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Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Biegung von Freiträgern.

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Präsentation zum Thema: "Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Biegung von Freiträgern."—  Präsentation transkript:

1 Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Biegung von Freiträgern

2 © Copyright: Der Inhalt dieser Folien darf - mit Quellenangabe - kopiert und weiter gegeben werden. In diesem Foliensatz geht es um: Inhalt Freiträger Biegemoment Schnittgrößen Mehrere Einzelkräfte Streckenlasten Mischlasten Folie 2 © Prof. Dr. Remo Ianniello

3 Einleitung © Prof. Dr. Remo IannielloFreiträger Folie 3

4 Freiträger Folie 4 © Prof. Dr. Remo Ianniello

5 Worum geht es? Freiträger Ein Freiträger soll so stabil ausgelegt werden, dass er der Belastung stand hält. Dicke, Höhe und Länge des Trägers sollen ausreichend dimensioniert sein, abhängig von a)dem verwendeten Material (hier: Stahl) b)der zu erwartenden Belastungsart (hier: Biegung) c)dem zu erwartenden Lastfall (hier: statisch) Folie 5 © Prof. Dr. Remo Ianniello I N T R O

6 Herausforderung © Prof. Dr. Remo Ianniello Freiträger Folie 6 Wie die maximale Belastung ermitteln ? Wie daraus die Abmessungen berechnen ? Zu groß dimesionert → zu viel Material → zu teuer Zu klein dimensioniert → instabil → gefährlich I N T R O

7 Lösungs-Strategie © Prof. Dr. Remo Ianniello Freiträger Folie 7 Der Träger wird auf Zug/Biegung belastet. Die Kraft erzeugt ein Biegemoment M b. M b erzeugt eine Biegespannung σ b. σ b ist abhängig vom Widerstandsmoment W. Die Gleichung dazu ist: W muss so groß sein, dass σ b ≤ σ b zul. W ist abhängig von den Abmessungen des Träger-Querschnitts. Die Abmessungen sind passend zu wählen. σ b zul ist je nach Werkstoff und Lastfall in Tabellen zu finden. W ist je nach Trägergröße und Werkstoff in Tabellen zu finden. M b max bestimmen σ b zul aus Tabelle suchen M b max und σ b zul in W erf = M b / σ b zul setzen Formel von W erf  Maße Zug/ © Prof. Dr. Remo Ianniello I N T R O

8 Biegemoment Folie 8 Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello

9 Quiz Biegemoment © Prof. Dr. Remo Ianniello Freiträger Folie 9 60° F rxrxrxrx Ein “Freiträger” ist ein einseitig eingespannter Träger. Moment Ein Junge versucht, eine Sechskant-Mutter mit Hilfe eines Schraubenschlüssels anzuziehen. Er greift den Schlüssel in der Mitte (r = 20 cm) und zieht unter einem Winkel von 30° zum Lot. a)Wie groß ist das Moment, das der Junge mit seiner Kraft von 120 N auf die Mutter ausübt? M = r x F = r F sin(φ) = 20,78 Nm b)Wirkt ein Moment nur auf die Mutter oder auch im Schaft zwischen Hand und Mutter? An jeder Stelle x im Schaft wirkt ein M b = r x xF c)An welcher Stelle ist das Drehmoment maximal? An der Stelle mit dem größten Hebelarm: in der Mutter. © Prof. Dr. Remo Ianniello

10 Quiz Biegemoment © Prof. Dr. Remo Ianniello Freiträger Folie 10 Moment d).Die Mutter sitzt sehr fest; sie kann vom Jungen nicht gelöst werden. Wie lässt sich das Moment an der Schraube vergrößern? Arnold S. holen, Kraft vergrößern, Verlängerung des Hebelarms r Winkel zwischen Wirklinie F und r auf 90° bringen. © Prof. Dr. Remo Ianniello

11 Aufgabe Biegemoment © Prof. Dr. Remo Ianniello Freiträger Folie 11 Sprungbrett Ein stämmiger Herr steht im Schwimmbad auf dem Einer. Durch seine Gewichtskraft von 0,8kN übt er ein Moment auf die Querschnitte des Sprungbretts aus. a)Formulieren Sie eine allgemeine Gleichung, mit der sich das Moment berechnen lässt, das im Abstand L vom sportlichen Herrn im Querschnitt wirkt. b)An welcher Stelle wirkt das größte Moment? c)Durch das Moment wird das Sprungbrett verformt. Welcher Art ist die Verformung? Um was für eine Art von Moment handelt es sich? b) In der Wand am linken Ende a) Schnittgrößen: M b = -(L-x) F G c) Verformung = Biegung → Biegemoment © Prof. Dr. Remo Ianniello

