorien rationaler Agenten. Nebenergebnis: intuitive Lösung des LOP: Nichtwissen von logischen Konsequenzen wegen fehlender Ressourcen, trotzdem rational

Explizites Wissen Explizite Modellierung des Schliessens Idee: alle Prämissen einer Schlußregel und Anwendung der Regel, dann Konklusion Annahme: (R) p1...  pn  q Modalansatz: Kp1...  Kpn  Kq Realistisch: Kp1...  Kpn <R>Kq Bsp. Modus ponens: Kp  K(p  q)  <MP>Kq Bsp. Axiom: <Ax>K(~(p  ~p))

Dynamische epistemische Logik Gültige Regel – Atomare Aktion Komplexe Aktionen der dynamischen Logik: R1;R2, R1R2, R* Formeln: [R]Kp, <R>Kp (der Agent weiß p in allen/in einigen Zuständen nach der Ausführung der Aktion R) Höhere Abstraktion: Hilfsaktion F=(R1 ... Rn)+ (ein „Denkvorgang“) – „ Agent weiß nach einigen Denkschriten, daß p“: <F>Kp

Dynamisch-epistemische Axiome Kp  K(p  q)  <F>Kq <F>Kp, wobei p Tautologie Nicht-Vergessen: Kp [F]Kp, p persistent Ferner: K4 für <F> (S4: unechte Denkhandlung) Intendierte Semantik: Baumstruktur. Übergang zwischen 2 Informationszuständen (Knoten) durch Denkhandlung. <F>[F]p [F]<F>p interessant (Konfluenz)

Eigenschaften der D-E Systeme Konsistenz Adäquate Respräsentation vom expliziten Wissen Alle Formen des LOP gelöst. Unter keiner logischen Schlußregel ist Wissen abgeschlossen. Agenten trotzdem rational: wenn p  q gültig, dann auch Kp  <F>Kq Mit Konfluenz: Eingeschränkte Korrespondenz: <F>Kp is D-E-Theorem gdw Kp ist M-E-Theorem

Explizites Wissen nicht genug Quantitative Constraints: keine WANN Angabe Unterscheidung einfache / komplexe Folgerung Zu restriktiv: Wissen, das innerhalb von 1 h gewonnen werden kann, kann auch Handlungen begründen Stärkere Beziehungen zwischen epist. Aussagen: wenn q aus p folgt, kann aus Kp nur <F>Kq gewonnen werden (in irgendeiner Historie...). Wir brauchen: in der realen Historie, 1 h von nun

Quantifizierung von Ressourcen Naheliegend: Ktp  Kt+1q, wenn q in einem Schritt aus p herleitbar Schwachpunkt: unendlich viele Konsequenzen in einem einzigen Schritt, sehr lange Iteration, q nicht zuverlässig herleitbar wenn nötig Andere Möglichkeit: nicht spezifizierte Quantität von Ressourcen angenommen. Wissen = positive Antwort, bevor alles verbraucht Zu vage, kein objektives Kriterium

Algorithmisches Wissen: Motivation Schachspieler hat noch keine Gewinnstrategie, kann sie innerhalb von 5 min berechnen, hat 10 min für nächsten Zug Internet-Einkauf: verschlüsselte Nummer, mit Privatschlüssel: 1 s, Abhörer mit öffentlichem Schlüssel: Millionen Jahre Was kann ich zuverlässig innerhalb 1h berechnen? K50p: „Wenn mit Frage p? konfrontiert, liefert zuverlässig Anwort innerhalb von 50 s“

Beispiel Abkürzung: Dnp := (p  Knp)&(~p  Kn~p) Atomare Aussagen: Pn, n natürliche Zahl Axiome: AL, {Pn|n Primzahl},{~Pn|n keine Primzahl}. Also: Theorie d. Primzahlen Komplexität: f(n)=n½*||n||2 Interessante epistemische Aussagen: Df(n)Pn, Df(i)q, Kb||n||Da||n||Pn, Ka||n||Kb||n||Daf(n)Pn

Sprache für Algorithmisches Wissen Zunächst die Ressource Zeit Syntax: Basissprache, erweitert um Operatoren Kn Knp besagt: (1) p folgt aus der Gesamtheit dessen was Agent weiß; (2) Agent hat einen Algorithmus, um diese Beziehung herzustellen und kann diesen bei Anfrage p wählen; (3) Stop nach n Schritten Es gibt Algorithmen mit unbekannter Komplexität und Aufzählungsalgorithmen. Deshalb: K. Bedeutung: (3‘) Stop irgendwann

