Prozesskontrolle und Prozessfähigkeit

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1 Prozesskontrolle und Prozessfähigkeit
Literatur Ledolter, Burrill, Statistical Quality Control: Kap.12: Statistical Process Control: Control Charts; Kap.13: Process Capability and Pre-Control Bergman, Klefsjö, Quality: Kap.12: 12: Control Charts; Kap.13: Capability

2 Prozesskontrolle Anwendung der Statistik zur Kontrolle (Beobachtung und Regelung) des Prozesses in Gegenwart von Prozessvariabilität Änderungen des Mittelwertes (Niveau, Level) Änderungen der Prozessvariabilität Ist der Prozess „in Kontrolle“ (stabil)? Prozesskontrolle

3 Zielsetzung der Prozesskontrolle
Rasch entdecken, wenn der Prozess „außer Kontrolle“ Qualitätsverbesserung Prozesskontrolle

4 Funnel-Experiment Lasse einen stabilen Prozess unverän-dert!
Trichter- (funnel-) Experiment: Kugel rollt durch Trichter; Ziel ist Nullpunkt, Kugel trifft im k-ten Versuch zk Strategien: Trichter unverändert Verschiebe Trichter um –zk Verschiebe Trichter nach –zk (Verschiebe Trichter nach zk) Prozesskontrolle

5 Shewhart-Karte Prozesskontrolle

6 Kontrollkarten Zeitreihen-Darstellung von Prozess- oder Produktcharakteristika Graphische Hilfe um festzustellen, ob Prozess „in Kontrolle“ Variabilität durch common (usual) causes vs. Variabilität durch special (assignable) causes Alarm => Suche nach Ursachen Mittel, den Prozess (1) besser zu verstehen und (2) zu verbessern Prozesskontrolle

7 Bedeutung der Kontrollkarten
Anwendung heißt: Analyse des Prozesses oder Produktes Produktentstehung ist wichtiger als Produkt (Deming: „nur 6% der Fehler durch special causes“) Einfache Technik Prozesskontrolle

8 Anwendung der Kontrollkarte
Das Beantworten der zu lösenden Fragen gibt wichtige Einsichten: Was (welche Charakteristika) soll kontrolliert werden? Welche Standards sind zu erfüllen? Welche Messungen? Welcher Messvorgang? Welche Verarbeitung der Messungen? Prozesskontrolle

9 Prozess- vs. Annahmekontrolle
Prozesskontrolle (PK) reduziert Fehler und Kosten, Annahmekontrolle (AK) kommt zu spät PK gibt Hinweise auf Ursachen für Mängel, bei AK kaum rekonstruierbar PK erlaubt Verbesserungen PK erlaubt Anpassen an Anforderungen PK erlaubt Robustifizierung Prozesskontrolle

10 Kontrollkarten bei Dienstleistungen
Anwendungen bei IBM Kingston Vorschlagswesen (Dauer bis zur Reaktion auf Vorschlag) Medizinische Einstellungsuntersuchung (Dauer) Auftragsabwicklung (Anzahl der Fehler) Etc. Prozesskontrolle

11 Typen von Kontrollkarten
Mittelwerts-Karte ( Karte) s-Karte (Standardabweichung) R-Karte (range) c-Karte (counts) p-Karte (proportion) Für metrische Merkmale: Mittelwerts-, s- und R-Karte: Mittelwert und Variabilität müssen kontrolliert werden! Prozesskontrolle

12 Aufbau einer Kontrollkarte
Mittellinie (center line) untere Kontrollgrenze (lower control limit, LCL) obere Kontrollgrenze (upper control limit, UCL) Als Kontrollgrenzen sind 3s-Grenzen üblich (siehe unten) Prozesskontrolle

13 Verwendung einer Kontrollkarte
In regelmäßigen Intervallen: Ziehen einer Stichprobe (n=4 oder 5) Für k-te Stichprobe: MWk, sk, Rk Eintragen in Kontrollkarten Prozesskontrolle

14 Beispiel: Mittelwerts-Karte
nach zGWS gilt (näherungsweise): bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Mittelwerte im Intervall Ersetzen von m durch , s durch gibt Prozesskontrolle

15 Beispiel: Mittelwerts-Karte, Forts.
Alternativ schreiben wir mit A3 (aus der Tabelle) Die Größen und werden in der Initialisierungsphase ermittelt Prozesskontrolle

16 s-Karte Bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Standardabweichungen sk zwischen B3 und B4 aus der Tabelle Prozesskontrolle

17 R-Karte Bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Spannweiten Rk zwischen
D3 und D4 aus der Tabelle ist der Mittelwert der Rk aus der Initialisierungsphase R-Karte ist einfacher, s-Karte zeigt eher Änderung an Prozesskontrolle