12 Aufgabe Biegemoment © Prof. Dr. Remo Ianniello Freiträger Folie 12 Sprungbrett d)In den Randfasern des Sprungbretts wirkt die Biegespannung. Die obere Randfaser wird gestreckt, die untere gestaucht. Wie ist der formelmäßige Zusammenhang zwischen dem Moment M b und der Spannung  b ? e)Würde sich die Spannung in der Randfaser ändern, wenn das Brett dicker oder dünner wäre? f)Ändert sich das Widerstandsmoment im Brettquerschnitt mit wachsender Entfernung vom sportlichen Herrn? e) Ja. Dicker → kleinere Spannung f) Nein. W ist von der Querschnitts- Geometrie abhängig. © Prof. Dr. Remo Ianniello

13 Aufgabe Abmessungen © Prof. Dr. Remo Ianniello Freiträger Folie 13 Der Gabelstapler- Kranarm hat eine L 1 = 2 m lange Verlängerung mit dem Querschnitt 20 x 50. An ihm hängt eine beladene Palette mit 203,874 kg. L 2 = 2,3 m. a)Wie groß ist das Biegemoment M b an der Stelle A? b)Wie groß ist die Biegespannung σ b bei A? c)Wie groß ist für S235 JR die zulässige Biegespannung σ b zul ? d)Wie groß muss demnach W erf sein? e)Wie groß sollte die Höhe h gewählt werden? © Prof. Dr. Remo Ianniello

14 Biegemoment Freiträger Folie 14 Tabelle erstellen Wie groß sind die Biege- a)-momente in den Abschnitten 1 bis 5 ? b)-spannungen in den Abschnitten ? c)erstellen Sie eine Momentengleichung, damit man das Moment an einer beliebigen Stelle x auf Anhieb bestimmen kann. © Prof. Dr. Remo Ianniello Beim Freiträger tritt M b max an der Einspannstelle auf. Biegemoment und Biegespannung steigen über die Trägerlänge linear an.

15 Aufgabe Abmessungen © Prof. Dr. Remo Ianniello Freiträger Folie 15 Quadratstahl Ein Freiträger soll bei l = 350 mm und quadratischem Querschnitt eine Einzellast von 4,2 kN aufnehmen. Die zulässige Biegespannung soll 120 N/mm² betragen. Gesucht: a)das maximale Biegemoment, M b max = Nm b)das erforderliche Widerstandsmoment, W = mm³ c)die Seitenlänge a des flachliegenden Quadratstahles, a = 41,89 mm d)die Seitenlänge a 1 eines über Eck ge- stellten Quadratstahles. a 1 = 47 mm e)welche Ausführung ist wirtschaftlicher? Die Ausführung mit a erfordert weniger Material. Wirtschaftlicher ist ein flach liegender Quadratstahl. © Prof. Dr. Remo Ianniello

16 Schnittgrößen Freiträger Folie 16 © Prof. Dr. Remo Ianniello

17 Schnittmethode Freiträger Folie 17 Biege- Moment Normalkraft, Längskraft Querkraft © Prof. Dr. Remo Ianniello

18 Quiz Schnittmethode Freiträger Wenden Sie die Schnittmethode an folgendem Träger an, indem Sie den linken Teil des Trägers frei schneiden: LageplanTräger Schnittgrößen Momenten-Verlauf Querkraft-Verlauf © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 18

19 Aufgabe Schnittmethode Freiträger Freiträger mit Einzellast a)Machen Sie den Freiträger frei. b)Bestimmen Sie die Auflagergrößen. F = 130 N, l = 2m c)Schneiden Sie den Freiträger an einer beliebigen Stelle x und tragen Sie die Schnittgrößen M b (x) und F Q (x) an das linke Schnittufer an. d)Gesucht ist eine allgemeine Gleichung für den Verlauf des Momentes M b ; erstellen Sie dazu eine Momenten-Bilanz. e)Erstellen Sie eine Gleichung für den Verlauf der Querkraft F Q (x). f)Stellen Sie den Verlauf von M b (x) und F Q (x) graphisch dar. © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 19

