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Biegung von Freiträgern

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Präsentation zum Thema: "Biegung von Freiträgern"—  Präsentation transkript:

1 Biegung von Freiträgern
© Prof. Dr. Remo Ianniello

2 Biegemoment Schnittgrößen Mehrere Einzelkräfte Streckenlasten Mischlasten
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3 Einleitung Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello

4 Freiträger Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello

5 Worum geht es? Ein Freiträger soll so stabil ausgelegt werden, dass er der Belastung stand hält. I N T R O Dicke, Höhe und Länge des Trägers sollen ausreichend dimensioniert sein, abhängig von dem verwendeten Material (hier: Stahl) der zu erwartenden Belastungsart (hier: Biegung) dem zu erwartenden Lastfall (hier: statisch) Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

6 Herausforderung I N T R O Wie die maximale Belastung ermitteln ?
Wie daraus die Abmessungen berechnen ? I N T R O Zu groß dimesionert → zu viel Material → zu teuer Zu klein dimensioniert → instabil → gefährlich Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello

7 W ist je nach Trägergröße und Werkstoff in Tabellen zu finden.
Lösungs-Strategie Der Träger wird auf Zug/Biegung belastet. Die Kraft erzeugt ein Biegemoment Mb. Mb erzeugt eine Biegespannung σb. σb ist abhängig vom Widerstandsmoment W. Die Gleichung dazu ist: W muss so groß sein, dass σb ≤ σb zul . W ist abhängig von den Abmessungen des Träger-Querschnitts. Die Abmessungen sind passend zu wählen. Zug/ σb zul ist je nach Werkstoff und Lastfall in Tabellen zu finden. I N T R O W ist je nach Trägergröße und Werkstoff in Tabellen zu finden. Mb max bestimmen σb zul aus Tabelle suchen Mb max und σb zul in Werf = Mb/ σb zul setzen Formel von Werf  Maße Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

8 Biegemoment Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello

9 Ein “Freiträger” ist ein einseitig eingespannter Träger.
Biegemoment Moment Ein Junge versucht, eine Sechskant-Mutter mit Hilfe eines Schraubenschlüssels anzuziehen. Er greift den Schlüssel in der Mitte (r = 20 cm) und zieht unter einem Winkel von 30° zum Lot. Wie groß ist das Moment, das der Junge mit seiner Kraft von 120 N auf die Mutter ausübt? M = r x F = r F sin(φ) = 20,78 Nm Wirkt ein Moment nur auf die Mutter oder auch im Schaft zwischen Hand und Mutter? An jeder Stelle x im Schaft wirkt ein Mb = rxxF An welcher Stelle ist das Drehmoment maximal? An der Stelle mit dem größten Hebelarm: in der Mutter. Ein “Freiträger” ist ein einseitig eingespannter Träger. F rx 60° Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

10 Biegemoment Moment .Die Mutter sitzt sehr fest; sie kann vom Jungen nicht gelöst werden. Wie lässt sich das Moment an der Schraube vergrößern? Arnold S. holen, Kraft vergrößern, Verlängerung des Hebelarms r Winkel zwischen Wirklinie F und r auf 90° bringen. Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

11 Biegemoment Sprungbrett
Ein stämmiger Herr steht im Schwimmbad auf dem Einer. Durch seine Gewichtskraft von 0,8kN übt er ein Moment auf die Querschnitte des Sprungbretts aus. Formulieren Sie eine allgemeine Gleichung, mit der sich das Moment berechnen lässt, das im Abstand L vom sportlichen Herrn im Querschnitt wirkt. An welcher Stelle wirkt das größte Moment? Durch das Moment wird das Sprungbrett verformt. Welcher Art ist die Verformung? Um was für eine Art von Moment handelt es sich? a) Schnittgrößen: Mb = -(L-x) FG b) In der Wand am linken Ende c) Verformung = Biegung → Biegemoment Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