Axiome für Algorithmisches Wissen System K für K (gleiche Logik wie Modalsystem. Interpretation anders, andere Begründung) Einbettungsresultat Knp Kp, Knp Kmp, wenn n<m Df(p)p, Kb||p||Daf(p)p, (Kx||p||)*Daf(p)p wenn p zu einer Teilsprache gehört, die entscheidbar ist mit Komplexität f Wenn untere Grenze bekannt: negatives Wissen ~Kg(p)p (erst recht wenn p kein implizites Wissen)

Logik des Algorithmischen Wissens Es gibt nicht „die“ Logik des algorithm. Wissens Meta-Regel zur Modellierung des Wissens über bestimmte Weltausschnitte Wenn Algorithmen für Teilbereich anwendbar, dann können epistemische Aussagen angenommen werden Neutral gegenüber Komplexitätsmaßen

Anwendungsbeispiel RSA Public-Key Kryptographie Grundlage: Wissen über Primzahlen. Großer Unterschied zwischen dem Wissen, daß p (k)eine Primzahl ist und der Kenntnis einer Faktorisierung Kpt(n)x,y(n=x*y & x>1 & y>1) x,yKfr(n)(n=x*y & x>1 & y>1) ~x,yK100...00(n=x*y & x>1 & y>1) (100...00: Ablauf d. Gültigkeit / Nützlichkeit d. Information)

Semantik Evaluierung von Wissensaussagen nur mit Hilfe algebraischer Eigentschaften der Modelle à la Mögliche-Welten kaum möglich. Computationale Semantik: Abbildung Formeln der Sprache auf Algorithmen, Knp wahr gdw ein Algorithmus für p existiert und n Schritte verlangt Scheint viel versprechender. Verlangt mehr Verständnis der Algorithmen

Ausblick Wissen & probabilistische Algorithmen: n ist „probably prime“ mit Wahrscheinlichkeit 1-2-20 wenn n den Rabin-Test 10 mal besteht. Nicht: Pn ist zu 99,99...% wahr, sondern epistemische Aussage (p ist entweder eine Primzahl oder nicht) Wie ändern sich Denkkapazitäten über Zeit? Kann aus Ktnp auf Kt+1np geschlossen werden? Anwendung in der Spieltheorie

Weitere Beispiele AL-Sprache mit Operator T und zus. Axiomen: {Tp|p Tautologie}, {~Tp|p keine Tautologie} Alle Queries Tp entscheidbar in Zeit 2||p|| TSP: n Punkte aus einer Menge. 2 Prädikate (oder Operatoren) Opt und NearOpt. Epistem. Axiome: Kn!Opt(...), Kn*||n||NearOpt(...)

Ausblick 2 Technische Untersuchung: kein Schwerpunkt. Zuerst: Begriffe einführen, Intuitionen erläutern, Anwendungsbeispiele (warum nicht vorhandene?) Vollständigkeit nur mit formaler Semantik Komplexität: abhängig von Algorithmen zur Berechnung des Wissens. Verhältnis offen.

Ressource-Boundedness Allgemein: Problemlösung mit begrenzten Mitteln Speziell: Denkprobleme. Was kann man wissen? Was folgt aus vorhandenem Wissen unter R-B? Bisherige Ansätze: Regeln unzulässig; Beweise der Länge <5; endliche Automaten. Alle: willkürliche Einschränkung der Rationalität Mein Ansatz: Ressourcenraum (Nk,). Jede Dimension ein Typ von relevanten Ressourcen (Zeit, Gedächnis, Bandbreite)

Prädikatenlogik Straightforward: ganz allgemein logische Folgebeziehung. Was sind die stärksten epist. Aussagen über log. Konsequenzen d. Wissens? Keine wesentl. Einsichten zum Wissensbegriff Viel stärkere Ausdruckfähigkeit: Wissen-was Kpt(n)x,y(n=x*y & x>1 & y>1) (...dass n prim) x,yKfr(n)(n=x*y & x>1 & y>1) (eine Faktorisierg) pt(n)<<fr(n): Public-Key Kryptographie