20 Aufgabe Schnittmethode Freiträger Eingeprägtes Moment Schneiden Sie den Freiträger einmal vor und einmal hinter der Mitte, wo ein Moment eingebracht wird. Für beide Schnitte ist die Querkraft- und die Momenten- Gleichung gesucht. P = 100 N, M = 800 Nm, l = 2m a)Bestimmen Sie dazu zunächst die Randbedingungen; hier also das Halte- Moment M W der Wand. b)Skizzieren Sie die beiden Schnitte, indem Sie den linken Teil freimachen. c)Stellen Sie die Gleichung für die beiden Querkraft-Verläufe auf. d)Wie sehen die Gleichungen für die Momenten-Veräufe aus? e)Skizzieren Sie die Verläufe von M b (x) und F Q (x). [Quelle: Hibbeler, Techn. Mech. Bd.1] © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 20

21 Mehrere Einzelkräfte © Prof. Dr. Remo Ianniello Freiträger Folie 21

22 Aufgabe Mehrere Einzelkräfte Freiträger 1m - Brett An ein 1m-Brett hängen sich nacheinander mehrere Personen. Jede Person übt ein Moment M i = F i l i aus. a)Welche Stelle des Brettes ist durch die Gewichtsmomente am meisten belastet? b)Wie lässt sich das maximale Gesamtmoment berechnen? © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 22

23 Aufgabe Schnittmethode Freiträger Eingeprägte Kraft Für den Träger ist die Querkraft- und die Momenten-Gleichung gesucht. P = 400 N, F = 100 N, l = 1 m a)Bestimmen Sie dazu zunächst das Moment M W und die Kraft F W der Wand. b)Schneiden Sie den Freiträger links von der Stelle, an der die Kraft F eingebracht wird. Machen Sie den linken Teil frei. Stellen Sie die Gleichung für den Querkraft-Verlauf auf. c)Wie sieht der Momentenverlauf M b (x 1 ) aus? d)Schneiden Sie den Freiträger rechts von der Kraft F. Machen Sie den linken Teil frei. Stellen Sie die Gleichung für den Querkraft-Verlaufe auf. e)Wie sieht die Gleichung für den Momenten-Verauf M b (x 2 ) aus? f)Skizzieren Sie die kombinierten Verläufe von M b (x) und F Q (x). © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 23

24 Aufgabe Geradengleichungen Freiträger Drei Kräfte Ein Freiträger mit einem axialen Widerstandsmoment von W x = mm 3 wird durch drei Einzelkräfte belastet. a)Wie lautet die Geradengleichung für diese Momente? b)Stellen Sie eine Tabelle auf, in der für die drei Fälle die verschiedenen Steigungen m und der y-Achsen- durchgang b eingetragen ist. m =  M/  x b = M max 3 - 2,5  10 3 Nm/m 500 Nm  10 3 Nm/m Nm  10 3 Nm/m Nm © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 24

25 Aufgabe Geradengleichungen Freiträger Drei Kräfte c)Verwenden Sie probeweise die Werte für M b1 (x) für einen Abstand von x = 10 mm. Wie groß ist das Biegemoment an dieser Stelle des Trägers? d)Die Einzelmomente, die an einer Stelle x wirken, werden addiert und ergeben das Gesamtmoment an dieser Stelle. Wie groß ist das Gesamtmoment an der Angriffsstelle von F 3, also bei x = 200mm? e)Wie groß ist die maximale Biegespannung ? M b1 (10) = Nm M b (20) = Nm  b,max = N/mm² © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 25

26 Aufgabe Geradengleichungen Freiträger Freiträger IPB 180 Ein Freiträger IPB 180 DIN 1025-S235JR wird durch drei Einzelkräfte belastet. x-Ache = Biegeachse © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 26 Gesucht: a)die maximalen M i und damit den Verlauf des Biegemoments. b)die Gleichungen für die Biegemomente c)die max. Biegespannung  max

27 Querkraft-Diagramm Freiträger Folie 27 Querkraft-Diagramm für Einzelkräfte Beim Freimachen des Trägers wird die Wand durch die Kraft F Wand ersetzt, und der Träger wird durch einen waagerechten Strich symbolisiert. Im Achsenkreuz des Diagramms werden die Kraftvektoren an ihrem Ort x belassen. Man verfolgt von links nach rechts die Höhe der linksseitig wirkenden Kraftsumme. © Prof. Dr. Remo Ianniello