12 Biegemoment Sprungbrett
In den Randfasern des Sprungbretts wirkt die Biegespannung. Die obere Randfaser wird gestreckt, die untere gestaucht. Wie ist der formelmäßige Zusammenhang zwischen dem Moment Mb und der Spannung b ? Würde sich die Spannung in der Randfaser ändern, wenn das Brett dicker oder dünner wäre? Ändert sich das Widerstandsmoment im Brettquerschnitt mit wachsender Entfernung vom sportlichen Herrn? e) Ja. Dicker → kleinere Spannung f) Nein. W ist von der Querschnitts- Geometrie abhängig. Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

13 Abmessungen Der Gabelstapler- Kranarm hat eine L1 = 2 m lange Verlängerung mit dem Querschnitt 20 x An ihm hängt eine beladene Palette mit 203,874 kg. L2 = 2,3 m. F Wie groß ist das Biegemoment Mb an der Stelle A? Wie groß ist die Biegespannung σb bei A? Wie groß ist für S235 JR die zulässige Biegespannung σb zul? Wie groß muss demnach Werf sein? Wie groß sollte die Höhe h gewählt werden? Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

14 Biegemoment Tabelle erstellen Wie groß sind die Biege-
-momente in den Abschnitten 1 bis 5 ? -spannungen in den Abschnitten ? erstellen Sie eine Momentengleichung, damit man das Moment an einer beliebigen Stelle x auf Anhieb bestimmen kann. Beim Freiträger tritt Mb max an der Einspannstelle auf. Biegemoment und Biegespannung steigen über die Trägerlänge linear an. Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

15 Abmessungen Quadratstahl
Ein Freiträger soll bei l = 350 mm und quadratischem Querschnitt eine Einzellast von 4,2 kN aufnehmen. Die zulässige Biegespannung soll 120 N/mm² betragen. Gesucht: das maximale Biegemoment, Mb max = Nm das erforderliche Widerstandsmoment, W = mm³ die Seitenlänge a des flachliegenden Quadratstahles, a = 41,89 mm die Seitenlänge a1 eines über Eck ge- stellten Quadratstahles. a1 = 47 mm welche Ausführung ist wirtschaftlicher? Die Ausführung mit a erfordert weniger Material. Wirtschaftlicher ist ein flach liegender Quadratstahl. Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

16 Schnittgrößen Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello

17 Schnittmethode Normalkraft, Längskraft Biege- Moment Querkraft
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18 Schnittmethode Wenden Sie die Schnittmethode an folgendem Träger an, indem Sie den linken Teil des Trägers frei schneiden: LageplanTräger Schnittgrößen Momenten-Verlauf Querkraft-Verlauf Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

19 Schnittmethode Freiträger mit Einzellast
Machen Sie den Freiträger frei. Bestimmen Sie die Auflagergrößen. F = 130 N, l = 2m Schneiden Sie den Freiträger an einer beliebigen Stelle x und tragen Sie die Schnittgrößen Mb(x) und FQ(x) an das linke Schnittufer an. Gesucht ist eine allgemeine Gleichung für den Verlauf des Momentes Mb; erstellen Sie dazu eine Momenten-Bilanz. Erstellen Sie eine Gleichung für den Verlauf der Querkraft FQ(x). Stellen Sie den Verlauf von Mb(x) und FQ(x) graphisch dar. Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

20 Schnittmethode Eingeprägtes Moment
Schneiden Sie den Freiträger einmal vor und einmal hinter der Mitte, wo ein Moment eingebracht wird. Für beide Schnitte ist die Querkraft- und die Momenten- Gleichung gesucht. P = 100 N, M = 800 Nm, l = 2m Bestimmen Sie dazu zunächst die Randbedingungen; hier also das Halte-Moment MW der Wand. Skizzieren Sie die beiden Schnitte, indem Sie den linken Teil freimachen. Stellen Sie die Gleichung für die beiden Querkraft-Verläufe auf. Wie sehen die Gleichungen für die Momenten-Veräufe aus? Skizzieren Sie die Verläufe von Mb(x) und FQ(x). [Quelle: Hibbeler, Techn. Mech. Bd.1] Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