18 Bewertung von Kontrollkarten
Lauflänge (run length) RL: Zahl der Stichprobenwerte, bis eine Kontrollgrenze überschritten wird (die Kontrollkarte einen Alarm gibt) Wahrscheinlichkeitsverteilung von RL: P(RL=k) = (1-w)k-1w, k = 1, 2, ... mit w = P(Stichprobenwert liegt außerhalb Kontrollgrenzen) Prozesskontrolle

19 ARL, mittlere Lauflänge
ARL (average run length) ARL = E(RL) = 1/w Prozesskontrolle

20 Beispiel: Mittelwerts-Karte
Prozess in Kontrolle mit m0 und s w = 1  P(LCL   UCL) = und ARL = 1/ = 370 Prozess außer Kontrolle: m = m0 + ds w = 1  P( 3  dn  Z  3  dn) Prozesskontrolle

21 Praxis der Kontrollkarten
Konstruktion: Auswahl des Stichproben-Intervalls Auswahl des Stichproben-Umfanges Art der Stichprobe Verwendung: Kleiner Stichproben-Umfang (4 oder 5): toleriert kleine d Kosten für (1) einzelne Messung, (2) Unterbre-chung des Prozesses, (3) nicht entdecktes out-of-control Produkt Stichproben unter homogenen Bedingungen Prozesskontrolle

22 Kontrollkarten für Attribute
p- und np-Karte: zur Kontrolle des Anteils von defekten Stücken c-Karte: bei komplexen Produkte (zB ganzer PKW): zur Kontrolle der Anzahl der Defekte (nonconformities) an einem geprüften Stück u-Karte: wie c-Karte, aber auf Einheit bezogen; i-te Stichprobe umfasst ni Einheiten Prozesskontrolle

23 Variablen- vs. Attributkontrolle
Variablenkontrolle: berücksichtigt mehr Information reagiert „rechtzeitig“ kleinere Stichproben Attributkontrolle auch auf metrisch-skalierte Variable anwendbar (brauchbar ja/nein) einfacher mehrere Merkmale gemeinsam robuster Prozesskontrolle

24 Mittelwerts-Karte mit Warngrenzen
Bedingungen für „außer Kontrolle“ eine Beobachtung außerhalb 3s-Grenze mindestens zwei von drei Beobachtun-gen in Reihe ober- oder unterhalb CL und außerhalb 2s-Grenze mindestens vier von fünf Beobachtun-gen in Reihe ober- oder unterhalb CL und außerhalb 1s-Grenze mindestens acht Beobachtungen in Reihe ober- oder unterhalb CL Prozesskontrolle

25 Warngrenzen: weitere Bedingungen
mindestens 15 Beobachtungen in Reihe innerhalb 1s-Grenze ("hugging") mindestens 15 Beobachtungen in Reihe außerhalb C ("Misch"-Prozess) lange Folge von hoch-tief Beobachtungen ("Sägezahn") Zyklen, Trend Prozesskontrolle

26 Effekte der Warngrenzen
Prozess außer Kontrolle wird rascher entdeckt (ARL kleiner) Achtung! Auch ARL bei Prozess in Kontrolle wird kleiner! Prozesskontrolle

27 Beispiel: Mittelwertskarte
Entscheidung nach 1.: ARL(0) = 370 ARL(s) = 33.9 Entscheidung nach 1. bis 4.: ARL(0) = 100 ARL(s) = 9 Prozesskontrolle

28 Prozessüberwachung Ermittlung von und nur mit Beobachtungen aus Prozess in Kontrolle Kontrollgrenzen nachjustieren! Beispiel: Gewicht von Brotlaiben Aus Beobachtungen 1 bis 25: = kg, = 1.74 kg, LCL = 98.44, UCL = Aus Beobachtungen 1 bis 20: = kg, = 1.70 kg, LCL = 97.74, UCL = Prozesskontrolle

29 Spezielle Kontrollkarten
Kontrollkarten für Einzelwerte Gleitende Spannweiten (moving range, MR) Karte: MRi = |xi-xi-1|, i = 1, 2, ..., LCL = 0, UCL = MR-bar Karte für individuelle Beobachtungen, LCL =  3 (MR-bar/1.128), UCL = … CUSUM-Karte EWMA-Karte (l: Glättungsparameter) EWMAi = l xi + (l -l) EWMAi-1 Prozesskontrolle

30 EWMA- und CUSUM-Karten
Vorteil: kleines ARL bei kleinen Störungen Nachteil: komplizierter Prozesskontrolle

31 Neuere Entwicklungen Kontrollkarten für seriell korrelierte Qualitäts-Charakteristika Kontrollkarten für multivariate Qualitäts-Charakteristika Kosten-optimale Kontrollkarten Prozesskontrolle

