Trigonometrische Funktionen

Gliederung Definition der Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck und am Einheitskreis; Komplementärbetrachtungen Sätze über Winkelfunktionen: Sinussatz und Cosinussatz Additionstheoreme Der Tangenssatz

1. Definition der Winkelfunktionen a) am rechtwinkligen Dreieck b) am Einheitskreis; c) Komplementärbetrachtungen

a) Definition der Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck

b) Definition der Winkel-funktionen am Einheitskreis sin a : Ordinate (y-Wert) des zu a gehörenden Punktes auf dem Einheitskreis cos a : Abszisse (x-Wert) des zu a gehörenden Punktes auf dem Einheitskreis tan a : Länge des Abschnittes der senkrechten Tangente im Punkt P(1/0) bis zum „freien“ Schenkel des Winkels a. Für Winkel über 90° hinaus muß dieser Schenkel „rückwärts“ verlängert werden cot a : Länge des Abschnittes der waagrechten Tangente im Punkt T(0/1) bis zum „freien“ Schenkel des Winkels a

c) Komplementbeziehungen sin a = a/c = cos b  sin a = cos (90°-a) cos a = b/c = sin b  cos a = sin ( 90°-a) tan a = a/b = cot b  tan a = cot (90°-a) cot a = b/a = tan b  cot a = tan (90°-a)

d) Definition der trigonometrischen Funktionen

2. Sätze über Winkelfunktionen Sinussatz Cosinussatz

Allgemeiner Sinussatz Ist R der Radius des Umkreises des Dreiecks ABC mit Winkeln a,b,g, so ist

Beweis:

Sinussatz In einem Dreieck gilt:

Beweis:

Folgerung aus dem Sinussatz Ein Dreieck hat den Flächeninhalt abc/4R, wobei R der Umkreisradius ist.

Beweis:

Cosinussatz a² = b²+c²-2bc cos a b² = a²+c²-2ac cos b Im Dreieck ist das Quadrat der einen Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten, vermindert um das doppelte Produkt aus diesen beiden anderen Seiten und dem Cosinuswert des eingeschlossenen Winkels. a² = b²+c²-2bc cos a b² = a²+c²-2ac cos b   c² = a²+b²-2ab cos g

Beweis:

Folgerung aus dem Cosinussatz In einem Dreieck gilt:

3. Additionstheoreme (1)

Beweis: 1. Für spitze Winkel

2. Für stumpfe Winkel

Additionstheoreme (2)

Additionstheoreme (3)

4. Tangenssatz In einem Dreieck gilt: