Agenda für heute, 13. Januar 2006 Informationssysteme: ETH-Bibliothek Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Mengendiagramme Boolesche Algebra

Vortrag von Frau E. Benninger ETH-Bibliothek Vortrag von Frau E. Benninger Grösste Bibliothek der Schweiz Schwerpunkte im Bereich des elektronischen Informationsangebotes 2/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Informationssysteme: ETH-Bibliothek Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Mengendiagramme Boolesche Algebra

Wiedergewinnung von Information: Relationale Datenbank Ursprüngliche Information Normalisieren Relationen Relationale Operatoren (Select, Project, Join) Wiedergewonnene Information 3/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Wiedergewinnung von Information: Aussagenlogik Welche Nahrungsmittel enthalten mehr als 2mg Eisen? Operation Suche Name in Nahrungsmittel mit Nährstoff_id = 57 und Menge  2 Aussage angewandt auf Tupel einer Datenbank wahr falsch 4/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Elemente der Aussagenlogik Eine Aussage hat einen Wahrheitswert ("wahr", "falsch"). Aussagen können aus Teilaussagen zusammengesetzt sein. Diese Teilaussagen sind durch logische Operatoren (Konjunktion, Disjunktion, Negation) verknüpft. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist vollständig durch die Wahrheitswerte der Teilaussagen und die Art und Weise wie diese in der Aussage verknüpft sind, gegeben. Beispiele "Es schneit" (einfach) "Rosen sind rot und Veilchen sind blau" (zusammengesetzt) "Sie ist intelligent oder lernt jede Nacht" (zusammengesetzt) "Wohin gehst Du?" (keine Aussage) 5/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Konjunktion Symbole: und, and, •,  p q p and q p und q seien Teilaussagen, w = wahr, f = falsch Der Wahrheitswert von p and q wird durch die Wahrheitstabelle der Konjunktion präzise definiert: p q p and q w w w Die erste Zeile ist eine Kurzform für: w f f "Falls p wahr ist und q wahr ist, dann f w f ist p and q wahr. f f f 6/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

AnanasYogurt and Bananen-Yogurt Beispiel AnanasYogurt and Bananen-Yogurt Ein computergesteuerter Roboter würde mir nur etwas aus dem Laden zurück bringen, wenn sowohl ein Ananas als auch ein Bananen-Yogurt findet! 7/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Disjunktion Symbole: oder, or, +,  p q p or q p und q seien Teilaussagen, w = wahr, f = falsch Der Wahrheitswert von p or q wird durch die Wahrheitstabelle der Konjunktion präzise definiert: p q p or q w w w Beachte: p or q ist nur falsch wenn w f w beide Teilaussagen falsch sind. f w w f f f 8/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

AnanasYogurt or Bananen-Yogurt Beispiel AnanasYogurt or Bananen-Yogurt Ein computergesteuerter Roboter würde mir diejenige Sorte welche vorhanden ist aus dem Laden zurück bringen, oder beide Sorten wenn beide vorhanden sind! 9/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Reihenfolge der Auswertung von Operatoren in logischen Ausdrücken: Negation Symbole: nicht, not, ¬ p sei eine (Teil)aussage, w = wahr, f = falsch Der Wahrheitswert von not p wird durch die Wahrheitstabelle der Negation präzise definiert: p not p w f f w Reihenfolge der Auswertung von Operatoren in logischen Ausdrücken: 1. NOT 2. AND 3. OR 10/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Bemerkung zur Disjunktion Umgangssprachlich bedeutet "oder" manchmal: p oder q oder beide (sie ist intelligent oder sie studiert jede Nacht) manchmal bedeutet es: p oder q aber nicht beide (sie telefoniert aus Basel oder aus Genf) "oder" in letzterem Sinn wird exklusive Disjunktion (xor) genannt. p or q ist durch die Wahrheitstabelle definiert und bedeutet immer "p oder q oder beide". 11/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Disjunktion oder exklusive Disjunktion? Genauer: drink xor drive Aber stimmt das? Genauer: drink and >1 Glas xor drive Stimmts jetzt? Genauer: drink and ≤ 1 Glas and drive or drink and > 1 Glas and not drive 12/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Logische Äquivalenzen Ein paar Spezialfälle Logische Äquivalenzen not p or not q  not ( p and q ) (de Morgan) not p and not q  not ( p or q ) Tautologie Widerspruch p or not p p and not p p not p p or not p w f w f w w p not p p and not p w f f f w f 13/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Logische Operatoren im Web: "+" und "-" Inklusion und Exklusion Anstelle der logischen Operatoren "and", "or" und "not" setzen Suchhilfen oft auch die Zeichen "+" und "-" ein. Mit dem "+"-Operator (Inklusion oder Einschluss) sagen wir, dass der nachfolgende Suchbegriff auf jeden Fall im Suchergebnis enthalten sein muss. Der "-"-Operator (Exklusion oder Ausschluss) schliesst Dokumente im Suchergebnis aus, welche den nachfolgenden Suchbegriff enthalten. Beispiel Vogelgrippe –China Es werden nur Dokumente gesucht, in denen der Begriff "China" nicht enthalten ist. 14/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Mengendiagramme Informationssysteme: ETH-Bibliothek Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Mengendiagramme Boolesche Algebra

