Integrationsunterricht zum Thema Differenzialgleichungen Daniel Diserens und Martin Lehner Deutsches Gymnasium Biel Workshop Köniz, 27.10.03 http://www2.dgb.ch/users/le/iwshop.html

Workshop Übersicht Die fächerübergreifende Kursform ‚Integrationsunterricht‘ (IU) am Deutschen Gymnasium Biel (DGB) Maturprüfung im Schwerpunktfach PAM am DGB Inhalt und Hauptziele unseres IU‘s Organisation des IU‘s Differenzialgleichungen Zwei konkrete Beispiele aus dem IU Erfahrungen, Material zum IU Diskussion

Die fächerübergreifende Kursform ‚Integrationsunterricht‘ (IU) am Deutschen Gymnasium Biel (DGB) Dauer 1 Semester (2 Lektionen/Woche) Die zwei Lehrkräfte der beiden Fächer sind in beiden Lektionen anwesend. Kosten: In jedem Fach eine zusätzliche Lehrer/innen-Lektion. Die Anzahl Lektionen für die Klasse bleibt unverändert. Inhalt: Ein fächerübergreifendes Thema.

Die Maturprüfung im SPF PAM am DG Biel Schriftliche AM-Prüfung mit einer ‚physiknahen‘, obligatorischen Aufgabe aus dem IU Beispiele siehe mat-am.doc auf http://www2.dgb.ch/users/le/wshop/ Mündliche Physikprüfung

Hauptziele des IU Differenzialgleichungen Verbindung der Teile P+AM zu PAM Erkennen des Zusammenhangs zwischen physikalischem Problem und Differenzialgleichung Programmierung und Anwendung numerischer Verfahren

Semesterplanung

Semesterplanung

Semesterplanung

Einschaltvorgänge Kondensatorladung (Einfaches RC-Glied) RLC-Glied • Messung mit ULI (Interface) und PC • Rechnung mit MATHEMATICA

RC-Glied mit MATHEMATICA

Eulerverfahren

Runge-Kutta 2. Ordnung

RLC-Glied (Messung und Theorie)

Eulerverfahren für RLC-Glied

Eulerverfahren für RLC-Glied Abweichung von der exakten Kurve für h = 0.1 s

Populationsmodelle Modell 1: Exponentielles Wachstum Modell 2: Logistisches Wachstum Modell 3: Räuber-Beute Modell von Lotka/Volterra

Exponentielles Wachstum kan(t): Anzahl Kaninchen zum Zeitpunkt t

Logistisches Wachstum Die Differenzialgleichung zum exponentiellen Wachstum wird um den Faktor in der Klammer erweitert. K ist die Kapazitätsgrenze.

Beispiel: Hefewachstum http://www.learn-line.nrw.de/angebote/modell/hefe/hefe.htm befindet sich eine Tabelle mit Messdaten des Hefe-Wachstums. Tab. 1: Wachstum einer Hefekultur (Carlson 1913) Zeit t (in Std.) Hefemenge, N(t) (in mg) Zeit t Hefemenge 0 9,6 10 513,3 1 18,3 11 559,7 2 29,0 12 594,8 3 47,2 13 629,4 4 71,1 14 640,8 5 119,1 15 651,1 6 174,6 16 655,9 7 257,3 17 659,6 8 350,7 18 661,8 9 441,0 Quelle: Krebs 1972,S.218

Hefewachstum (2) Die Messdaten ergeben folgenden Kurve:

Hefewachstum (3) Durch Ausprobieren finden die Schüler c=0.29, K=665 und f(0)=9.6: (Euler-Verfahren)

Räuber-Beute Modell kan(t): Kaninchen zum Zeitpunkt t fu(t): Füchse zum Zeitpunkt t Gekoppelte Differenzialgleichung

Parameter c und K aus dem Modell logistisches Wachstum j: Jagderfolg der Füchse gf: Vermehrung der Füchse aufgrund von Fresserfolg s: Sterben der Füchse aufgrund von Konkurrenz

Berechnung mit Euler-Verfahren kan(0)=2000, K=4000, fu(0)=10, c=0.1, j=0.05, gf=0.00005, s=0.025. Kaninchen

Berechnung mit Euler-Verfahren Füchse

Populationen konvergieren gegen ein Gleichgewicht

Material zum IU Skripte, MATHEMATICA-Dateien, Einführungsübungen, etc. siehe http://www2.dgb.ch/users/le/iwshop.html