1. 2. Berechnen von Wahrscheinlichkeiten 1. 2. 1 1.2. Berechnen von Wahrscheinlichkeiten 1.2.1. Summen- und Komplementärregel

1.2.1. Summen- und Komplementärregel In einer Urne befinden sich Kugeln mit den Zahlen von 1 bis 20. Es sei E1 … die gezogene Zahl ist durch 4 teilbar Da jede Kugel (jedes Ergebnis) die Wahrscheinlichkeit von hat, ist die Wahrscheinlichkeit von .

1.2.1. Summen- und Komplementärregel ELEMENTARE SUMMENREGEL Betrachtet man bei einem Zufallsversuch mehrere Ergebnisse und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass eines dieser Ergebnisse eintritt, so fasst man diese Ergebnisse zu einem Ereignis zusammen. Hat ein Ereignis E die Ergebnisse a1 bis an, so gilt P (E) = P (a1) + P (a2) + … + P (an)

1.2.1. Summen- und Komplementärregel Weiterhin sei E2 … die gezogene Zahl ist durch 7 teilbar E1 und E2 haben keine gemeinsamen Elemente. Berechnet man die Wahrscheinlichkeit für (E … die gezogene Zahl ist durch 4 oder 7 teilbar), so gilt

1.2.1. Summen- und Komplementärregel Es sei E3 … die gezogene Zahl ist durch 6 teilbar E1 und E3 haben das Ergebnis „12“ gemeinsam. Berechnet man die Wahrscheinlichkeit für (E … die gezogene Zahl ist durch 4 oder 6 teilbar), so gilt

1.2.1. Summen- und Komplementärregel ALLGEMEINE SUMMENREGEL für

1.2.1. Summen- und Komplementärregel Betrachtet man E4 … die gezogene Zahl ist gerade und E5 … die gezogene Zahl ist ungerade, so schließen sich die beiden Ereignisse gegenseitig aus und es gilt . E4 ist also das Gegenereignis von E5. Deswegen ist P (E4) + P (E5) = 1

1.2.1. Summen- und Komplementärregel KOMPLEMENTÄRREGEL Wenn und ,dann gilt P (E1) + P (E2) = 1

1.2.2. Baumdiagramme

1.2.2. Baumdiagramme In einem Behälter befinden sich 5 rote und 2 blaue Kugeln. Nacheinander werden daraus drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. r Eine solche Darstellung heißt ein BAUMDIAGRAMM. r b r r b b r r b b b r

1.2.3. Abhängige und unabhängige Zufallsversuche

1.2.3. Abhängige und unabhängige Zufallsversuche Zufallsversuche können mehrfach hintereinander durchgeführt werden. Solche Zufallsversuche heißen MEHRSTUFIG. Dabei unterscheidet man UNABHÄNGIGE und ABHÄNGIGE Zufallsversuche.

1.2.3. Abhängige und unabhängige Zufallsversuche UNABHÄNGIGKEIT Bei manchen Zufallsexperimenten ist ein Versuchsergebnis unabhängig vom Ergebnis des vorher durchgeführten Experiments. Das Versuchsergebnis wird nicht beeinflusst durch das Ergebnis des vorhergehenden Experimentes. Beispiele: Werfen eines Würfels, Werfen einer Münze; Drehen eines Glücksrades, Ziehen einer Kugel mit Zurücklegen

1.2.3. Abhängige und unabhängige Zufallsversuche ABHÄNGIGKEIT Bei manchen Zufallsexperimenten ist ein Versuchsergebnis abhängig vom Ergebnis des vorher durchgeführten Experiments. Das Versuchsergebnis wird beeinflusst durch das Ergebnis des vorhergehenden Experimentes. Beispiele: Ziehen eines Loses aus einer Lostrommel, Ziehen einer Kugel ohne Zurücklegen

1.2.4. Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen

1.2.4. Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen Für das Beispiel aus 1.2.2. findet man folgende Wahrscheinlichkeiten: r b E1 = {r; r; r} E2 = {r; r; b} E3 = {r; b; r} E4 = {r; b; b} E5 = {b; r; r} E6 = {b; r; b} E7 = {b;b; r}

1.2.5. Pfadregeln

1.2.5. Pfadregeln Für das Beispiel aus 1.2.2. soll berechnet werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit drei rote Kugeln gezogen werden. PFADREGEL 1: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades im Baumdiagramm. Für das Ereignis E1 aus 1.2.2. bedeutet das:

1.2.5. Pfadregeln Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind bei den drei gezogenen Kugeln mindestens zwei rote dabei? Das trifft auf die Ereignisse E1; E2; E3; und E5 zu. PFADREGEL 2: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die für dieses Ereignis günstig sind.

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Mehr Abiturientinnen als Abiturienten 52,4 % der 244600 Jugendlichen, die am Ende des vergangenen Schuljahres ihre Schule mit der allgemeinen Hochschulreife verließen, waren Frauen. In den neuen Ländern und Berlin liegt der Frauenanteil mit 59,1 % deutlich höher als im früheren Bundesgebiet (50,8 %).

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Bei diesem Zufallsexperiment werden zwei Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen beobachtet.

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. Frau Mann Gesamt Ossi Wessi 52,4 % 244600 100 %

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. Frau Mann Gesamt Ossi Wessi 128170 52,4 % 244600 100 % 52,4 % der insgesamt 244600 Abiturientinnen und Abiturienten sind Frauen.