Grafische und formale Darstellung logischer Verknüpfungen Welche Nahrungsmittel enthalten mehr als 2mg Eisen? Mengendiagramme Alle Nahrungsmittel mit Nährstoff 57 (Eisen) Namen aller Nahrungsmittel Alle Nahrungsmittel mit Menge > 2 Logischer Ausdruck Nährstoff_id = 57 AND Menge > 2 15/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Beispiele logischer Verknüpfungen Bücher über Weinanbaugebiete Bücher über Südfrankreich Bücher über Wein Alle Bücher (Grundmenge) 16/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Suche: Bücher über Weinanbaugebiete in Südfrankreich Bücher über Südfrankreich "wahr" für alle Bücher in dieser Schnittmenge Bücher über Wein Logischer Ausdruck: Weinanbau AND Südfrankreich 17/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Suche: Bücher Südfrankreich oder über Wein oder über beides Bücher über Weinanbaugebiete Bücher über Südfrankreich Bücher über Wein Logischer Ausdruck: Wein OR Südfrankreich 18/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Suche: Bücher über Südfrankreich aber nicht über Wein Bücher über Weinanbaugebiete Bücher über Südfrankreich Bücher über Wein Logischer Ausdruck: Südfrankreich AND NOT Wein 19/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Suche: Bücher über Weinanbau oder über Wein oder über beides, aber nur wenn Südfrankreich nicht vorkommt Bücher über Weinanbaugebiete Bücher über Südfrankreich Bücher über Wein Logischer Ausdruck: (Weinbau OR Wein) AND NOT Südfrankreich 20/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Wahrheitstabellen für die Analyse logischer Ausdrücke Beispiel Wir suchen Bücher über Weinanbau oder über Wein oder über beides, aber nur wenn Südfrankreich nicht vorkommt SüdFr Weinanb Wein NOT SüdFr Weinanb OR Wein (Weinanb OR Wein) AND NOT Südfr W F 21/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Boolesche Algebra Informationssysteme: ETH-Bibliothek Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Mengendiagramme Boolesche Algebra

Boolesche Algebra Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen "•" und "+" heisst Boolesche* Algebra, wenn für alle x, y, z  M gilt: (1) x • (y • z) = (x • y) • z; Assoziativ (2) x + (y + z) = (x + y) + z; Assoziativ (3) x • y = y • x; Assoziativ (4) x + y = y + x; Assoziativ (5) x • (x + y) = x; Absorption (6) x + (x • y) = x; Absorption (8) x • (y + z) = (x • y) + (x • z); Distributiv (8) x + (y • z) = (x + y) • (x + z); Distributiv * nach George Boole, englischer Mathematiker, 1815 – 1864 22/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Boolesche Algebra es gibt ein Element 0  M mit 0 • x = 0 und 0 + x = x für alle x  M ; Neutrales Element (10) es gibt ein Element 1  M mit 1 • x = x und 1 + x = x für alle x  M ; (11) zu jedem x  M existiert genau ein y  M mit x • y = 0 und x + y = 1; Komplementäres Element Wir ersetzen "wahr" mit "1" und "falsch" mit "0" und wenden die Boolesche Algebra auf logische Ausdrücke an. 23/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Vereinfachung logischer Ausdrücke am Beispiel des Yogurt Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane 1. (A • B) + (A • ¬B) + (¬A • ¬B) 2. [A • (B + ¬B)] + (¬A • ¬B) Distributivgesetz 3. (A • 1) + (¬A • ¬B) komplementäres Element bez. + 4. A + (¬A • ¬B) neutrales Element bez. • 5. (A + ¬A) • (A + ¬B) Distributivgesetz 6. 1 • (A + ¬B) komplementäres Element bez. + 7. A + ¬B neutrales Element bez. • Ananas oder keine Banane Aber . . . sind der 1. und der 7. Ausdruck auch äquivalent? 24/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Verifizierung logischer Ausdrücke 1. Ausdruck: A B ((A • B) + (A ¬B)) (¬A ¬B) 1 Schritt: 2 5 3 6 4 7. Ausdruck: A B + ¬B 1 Schritt: 2 Reihenfolge: Aussage Logischer Ausdruck (Symbole) Boolesche Algebra Ausdruck evaluieren 25/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

Wir wünschen Ihnen ein schönes Wochenende.