Black Box Algorithmen Hartmut Klauck Universität Frankfurt SS

Weiteres über Property Testing Logische Beschreibung von Graph Properties: ¢ Eine 1st order Formel ist von der Form 9 v 1,...,v l 8 u 1,..,u l ¢ ¢ ¢ ¢ 9 w 1,..., w t : R(v 1,...,w t ) wobei u i, v j, w k Knoten sind, und R eine Boolesche Formel ist, die aus UND, ODER, NICHT Ausdrücken besteht, und Ausdrücken der Form e(u,v) [(u,v) ist Kante], sowie v i =u j Ausdrücken Eine 1st order Formel ist von der Form 98, wenn sie als 9 v 1,...,v l 8 u 1,..,u l R(v 1,...,u l ) geschrieben werden kann

Einige Formeln Beispiele: Der Graph besitzt keine Clique der Grösse 3 (Dreieck): 8 v 1,v 2,v 3 : Ähnlich: der Graph besitzt eine festen Graphen nicht als Subgraphen/als induzierten Subgraphen: Es gibt kein Dominating Set der Grösse k: 8 v 1,...,v k 9 u: : e(v 1,u)Ç

Test von 98-Eigenschaften Theorem 8.1 [Alon et al.] Jede Grapheigenschaft, die durch eine (konstant grosse) 98 first order Formel beschreibbar ist, kann mit f( ) Fragen getestet werden. Theorem 8.2 Es gibt eine Grapheigenschaft, die durch eine 89 f.o. Formel beschrieben ist, die nicht testbar ist.

Subgraph Testen Wichtiges Beispiel: Enthält G einen Subgraphen H? Theorem 8.2 [Alon] Die Eigenschaft hat kein H als (nicht induzierten) Subgraphen ist testbar mit poly(1/ ) Fragen, gdw H bipartit ist

Exakte Komplexität von Grapheigenschaften

Grapheigenschaften Beispiel für nicht schreckliche Grapheigenschaft: Der Einfachheit halber auf gerichteten Graphen. Ähnlich Tournament: Akzeptiere, wenn es einen Knoten mit Ingrad n-1 und Ausgrad 0 gibt, verwerfe sonst Nicht monoton! Anderaa, Karp, Rosenberg-Vermutung: Alle nichttrivialen, monotonen Grapheigenschaften sind schrecklich Immer noch offen, aber (n 2 ) ist bewiesen Randomisiert: (n 4/3 ) bewiesen

Das Ergebnis Theorem 8.3: [Rivest/Vuillemin] Jede monotone, nichttriviale Grapheigenschaft hat D(P)= (n 2 )

Einige Beobachtungen Sei f:{0,1} n ! {0,1} eine Funktion f -1 (0): Menge der auf 0 abgebildeten Inputs Lemma 8.4: Wenn |f -1 (0)| ungerade, dann ist D(f)=n

Einige Beobachtungen Lemma 8.4: Wenn |f -1 (0)| ungerade, dann ist D(f)=n Beweis: Jeder Knoten des Entscheidungsbaumes in Tiefe · n-1 wird von einer geraden Anzahl von Eingaben erreicht (bei Tiefe t: 2 n-t viele) Daher kann eine ungerade Anzahl von Eingaben nur verworfen werden, wenn mind. ein Pfad Tiefe n hat, qed.

Einige Beobachtungen Lemma 8.5: Wenn D(f)<n, dann gilt für genau die Hälfte der Strings x in f -1 (0), dass |x| gerade ist. Beweis: Sei v in Tiefe d<n verwerfend. Es gibt 2 n-d Eingaben, die v erreichen, die Hälfte davon erfüllt |x| gerade.

Beispiel Theorem 8.6: Sei f k die Boolsche Funktion mit f k (x)=1, x i ¸ k. Dann gilt D(f k )=n für n+1>k>0 Beweis:

Symmetrien Also sind alle symmetrischen, monotonen Funktionen schwer (sogar alle symmetrischen Funktionen). Andere Form von Symmetrie: Grapheigenschaften Benutzen im folgenden allgemeinen Symmetriebegriff

Permutationsgruppen Betrachte alle Permutationen auf n Elementen Bilden Gruppe S n Invarianz unter einer Permutationsgruppe H: f(x)=f( (x)8,x Symmetrische Funktionen: Invariant unter S n Invarianz unter Untergruppen von S n ? Paargruppe: N=, Paare auf n Elementen Permutationen auf n Elementen; (i,j)=( (i), (j)) Invariant unter Paargruppe heisst: Grapheigenschaft!