21 Mehrere Einzelkräfte Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello

22 Mehrere Einzelkräfte 1m - Brett
An ein 1m-Brett hängen sich nacheinander mehrere Personen. Jede Person übt ein Moment Mi = Fi li aus. Welche Stelle des Brettes ist durch die Gewichtsmomente am meisten belastet? Wie lässt sich das maximale Gesamtmoment berechnen? Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

23 Schnittmethode Eingeprägte Kraft
Für den Träger ist die Querkraft- und die Momenten-Gleichung gesucht. P = 400 N, F = 100 N, l = 1 m Bestimmen Sie dazu zunächst das Moment MW und die Kraft FW der Wand. Schneiden Sie den Freiträger links von der Stelle, an der die Kraft F eingebracht wird. Machen Sie den linken Teil frei. Stellen Sie die Gleichung für den Querkraft-Verlauf auf. Wie sieht der Momentenverlauf Mb(x1) aus? Schneiden Sie den Freiträger rechts von der Kraft F. Machen Sie den linken Teil frei. Stellen Sie die Gleichung für den Querkraft-Verlaufe auf. Wie sieht die Gleichung für den Momenten-Verauf Mb(x2) aus? Skizzieren Sie die kombinierten Verläufe von Mb(x) und FQ(x). Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

24 Geradengleichungen Drei Kräfte
Ein Freiträger mit einem axialen Widerstandsmoment von Wx = 64.700 mm3 wird durch drei Einzelkräfte belastet. Wie lautet die Geradengleichung für diese Momente? Stellen Sie eine Tabelle auf, in der für die drei Fälle die verschiedenen Steigungen m und der y-Achsen- durchgang b eingetragen ist. m = M/x b = Mmax 3 - 2,5103 Nm/m 500 Nm 2 - 4103 Nm/m 3.600 Nm 1 - 3103 Nm/m 3.150 Nm Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

25 Geradengleichungen Drei Kräfte
Verwenden Sie probeweise die Werte für Mb1(x) für einen Abstand von x = 10 mm. Wie groß ist das Biegemoment an dieser Stelle des Trägers? Die Einzelmomente, die an einer Stelle x wirken, werden addiert und ergeben das Gesamtmoment an dieser Stelle. Wie groß ist das Gesamtmoment an der Angriffsstelle von F3 , also bei x = 200mm? Wie groß ist die maximale Biegespannung ? Mb1(10) = Nm Mb(20) = Nm b,max = N/mm² Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

26 Geradengleichungen Freiträger IPB 180
Ein Freiträger IPB 180  DIN 1025-S235JR wird durch drei Einzelkräfte belastet. x-Ache = Biegeachse Gesucht: die maximalen Mi und damit den Verlauf des Biegemoments. die Gleichungen für die Biegemomente die max. Biegespannung max Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

27 Querkraft-Diagramm Querkraft-Diagramm für Einzelkräfte
Beim Freimachen des Trägers wird die Wand durch die Kraft FWand ersetzt, und der Träger wird durch einen waagerechten Strich symbolisiert. Im Achsenkreuz des Diagramms werden die Kraftvektoren an ihrem Ort x belassen. Man verfolgt von links nach rechts die Höhe der linksseitig wirkenden Kraftsumme. Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

28 Querkraft-Diagramm X X X X Bedeutung des Querkraft-Diagramms
Gegeben ist ein Freiträger nach DIN 1025-S235JR-I 80, der durch drei Einzelkräfte belastet wird. Es soll ein Querkraft-Diagramm erstellt werden. Man erstellt dann aus den Flächen des Querkraft-Diagramms auf folgende Weise den Momenten-Verlauf. 1.900 Nm 1.900 Nm Mb 7.250 Nm X 5.350 Nm X 450 Nm 4.900 Nm 4.900 Nm X x X Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

