Simulation der Streuung eines Teilchens an einem Stufenpotential ( ћ2 )‏ ∂x2 + V Zeitabhängige Schrödingergleichung:  = iћ ∂t  2m Teilchen = Wellenpaket  AB:  = C e- ( x- x0 )^2 /a eik0 ( x- x0 )‏ ziel

A ist dreidiagonale Matrix  A=L.U Crank nicolson Cranck - Nicolson Verfahren Die Ableitung ( ∂u / ∂t ) wird am Punkt (i, n+1/2) berechnet d.h. durch den Mittelwert der Ortsableitung an den Zeitpunkten n und n+1 ersetzt. A.u=f A ist dreidiagonale Matrix  A=L.U L1 0 0 0 0 0 a1 L2 0 0 0 0 0 a2 L3 0 0 0 . . . . . . 1 b1 0 0 0 0 0 1 b2 0 0 0 0 0 1 b3 0 0 . . . . . . L = U = Lösung : L.y=f U.u=y

problems Probleme: geschickte Wahl der Konstanten (Wellenpaket-Breite, Gruppengeschwindigkeit) Zerfliesen des Wellenpakets Der Zeitschritt musste sehr klein gewählt werden

Zeitintegration mit cvode Separation der SG in Realteil und Imaginärteil :  = a + ib ( V at = - ћ2 )‏ b 2m ћ ( ћ2 V )‏ bt = a 2m ћ

Vorteile von cvode Variable Schrittweite Fehlerabschätzung ... Nachteile von cvode keine komplexen Datentypen Iterationszeit nicht vorhersagbar

Auswertung Freies Teilchen Reflektion (E<V)‏ Reflektion (E>V)‏ Tunneleffekt