Algorithmen für das Erfüllbarkeitsproblem SAT aus einem Vortrag von Melanie Schmidt Uni Dortmund

Das Erfüllbarkeitsproblem K-KNF-SAT Variablen x1,x2,x3,x4,x5,x6 n = Anzahl der Variablen = 6 ( x3  ¬x2  x5 ) ( ¬x1 ) ( x1  ¬x2  x3  ¬x4  x6 ) Klausel  Problem für 5-SAT

Das Erfüllbarkeitsproblem K-KNF-SAT Also: Gegeben ist eine Menge von Klauseln mit jeweils bis zu k Literalen Eine Klausel hat die Form (u1  u2  …  ul), l  k, wobei ui {x1,…,xn}  {¬x1,…,¬xn} Gesucht: Eine Belegung der Variablen x1,… ,xn mit Wahrheitswerten  {0, 1}, so dass die Auswertung der Formel 1 ergibt.

Algorithmus in polynomieller Zeit 2-SAT Algorithmus in polynomieller Zeit

2-SAT Algorithmus (a) = (a  a) (a  b) = (¬a  b) (a  b) = (¬b  a) (¬x3 ¬x3)  (x2  x3)  (¬x1  ¬x2)  (x3  x1 ) (a) = (a  a) (a  b) = (¬a  b) (a  b) = (¬b  a) (¬x3)  (x2  x3)  (¬x1  ¬x2)  (x3  x1) (a  b) = (¬a  b) X1 X2 X2 X3 X3 X3 ¬X1 ¬X1 ¬X2 ¬X3 ¬X3 ¬X3

2-SAT Algorithmus Eine 2-KNF-Formel ist unerfüllbar im Graphen GF existiert ein Zyklus der Form xi … ¬xi … xi gdw.

Zyklus mit xi und ¬xi dann F unerfüllbar Annahme: Es gibt eine erfüllende Belegung a. Dann muss für a gelten, dass xi=1 und xi =0. Das ist ein Widerspruch.

F unerfüllbar dann existiert Zyklus mit xi und ¬ xi Beweis mit Induktion über n: n=1. F muss die Form (x1)  (¬x1) haben  GF hat einen Zyklus. n-1n. Wähle beliebiges x aus {x1,…,xn}. Bilde Fx=0 und Fx=1  GFx=0 und GFx=1 enthalten Zyklen mit xk und ¬xk Zeige, dass daraus folgt: GF enthält einen Zyklus mit xi und ¬xi X1 ¬X1

GF enthält einen Zyklus mit xi und ¬xi Trivial: Einer der Zyklen aus GFx=0 und GFx=1 ist auch in GF enthalten Sonst: Zeige, dass es in GF die Verbindungen ¬x  …  x und x  …  ¬x gibt es existiert ein Zyklus mit x und ¬x ¬x ¬y x y y ¬y

Pfade in GF ¬x  …  x in GF x  …  ¬x in GF F enthält (x) F enthält (x  z) GF enthält ¬x  z und ¬z  x Fx=0 enthält nur (z) der Zyklus in GFx=0 enthält ¬z  z, GF enthält ¬z  z nicht daraus folgt in GF gibt es ¬x  z  …  ¬z  x x  …  ¬x in GF Analog mit (¬x) sowie Fx=1 und GFx=1 ¬x ¬z x z z ¬z

Zyklen mit x und ¬x finden als All-Pair-Shortest-Paths– Problem mit unendlichen Kosten für nichtvorhandene Kanten für alle x überprüfen: (x,¬x) und (¬x,x) < ? Laufzeit O(n3) mit Tiefensuche in stark zusammenhängende Komponenten zerlegen O(m), m=Anzahl der Klauseln