29 Einzelkräfte Freiträger IPE 140 - Geradengleichungen
Ein Freiträger IPE 140 DIN 1025-S235JR wird durch zwei Einzelkräfte belastet. Gesucht: die Kraft FW in der Wand das Querkraft-Diagramm. Es sind zwei Alternativen dazu möglich. die Momente an den Stellen x = 0; und 900 mm. Zeichnen Sie die Werte in ein Momenten-Diagramm ein. Legen Sie dazu den Ursprung des Koordinatensystems ans linke Trägerende. die Gleichungen für den jeweiligen Momentenverlauf Mb(x). Schreiben Sie die Gleichungen an die jeweilige Momentengerade. Wenn die Querkraft die Ableitung des Momentes ist – was ergibt sich daraus für die Steigung m der Momenten-Geraden? Und was ergibt sich daraus für die Flächen im Querkraft-Diagramm? Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

30 Überblick Schnittmethode
𝜎 𝑏 = 𝑀 𝑏 𝑊 Träger frei machen Gesucht: Maximale Biegespannung des Trägers Ursache für die Spannung ist das Biegemoment Mb. Das maximale Moment kann aus der Schnitt- methode bestimmt werden. Schnittmethode Aus Tabelle für den jew. Werkstoff Lastfall Momenten- Gleichung Querkraft- Gleichung Momenten- Diagramm Querkraft- Diagramm Mb max Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

31 Einzelkräfte Freiträger IPE 140 - Schnittmethode
Ein Freiträger IPE 140 DIN 1025-S235JR wird durch zwei Einzelkräfte belastet. Gesucht: Schnittmethode: Schneiden Sie den Träger zwischen F1 und F2 und betrachten den linken Trägerteil. Bestimmen Sie Die Querkraft-Gleichung Q(x1) Die Gleichung für den Momentenverlauf Mb(x1) Schneiden Sie den Träger zwischen F2 und der Wand. Wie sehen die Gleichungen Q(x2) und Mb(x2) in diesem Abschnitt aus? Wie groß ist die maximale Biegespannung? Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

32 Streckenlast Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello

33 Streckenlast Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello

34 Streckenlast Lagerzapfen
Ein Lagerzapfen wird durch eine Kraft von F = 10 kN belastet, die gleichmäßig über die Zapfenlänge verteilt ist. Wie groß ist die Streckenlast q ? Wie groß ist das größte Biegemoment, wenn der Zapfen als Freiträger betrachtet wird, und man die Kraft F vereinfacht als Einzelkraft in Zapfenmitte angreifend betrachtet? Wie groß ist das größte Biegemoment, wenn man die Kräfte auf 5 gleichmäßig verteilte Einzelkräfte aufteilt? Vergleichen Sie den Momenten-Verlauf in beiden Fällen b) und c). Die Momenten-Bilanz ist: Wie groß wäre demnach Mbmax ? Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

35 Querkraft-Diagramm Querkraftdiagramm für Streckenlasten
Der Querkraftverlauf erfolgt stufenweise an jeder Einzellast. Eine Streckenlast entspricht unzähligen kleinen Einzellasten, die man zu einer Geraden zusammenfassen kann. Aus der abfallenden Gerade lässt sich eine Gleichung für 0  x  L erstellen: Die Steigung m ist die Streckenlast q, denn: 𝑚= ∆𝑦 ∆𝑥 = ∆𝐹 ∆𝑥 =𝑞 Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

36 Diagramme zeichnen Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello

37 Streckenlast n-Träger
Ein einseitig eingespannter Träger ist durch eine Streckenlast q beansprucht. a = 3 cm; d = 1 cm; q = 10³ N/m; l = 100 cm. Gesucht ist die maximale Biegespannung. b max = 136 N/mm² Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

