Diffusion Filters and Wavelets: What can they learn from each other Klassisches Beispiel für Signal-Denoising: Gegeben ein Signal: Gewünscht ist eine Näherung an das ursprüngliche Signal, durch Entfernen des „Rauschens“, ohne dabei wichtige Strukturen zu verlieren, wie zB.Kanten. Dafür gibt es verschieden Ansätze, wie zB. Wavelet Techniken und PDEs Im Folgenden werden wir 2 Techniken betrachten bzw. vergleichen: - Wavelet Shrinkage und - nonlinear Diffusion Diffusion Filters and Wavelets
Inhalt Wavelets Wavelet shrinkage 1D Nonlinear Diffusion Total Variation Diffusion Gemeinsamkeiten bei Space Discrete Diffusion Zusammenhang von Diffusivities und Shrinkage Functions 1D 2D Haar Wavelet Transformation Diffusion-Inspired 2D Wavelet Shrinkage Diffusion Filters and Wavelets
Beispiele für Wavelets Meyer Morlet Mexican Hat Diffusion Filters and Wavelets
Haar Wavelet Alfred Haar, 1909 Einfachste Wavelet Basis Diffusion Filters and Wavelets
Wavelets Diffusion Filters and Wavelets
Skalierungsfunktionen Diffusion Filters and Wavelets
Wichtige Ergebnisse zur Existenz entsprechender Skalierungsfunktionen und Wavelets Diffusion Filters and Wavelets
Eigenschaften von V und W Diffusion Filters and Wavelets
Die Haar Funktionen Diffusion Filters and Wavelets
Wavelets Diffusion Filters and Wavelets
Diskrete Wavelet Transformation diskretes 1-D Signal eine stückweise konstante Funktion Diffusion Filters and Wavelets
Bsp. Haar Wavelet Zerlegung Diffusion Filters and Wavelets
„two scale relation“ Diffusion Filters and Wavelets
Wavelet shrinkage Wavelet shrinkage versucht Rauschen aus den Wavelet-Koeffizienten zu eliminieren Diese wird in 3 Schritten gemacht: Berechne die Koeffizienten Füge eine shrinkage function mit einem threshold Paramter zu den Wavelet-Koeffizienten hinzu Rekonstruktion der rauschfreien Version u von f Diffusion Filters and Wavelets
shrinkage functions Linear shrinkage: Soft shrinkage: Garrote shrinkage: Firm shrinkage: Hard shrinkage: Diffusion Filters and Wavelets
Diskretes translations-invariantes Schema Haar Wavelet shrinkage auf einer Ebene produziert das folgende Signale Single Haar Wavelet shrinkage teilt das Input Signal in aufeinanderfolgende Pixel Paare auf. Pixel 2i hat somit keine direkte Verbindung zu seinem Nachhbar 2i-1 Die Prozedur ist somit nicht invariant bzgl. Translation des Input Signals. Diffusion Filters and Wavelets
Diskretes translations-invariantes Schema ‚Cycle Spinning‘: das Input Signal wir verschoben, entrauscht mittels wavelet shrinkage, zurück-verschoben und dann wird der Durchschnitt über alle diese Verschiebungen genommen. In unserem Fall benötigt man nur eine zusätzliche Verschiebung um Translationsinvarianz zu erzielen. Shifted haar wavelet shrinkage: Diffusion Filters and Wavelets
Diskretes translations-invariantes Schema Durchschnitt bilden … Ein Schritt bei verschiebungsinvarianter Haar wavelet shrinkage Diffusion Filters and Wavelets
Nonlinear Diffusion Filtering Diffusion Filters and Wavelets
Diffusivity Funktionen Diffusion Filters and Wavelets
TV Diffusion TV-Diffusivity eignet sich gut zum Entrauschen von Signalen. Allerdings ist TV-Diffusivity unbeschränkt, wodurch bei den zugehörigen numerischen Algorithmen Schwierigkeiten auftreten können. Gewöhnlich wird daher TV-Diffusion durch Näherung ersetzt um sie zu beschränken. Allerdings kann diese regularisation unerwünschte Blurring Effekte zu Folge haben. Diffusion Filters and Wavelets
Explizites, diskretisiertes Schema Um Diffusion auf diskrete Signale anwenden zu können, muss die PDE diskretisiert werden. Ein solches explizites Schema für nonlinear Diffusion im 1D-Fall kann folgendermaßen geschrieben werden: Diffusion Filters and Wavelets
Beispiel Denoising Diffusion Filters and Wavelets
Gemeinsamkeiten bei Space Discrete Diffusion Wir schauen uns die Verbindungen zwischen soft Haar Wavelet Shrinkage und TV-Diffusion im space-discrete Fall an. Wir werden analytische Lösung für ein simples Szenario „finden“ und können dieses simple Szenario als bildenden Block für ein numerisches Schema für TV-Diffusion verwenden. Diffusion Filters and Wavelets