Permutationsgruppen Definition 8.7 Eine Permutationsgruppe auf n Elementen heisst transitiv, wenn es für alle i,j ein aus der Gruppe gibt mit (i)=j. Beispiele: S n ist transitiv Paargruppe ist transitiv: für alle (i,j);(k,l) mit i j und k l gibt es : (i,j)=( i), (j))=(k,l)

Verallgemeinerte AKR Vermutung Sei f eine nichttriviale monotone Boolsche Funktion auf n Bits, die unter einer transitiven Permutationsgruppe invariant ist. Dann ist D(f)=n. ?? Unbekannt, ob korrekt Theorem 8.8 [Rivest, Vuillemin] n=p k sei eine Prinzahlpotenz Sei f eine Boolsche Funktion auf n Bits, die invariant unter einer trans. Perm. Gruppe ist, und f(0 n ) f(1 n ). Dann ist D(f)=n.

Rivest Vuillemin Werden AKR Vermutung bis auf konstanten Faktor beweisen mit Hilfe des RV Theorems Einige weitere Vorbereitungen: Definition 8.9 Der Orbit von x unter einer Perm. Gruppe H sei { (x): 2 H} Beispiel: Paargruppe: orbit(g) entspricht dem Graphen g mit verschiedenen Knotenlabels Wenn x2 orbit(y), dann orbit(x)=orbit(y) Wenn f invariant unter H, dann haben alle y in orbit(x) denselben Funktionswert Alle y in orbit(x) haben dasselbe Hamming Gewicht orbit(0 n )={0 n }; orbit(1 n )={1 n }

Der Beweis Sei n=p k, f(0 n )=0, f(1 n )=1 Lemma 8.10: |orbit(x)| ist Vielfaches von p für alle x 0 n, 1 n Angenommen D(f)<n. Mit Lemma 8.5: Zu verwerfende Eingaben: A Hälfte aller Eingaben in A haben |x| gerade Dann x2 A (-1) |x| =0 (*) x2 A: |orbit(x)| ist Vielf. von p, Beitrag zu (*): |orbit(x)| (-1) |x|, ist Vielf. von p (*) Summe von Vielfachen von p, § 1 [für 0 n Damit kann (*) nicht 0 sein, qed.

Beweis des Lemmas Lemma 8.10: |orbit(x)| ist Vielfaches von p für alle x 0 n, 1 n |orbit(x)| >1 y2 orbit(x) |y|= y2 orbit(x) i y i = i y2 orbit(x) y i =n y2 orbit(x) y 1 ; Denn: f invariant unter H, und H transitiv Ausserdem: y2 orbit(x) |y|=|x| |orbit(x)| Also n ( y2 orbit(x) y 1 )=|x| |orbit(x)| Damit ist |orbit(x)| ein Vielfaches von p,qed

Anwendung auf Grapheigenschaften Anzahl der Kanten ist keine Primzahlpotenz! Verwenden Form von Reduktion

Anwendung auf Grapheigenschaften Theorem 8.11 Sei n=2 k. Jede nichttriviale monotone Grapheigenschaft erfüllt D(P)¸ n 2 /4. Beweis: Sei G 0 der leere Graph, G j bestehe aus n/2 j Kopien einer Clique von 2 j Knoten P(G 0 )=0 P(G k )=1 P(G j )=0 für max. j>0

Anwendung auf Grapheigenschaften P(G 0 )=0 P(G k )=1 P(G j )=0 für max. j>0 Sei G wie folgt: Knoten 1 bis n/2 seien n/2 j+1 disjunkte Cliquen auf n/2 j Knoten Knoten n/2+1…n ebenfalls Kanten dazwischen frei (n 2 /4) Noch zu entscheiden: Boolesche Funktion F mit m=n 2 /4 Variablen F(0 m )=0, F(1 m )=1, denn erste Eingabe entspricht G j, zweite enthält G j+1 Damit erfüllt F Voraussetzungen von Theorem 8.8 D(P)¸ D(F)=n 2 /4

Anwendung auf Grapheigenschaften Theorem 8.12: Für alle n ist die Komplexität von Grapheigenschaften auf n Knoten (n 2 ) Idee: Reduziere um jeweils einen Knoten, entweder ergeben sich triviale Grapheigenschaften dann kann man untere Schranke wie RV zeigen, oder reduzierte Eigenschaft nichttrivial, reduziere bis auf n=2 k.