38 Geradengleichungen Köln
Ein freitragender, 3,7 m langer Stahlträger wird durch seine Gewichtskraft belastet. Es handelt sich um einen schmalen I-Träger nach DIN 1025 – S235JR – I 240, an dem eine Nebelwarnanzeige befestigt ist. Zeichnen Sie ein gemeinsames Querkraftdiagramm für: den Träger ohne Schild / nur für das Schild / für beide zusammen. Bei welcher Querkraft liegen die y-Achsen-Schnitte? Wie sehen die Gleichungen für die drei Geraden aus ? Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

39 Mischlasten Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello

40 Mischlast Der Verlauf der Querkraft lässt sich darstellen:
analytisch → Gleichung Q(x) = … zeichnerisch → Querkraftdiagramm. Streckenlast: schräge Geraden. Einzelkräfte: Stufen. Der Verlauf des Moments lässt sich darstellen: analytisch → Gleichung Mb(x) = … zeichnerisch → Parabel-Abschnitte überlagern sich mit Geraden. Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

41 Mischlast Kastenträger
Ein symmetrischer Kastenträger wird durch eine gleichmäßig verteilte Streckenlast und eine Einzellast am freien Ende beansprucht. l = 5 m; q = 0,9 kN/m; F= 2 kN. Machen Sie den Träger frei, und ermitteln Sie die Reaktionskräfte in der Wand die Querkraftgleichung und den Querkraftverlauf die Momentengleichung und den Momentenverlauf. Position x0 und Betrag des max. Biegemoments (Mb max). Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

42 Mischlast Holzbalken Ein freitragender Holzbalken (σbzul = 12 N/mm2 ) wird belastet durch die Einzellasten F1 = 4 kN, L1 = 0,8  m, F2 = 3 kN , L2 = 0,4  m und durch eine gleichmäßig über die Balkenlänge verteilte Streckenlast von insgesamt q = 12,5  kN/m. Ermitteln Sie Querkraftgleichung und Querkraftverlauf Momentengleichung und Momentenverlauf. die Position x0 von Mb max. den Betrag des max. Biegemoments das erforderliche Widerstandsmoment, die Querschnittsmaße b und h für ein Bauverhältnis b/h = ¾. d) Mb max = 8,4 kNm e) Werf = 7105 mm³ f) h = 177,6 mm, b = 133,2 mm Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

43 Verläufe FQ und Mb Quiz Wie würden der Querkraft- und der Momenten-Verlauf des folgenden Trägers mit gemischten Lasten aussehen? Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

44 Fragen Wie verläuft die Querkraft eines Freiträgers, der durch eine Streckenlast beansprucht wird? Sie ist eine nicht waagerechte Gerade. Welche Form hat das Moment eines solchen Freiträgers? Es hat die Form einer Parabel. Woran lässt sich die Position des maximalen Biegemoments erkennen? Sie liegt an einem Nulldurchgang des Querkraft-Verlaufs. Was für eine Größe gibt eine Fläche im Querkraft-Diagramm an? Sie gibt ein Biegemoment an. Wie ergibt sich dadurch das maximale Biegemoment? Man berechnet die Fläche zwischen Querkraft und x-Achse von der Nullstelle (xE) aus bis zum Trägerende. Wie erhält man die Position des maximalen Biegemoments analytisch? Durch Ableiten der Momentengleichung und anschießendem Null setzen. Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

45 Übungs-Aufgaben Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello

46 Maße Gurtplatten Ein vorhandener Biegeträger aus 2 U-Profilen ist durch Aufschweißen von Gurtplatten so zu verstärken, dass er ein maximales Biegemoment von 1,68 · 105 Nm bei einer zulässigen Spannung von 140 N/mm² und einer Gurtplattendicke von s = 20 mm aufnehmen kann. Gesucht: Plattenbreite b. {Lösung: b = 177 mm} Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello

47 Maße Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello

48 Tabelle schmaler I-Träger
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