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Herleitung DFT DSV 1, 2005/01, Rur, DFT/FFT, 1 Spektrum zeitdiskretes Signal (periodisch) N Werte im Zeitfenster [0,N·T s ] N Werte X( f=m·f s /N ) im.

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Präsentation zum Thema: "Herleitung DFT DSV 1, 2005/01, Rur, DFT/FFT, 1 Spektrum zeitdiskretes Signal (periodisch) N Werte im Zeitfenster [0,N·T s ] N Werte X( f=m·f s /N ) im."—  Präsentation transkript:

1 Herleitung DFT DSV 1, 2005/01, Rur, DFT/FFT, 1 Spektrum zeitdiskretes Signal (periodisch) N Werte im Zeitfenster [0,N·T s ] N Werte X( f=m·f s /N ) im Frequenzbereich [0,f s ]: DFT IDFT

2 x a (t)=(1/t 0 )·e -t/to t 0 =RC=10s Frequenzbereich Zeitbereich IX a (f)I = I1/(1+j2πf·t 0 )I T DFT = 32s Δf =1/T DFT = 1/32 Hz f s =1/T s = 1 Hz T s = 1s Eigenschaften DFT: Auflösung DSV 1, 2005/01, Rur, DFT/FFT, 2

3 Eigenschaften DFT: diskret/periodisch Zeitbereich diskret (abgetastet) periodisch Frequenzbereich periodisch diskret DFT Die DFT berechnet das Spektrum der periodisch fortgesetzten, diskreten Zeitfenster-Sequenz. Zeitfenster-Sequenz DSV 1, 2005/01, Rur, DFT/FFT, 3

4 Filterfunktion DFT DSV 1, 2005/01, Rur, DFT/FFT, 4 Δf = f s /N = 200 Hz Nullstellen bei n·Δf

5 Leakage bei DFT 4.75 x 50Hz-Perioden 5 x 50Hz-Perioden 4.75 x 50Hz-Perioden Hanning-Fenster nicht normiert Unpassende Fensterlänge => Sprungstellen durch period. Fortsetzung DSV 1, 2005/01, Rur, DFT/FFT, 5

6 Windowing: 68Hz-Signal, fs = 1000Hz, N = 50 Demo: dsv1kap3_dftfft_windowing.m DSV 1, 2006/01, Rur&Hrt, DFT/FFT, 6 Fensterlänge für FFT Vielfaches der Signal-Periodendauer => Sprungstelle => Leakage => Windowing verbessert => Kompromiss?

7 Windowing: 80Hz-Signal, fs = 1000Hz, N = 50 Demo: dsv1kap3_dftfft_windowing.m DSV 1, 2006/01, Rur&Hrt, DFT/FFT, 7 Fensterlänge für FFT = Vielfaches der Signal-Periodendauer => Keine Sprungstelle => Kein Leakage => Windowing ist hier nachteilig!

8 x[0] 00 => 00 x[2] 10 => 01 x[1] 01 => 10 x[3] 11 => 11 -j j X[0] X[1] X[2] X[3] FFT twiddle factor W N =e -j2π/N hat Symmetrie: W N 2mn = W N/2 mn N/2-Punkt DFT Bit-reversed-Adressierung DSV 1, 2005/01, Rur, DFT/FFT, 8

9 Real-time Berechnung der Ausgangsfolge eines LDIS –im Zeitbereich mit diskreter Faltung bzw. Differenzengleichung –mit Hilfe von FFT und IFFT im Frequenzbereich Real-time Signalverarbeitung mit FFT FFT x[n] IFFT y[n] X[m] Y[m] H[m] = FFT{ h[n] } Multiplikation DFT-Spektren => zyklische Faltung der Zeitfolgen –Erklärung: x[n] und y[n] müssen als periodisch betrachtet werden –Zyklische Faltung: –für real-time Verarbeitung braucht es aber die lineare Faltung Trick: x- und h-Vektor mit Nullen auffüllen DSV 1, 2005/01, Rur, DFT/FFT, 9

10 Overlap-Add-Methode MMMM x[n] Segmente mit M Abtastwerten M L-M Nullen x N [n] N+1 L-N-1 Nullen h[n] L > M+N L-Punkt-FFT, Multiplikation X L [m]·H L [m], L-Punkt-IFFT L y L [n] L L MMMM y[n] overlap! DSV 1, 2005/01, Rur, DFT/FFT, 10


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