28 Querkraft-Diagramm Freiträger Bedeutung des Querkraft-Diagramms Gegeben ist ein Freiträger nach DIN 1025-S235JR-I 80, der durch drei Einzelkräfte belastet wird. Es soll ein Querkraft-Diagramm erstellt werden. Man erstellt dann aus den Flächen des Querkraft-Diagramms auf folgende Weise den Momenten-Verlauf. X X X X MbMb 450 Nm Nm Nm Nm Nm x © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 28

29 Aufgabe Einzelkräfte Freiträger Freiträger IPE Geradengleichungen Ein Freiträger IPE 140 DIN 1025-S235JR wird durch zwei Einzelkräfte belastet. Gesucht: a)die Kraft F W in der Wand b)das Querkraft-Diagramm. Es sind zwei Alternativen dazu möglich. c)die Momente an den Stellen x = 0; 400 und 900 mm. Zeichnen Sie die Werte in ein Momenten-Diagramm ein. Legen Sie dazu den Ursprung des Koordinatensystems ans linke Trägerende. d)die Gleichungen für den jeweiligen Momentenverlauf M b (x). Schreiben Sie die Gleichungen an die jeweilige Momentengerade. e)Wenn die Querkraft die Ableitung des Momentes ist – was ergibt sich daraus für die Steigung m der Momenten-Geraden? f)Und was ergibt sich daraus für die Flächen im Querkraft-Diagramm? © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 29

30 Überblick Schnittmethode Freiträger Folie 30 Aus Tabelle für den jew. Werkstoff Lastfall M b max Träger frei machen Schnittmethode Momenten- Gleichung Querkraft- Diagramm Querkraft- Gleichung Momenten- Diagramm Gesucht: Maximale Biegespannung des Trägers Ursache für die Spannung ist das Biegemoment M b. Das maximale Moment kann aus der Schnitt- methode bestimmt werden. © Prof. Dr. Remo Ianniello

31 Aufgabe Einzelkräfte Freiträger Freiträger IPE Schnittmethode Ein Freiträger IPE 140 DIN 1025-S235JR wird durch zwei Einzelkräfte belastet. Gesucht: g)Schnittmethode: Schneiden Sie den Träger zwischen F 1 und F 2 und betrachten den linken Trägerteil. Bestimmen Sie Die Querkraft-Gleichung Q(x 1 ) Die Gleichung für den Momentenverlauf M b (x 1 ) h)Schneiden Sie den Träger zwischen F 2 und der Wand. Wie sehen die Gleichungen Q(x 2 ) und M b (x 2 ) in diesem Abschnitt aus? i)Wie groß ist die maximale Biegespannung? © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 31

32 Streckenlast © Prof. Dr. Remo Ianniello Freiträger Folie 32

33 Streckenlast Freiträger Folie 33 © Prof. Dr. Remo Ianniello

34 Aufgabe Streckenlast Freiträger Lagerzapfen Ein Lagerzapfen wird durch eine Kraft von F = 10 kN belastet, die gleichmäßig über die Zapfenlänge verteilt ist. a)Wie groß ist die Streckenlast q ? b)Wie groß ist das größte Biegemoment, wenn der Zapfen als Freiträger betrachtet wird, und man die Kraft F vereinfacht als Einzelkraft in Zapfenmitte angreifend betrachtet? c)Wie groß ist das größte Biegemoment, wenn man die Kräfte auf 5 gleichmäßig verteilte Einzelkräfte aufteilt? d)Vergleichen Sie den Momenten-Verlauf in beiden Fällen b) und c). e)Die Momenten-Bilanz ist: Wie groß wäre demnach M bmax ? © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 34

35 Querkraft-Diagramm Freiträger Folie 35 Querkraftdiagramm für Streckenlasten Der Querkraftverlauf erfolgt stufenweise an jeder Einzellast. Eine Streckenlast entspricht unzähligen kleinen Einzellasten, die man zu einer Geraden zusammenfassen kann. Aus der abfallenden Gerade lässt sich eine Gleichung für 0  x  L erstellen: Die Steigung m ist die Streckenlast q, denn: © Prof. Dr. Remo Ianniello

36 Quiz Diagramme zeichnen Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 36

37 Aufgabe Streckenlast Freiträger n-Träger Ein einseitig eingespannter Träger ist durch eine Streckenlast q beansprucht. a = 3 cm; d = 1 cm; q = 10³ N/m; l = 100 cm. Gesucht ist die maximale Biegespannung.  b max = 136 N/mm² © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 37