Wavelet Shrinkage eines 2-pixel Signals (1) Wavelet Shrinkage (Haar basis) eines 2-pixel signals Scaling function, Wavelet und Koeffizienten Shrinkage Function: Shrinkage und Synthesis Step: Diffusion Filters and Wavelets
Wavelet Shrinkage eines 2-pixel Signals (2) Führt zu folgendem gefilterten Signal Diffusion Filters and Wavelets
TV Diffusion eines 2-pixel Signals (1) Space Discrete TV Diffusion erzeugt folgendes System mit Anfangswerten Diffusion Filters and Wavelets
TV Diffusion eines 2-pixel Signals (2) führt zu der analytischen Lösung: äquivalent zu soft Haar shrinkage mit threshold Diffusion Filters and Wavelets
Wavelet inspiriertes Schema für TV Diffusion (1) Wir können die Äquivalenz bei 2-Pixeln und die Gedankengänge zu shift invariant Wavelet Shrinkage nutzen um ein numerisches Schema für TV Diffusion mit time step size zu erhalten. TV Diffusion mit time step size Ermittle Durchschnitt beider Resultate auf auf Ein Schritt dieses iterativen Verfahrens ist äquivalent zu shift invariant Haar Wavelet shrinkage mit threshold Diffusion Filters and Wavelets
Wavelet inspiriertes Schema für TV Diffusion (2) Diffusion Filters and Wavelets
Wavelet inspiriertes Schema für TV Diffusion (3) Diffusion Filters and Wavelets
Wavelet inspiriertes Schema für TV Diffusion (4) Wir haben nun ein explizites Schema, welches sich auch als stabil und (unter gewißen Einschränkungen) als konsistent zur kontinuierlichen TV-Diffusion erweist. Weiters erzielt es ähnlich gute Ergebnisse wie das regularisierte Schema, welches mehr unerwünschte Blurring Effekte zur Folge haben kann. Diffusion Filters and Wavelets
Wavelet inspiriertes Schema für TV Diffusion (5) Diffusion Filters and Wavelets
Verallgemeinerung für 2D Fall Auf ähnliche, aber kompliziertere Art und Weise kann man die vorherigen Überlegungen auf den 2dimensionalen Fall ummünzen. Beatrachtet wird dabei ein 2x2 Bild, bei dem die Äquivalenz der Lösungen von Haar Wavelet Shrinkage und space-discrete TV-Diffusion gezeigt werden kann. Diese 4 Pixel Lösung kann wieder als bildender Block für ein numerisches Schema für die 2D TV Diffusion verwendet werden. Diffusion Filters and Wavelets
Zusammenhang von Diffusivities und Shrinkage Functions Diffusion Filters and Wavelets
Zusammenhang von Diffusivities und Shrinkage Functions Zusammenhang zw. „shift-invariant single scale haar wavelet shrinkage“ und diffusivity g eines explizit nicht-linearen diffusion Schemas. Es hat sich gezeigt, dass diffusion-inspired shrinkage Funktionen die besten Entrauschungseigenschaften besitzen. Diffusion Filters and Wavelets
Diffusion inspired Shrinkage Functions Diffusion Filters and Wavelets
Diffusion inspired Shrinkage Functions Diffusion Filters and Wavelets
Von Shrinkage Funktion zu Diffusivity Diffusion Filters and Wavelets
2D Haar Wavelet Transformation Die Haar Wavelet Transformation wird beschrieben durch einen Tiefpass-Filter L und einen Hochpass-Filter H Der einfachste Weg eine 2D Wavelet Transformation zu erzeugen, ist es separierbare Filter zu verwenden. Diffusion Filters and Wavelets
2D Haar Wavelet Transformation Die 2D Wavelet Transformation wird nun beschrieben durch Diese Repräsentation wird erzeugt durch alternierendes Anwenden von Hoch- und Tiefpass-Filtern in x und y Richtung. Für die Glättung wird wie im 1D Fall auf die Wavelet Koeffizienten die shrinkage Funktion angewendet. Das gefilterte Bild u wird dann durch eine inverse Prozedur berechnet. Diffusion Filters and Wavelets
2D Haar Wavelet Transformation Diffusion Filters and Wavelets
2D Haar Wavelet shrinkage Wir betrachten nun eine einzelne Zerlegungsebene und die einzelnen Schritte bei der Wavelet shrinkage (translations-invariant). Hierzu muss man sich 2x2 Nachbarschaften anschauen in welche das Pixel (i,j) involviert ist. Diffusion Filters and Wavelets
2D Haar Wavelet shrinkage Diffusion Filters and Wavelets
Diffusion-Inspired 2D Wavelet Shrinkage Diffusion Filters and Wavelets
Diffusion-Inspired 2D Wavelet Shrinkage Diffusion Filters and Wavelets
ENDE Diffusion Filters and Wavelets