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. Frau Mann Gesamt Ossi Wessi 128170 52,4 % 116430 47,6 % 244600 100 % Demzufolge sind es 116430 Männer. Das entspricht 47,6 %.

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. Frau Mann Gesamt Ossi 59,1 % 244600-x Wessi 50,8 % x 128170 52,4 % 116430 47,6 % 244600 100 % Zu lösen ist die Gleichung Man erhält mit x = 197458 die Anzahl der Abiturienten aus Westdeutschland.

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. Frau Mann Gesamt Ossi 47142 19,3 % Wessi 197458 80,7 % 128170 52,4 % 116430 47,6 % 244600 100 % Also kommen 47142 Abiturienten aus Ostdeutschland. Das sind 19,3 %.

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. Frau Mann Gesamt Ossi 27861 11,4 % 19281 7,9 % 47142 19,3 % Wessi 197458 80,7 % 128170 52,4 % 116430 47,6 % 244600 100 % Von den 47142 Absolventen aus Ostdeutschland sind 59,1 % Frauen. Es sind also 27861 Frauen und 19281 Männer. Das sind 11,4 % bzw. 7,9 % des Grundwertes.

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. Frau Mann Gesamt Ossi 27861 11,4 % 19281 7,9 % 47142 19,3 % Wessi 100309 41,0 % 97149 39,7 % 197458 80,7 % 128170 52,4 % 116430 47,6 % 244600 100 % Durch Subtraktion lassen sich die fehlenden absoluten Häufigkeiten ermitteln.

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Frau Mann Gesamt Ossi 11,4 % 7,9 % 19,3 % Wessi 41,0 % 39,7 % 80,7 % 52,4 % 47,6 % 100 % Aus der Vierfeldertafel lassen sich z.B. ablesen: Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus dem Osten kommt: Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus dem Osten kommt und weiblich ist:

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Gesucht sind folgende Wahrscheinlichkeiten: Falls eine Person aus dem Osten kommt: mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es dann eine Frau? Falls eine Person weiblich ist: mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie dann aus Ostdeutschland?

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Hier werden die Wahrscheinlichkeiten an Bedingungen geknüpft. Falls eine Person aus dem Osten kommt: mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es dann eine Frau? Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass A eintritt: Falls eine Person weiblich ist: mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie dann aus Ostdeutschland? Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eintritt:

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Für solche Berechnung kann man den Satz von Bayes verwenden. SATZ: Satz von Bayes Sind A und B Ereignisse mit P(A) ≠ 0, dann gilt

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Frau Mann Gesamt Ossi 11,4 % 7,9 % 19,3 % Wessi 41,0 % 39,7 % 80,7 % 52,4 % 47,6 % 100 % Falls eine Person aus dem Osten kommt: mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es dann eine Frau? (Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass A eintritt: )

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Frau Mann Gesamt Ossi 11,4 % 7,9 % 19,3 % Wessi 41,0 % 39,7 % 80,7 % 52,4 % 47,6 % 100 % Falls eine Person weiblich ist: mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie dann aus Ostdeutschland? (Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eintritt: )

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Aufgaben dieser Art lassen sich auch durch zwei Baumdiagramme lösen. w {O;w} O {w;O} O w m {O;m} W {w;W} w {W;w} O {m;O} W m m {W;m} W {m;W}

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten {O;w} O {w;O} 0,591 O w m {O;m} 0,524 W {w;W} w {W;w} O {m;O} 0,508 W m m {W;m} W {m;W}

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Ereignis und Gegenereignis haben zusammen die Wahrscheinlichkeit 1. w {O;w} O {w;O} 0,591 O w 0,409 m {O;m} 0,524 W {w;W} w {W;w} O {m;O} 0,508 0,476 W m 0,492 m {W;m} W {m;W}

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Analog zur Vierfeldertafel ist P(W) = 0,807. w {O;w} O {w;O} 0,591 O w 0,409 m {O;m} 0,524 W {w;W} w {W;w} 0,807 O {m;O} 0,508 0,476 W m 0,492 m {W;m} W {m;W}

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Der Rest wird nach den Pfadregeln berechnet. w {O;w} O {w;O} 0,591 O w 0,409 m {O;m} 0,524 W {w;W} w {W;w} 0,807 O {m;O} 0,508 0,476 W m 0,492 m {W;m} 0,397 W {m;W} 0,397

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Der Rest wird nach den Pfadregeln berechnet. w {O;w} 0,114 0,114 O {w;O} 0,591 0,218 O w 0,193 0,409 0,782 m {O;m} 0,079 0,524 W {w;W} 0,410 w {W;w} 0,410 0,807 O {m;O} 0,079 0,508 0,476 0,166 W m 0,492 0,834 m {W;m} 0,397 W {m;W} 0,397

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten lassen sich direkt ablesen. w {O;w} 0,114 0,114 O {w;O} 0,591 0,218 O w 0,193 0,409 0,782 m {O;m} 0,079 0,524 W {w;W} 0,410 w {W;w} 0,410 0,807 O {m;O} 0,079 0,508 0,476 0,166 W m 0,492 0,834 m {W;m} 0,397 W {m;W} 0,397