38 Aufgabe Geradengleichungen Freiträger Köln Ein freitragender, 3,7 m langer Stahlträger wird durch seine Gewichtskraft belastet. Es handelt sich um einen schmalen I-Träger nach DIN 1025 – S235JR – I 240, an dem eine Nebelwarnanzeige befestigt ist. a)Zeichnen Sie ein gemeinsames Querkraftdiagramm für: den Träger ohne Schild / nur für das Schild / für beide zusammen. Bei welcher Querkraft liegen die y-Achsen-Schnitte? b)Wie sehen die Gleichungen für die drei Geraden aus ? © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 38

39 Mischlasten © Prof. Dr. Remo Ianniello Freiträger Folie 39

40 Mischlast Freiträger Der Verlauf der Querkraft lässt sich darstellen: analytisch → Gleichung Q(x) = … zeichnerisch → Querkraftdiagramm. Streckenlast: schräge Geraden. Einzelkräfte: Stufen. Der Verlauf des Moments lässt sich darstellen: analytisch → Gleichung M b (x) = … zeichnerisch → Parabel-Abschnitte überlagern sich mit Geraden. © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 40

41 Aufgabe Mischlast © Prof. Dr. Remo Ianniello Freiträger Kastenträger Ein symmetrischer Kastenträger wird durch eine gleichmäßig verteilte Streckenlast und eine Einzellast am freien Ende beansprucht. l = 5 m; q = 0,9 kN/m; F= 2 kN. Machen Sie den Träger frei, und ermitteln Sie a)die Reaktionskräfte in der Wand b)die Querkraftgleichung und den Querkraftverlauf c)die Momentengleichung und den Momentenverlauf. d)Position x 0 und Betrag des max. Biegemoments (M b max ). © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 41

42 Aufgabe Mischlast Freiträger Holzbalken Ein freitragender Holzbalken (σ bzul = 12 N/mm 2 ) wird belastet durch die Einzellasten F 1 = 4 kN, L 1 = 0,8 m, F 2 = 3 kN, L 2 = 0,4 m und durch eine gleichmäßig über die Balkenlänge verteilte Streckenlast von insgesamt q = 12,5 kN/m. Ermitteln Sie a)Querkraftgleichung und Querkraftverlauf b)Momentengleichung und Momentenverlauf. c)die Position x 0 von M b max. d)den Betrag des max. Biegemoments e)das erforderliche Widerstandsmoment, f)die Querschnittsmaße b und h für ein Bauverhältnis b/h = ¾. M b max = 8,4 kNm d) W erf = 7  10 5 mm³ h = 177,6 mm, b = 133,2 mm e) f) © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 42

43 Quiz Verläufe F Q und M b Freiträger Quiz Wie würden der Querkraft- und der Momenten-Verlauf des folgenden Trägers mit gemischten Lasten aussehen? Folie 43 © Prof. Dr. Remo Ianniello

44 Fragen Freiträger 1)Wie verläuft die Querkraft eines Freiträgers, der durch eine Streckenlast beansprucht wird? Sie ist eine nicht waagerechte Gerade. 2)Welche Form hat das Moment eines solchen Freiträgers? Es hat die Form einer Parabel. 3)Woran lässt sich die Position des maximalen Biegemoments erkennen? Sie liegt an einem Nulldurchgang des Querkraft-Verlaufs. 4)Was für eine Größe gibt eine Fläche im Querkraft-Diagramm an? Sie gibt ein Biegemoment an. 5)Wie ergibt sich dadurch das maximale Biegemoment? Man berechnet die Fläche zwischen Querkraft und x-Achse von der Nullstelle (x E ) aus bis zum Trägerende. 6)Wie erhält man die Position des maximalen Biegemoments analytisch? Durch Ableiten der Momentengleichung und anschießendem Null setzen. Folie 44 © Prof. Dr. Remo Ianniello

45 Übungs-Aufgaben © Prof. Dr. Remo IannielloFreiträger Folie 45

46 Maße © Prof. Dr. Remo IannielloFreiträger Folie 46 Gurtplatten Ein vorhandener Biegeträger aus 2 U-Profilen ist durch Aufschweißen von Gurtplatten so zu verstärken, dass er ein maximales Biegemoment von 1,68 · 10 5 Nm bei einer zulässigen Spannung von 140 N/mm² und einer Gurtplattendicke von s = 20 mm aufnehmen kann. Gesucht: Plattenbreite b. {Lösung: b = 177 mm}

47 Lösung Maße © Prof. Dr. Remo IannielloFreiträger Folie 47

48 Tabelle schmaler I-Träger Freiträger Folie 48 © Prof. Dr. Remo Ianniello


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