32 Prozessfähigkeit Fähigkeit des (Produktions-) Prozesses, die Anforderungen des Kunden zu erfüllen Anforderungen des Kunden Zielwert (Tg, target value) Untere Spezifikationsgrenze (LSL, lower specification limit) Obere Spezifikationsgrenze (USL, upper specification limit) Prozesskontrolle

33 Prüfen der Prozessfähigkeit
Graphische Darstellung des Prozesses zB Histogramm: optischer Eindruck der Prozessfähigkeit des Anteils, der die Anforderungen nicht erfüllt Fähigkeitsindizes Pre-control Karte Prozesskontrolle

34 Fähigkeitsindizes sind Indexzahlen, die das Ausmaß messen, in dem ein Prozess die Anforderungen des Kunden erfüllt. Cp-Fähigkeitsindex Cpk- Fähigkeitsindex Cpm- Fähigkeitsindex CR- Fähigkeitsindex Engl.: capability indices Prozesskontrolle

35 Cp-Fähigkeitsindex Cp = (USL − LSL)/(6s)
misst die zulässige Streuung des Prozesses als Anteil an der tatsächlichen Streuung Prozesskontrolle

36 Cp-Fähigkeitsindex: Beispiel
Normalverteilte Qualitätsvariable wenn m = Tg, enthält der ±3s-Bereich 99.73% der Produkte Cp = 1 bedeutet: 0.27% sind defekt wenn m = Tg Achtung! Cp sagt nichts darüber aus, wie groß der Anteil der defekten tatsächlich ist! Prozesskontrolle

37 Cp und Anteil der Defekten
Bereich Def.ppm 1.00 ±3s 1.33 ±4s 63.37 1.67 ±5s 0.57 2.00 ±6s 0.002 Prozesskontrolle

38 Cp-Fähigkeitsindex: Forts.
Viele Unternehmen verlangen ein Cp von 1.33! Schätzung von Cp: s wird durch s ersetzt Cp-hat = (USL − LSL)/(6s) Beispiel: Cp-hat(Breite) = ( )/6(0.008) = 1.25; Cp-hat(Stärke) = ( )/6( ) = 1.19. Prozesskontrolle

39 Cpk-Fähigkeitsindex Cpk = Min {USL − m, m − LSL}/(3s)
geschätzter Cpk: m und s werden durch x-bar und s ersetzt Cpk-hat = Min {USL − x-bar, x-bar − LSL}/(3s) Prozesskontrolle

40 Cpk-Fähigkeitsindex: Beispiel
Cpk-hat(Breite) = Min{ , }/3(0.008) = Min {0.0353, }/0.024 = 1.03 Cpk-hat(Stärke) = Min { , }/3( ) = 1.10. Prozesskontrolle

41 Cpm-Fähigkeitsindex Cpm = (USL − LSL)/(6s*)
mit (s*)2 = s 2 + (m − Tg)2 Es gilt Cpm = Cp /√[1 + (m − Tg)2/ s 2] je größer |m − Tg|, umso kleiner wird Cpm gegenüber Cp Prozesskontrolle

42 Cpm-Fähigkeitsindex: Schätzung
Cpm-hat = (USL − LSL)/(6s*) mit (s*)2 = Si (xi − Tg)2/(n − 1), oder Cpm-hat = (USL − LSL)/{6√[s2 + (x-bar − Tg)2]} Prozesskontrolle

43 Cpm-Fähigkeitsindex: Beispiel
Cpm-hat(Breite) = (4.03−3.97)/ {6√[(0.008)2 + (3.9947−4.00)2]} = 1.04 Cpk-hat(Stärke) = (0.265−0.235)/ {6√[( )2 +( −0.25)2]} = 1.15. Prozesskontrolle

44 CR-Fähigkeitsindex, Target-Z
Fähigkeitsverhältnis (capability ratio) CR = 1/Cp Anteil der zulässigen Streuung des Prozesses, den die tatsächliche Streuung ausnützt Target-Z: Maß für Abweichung zwischen m und Tg Target-Z = (Tg − m)/s Prozesskontrolle

45 CR-Fähigkeitsindex, Target-Z
CR und Target-Z gemeinsam erlauben die Beurteilung der Prozessfähigkeit je kleiner CR und je kleiner |Target-Z|, umso besser Beispiel: Procter & Gamble: CR < 0.75 (entspricht Cp > 1.33); |Target-Z| < 0.5 (m muss innerhalb von s /2 von Tg liegen) Prozesskontrolle

46 CR und Target-Z: Beispiel
CR-hat(Breite) = 0.8 Target-Z-hat(Breite) = (4.00−3.9947)/(0.008) = 0.66 CR-hat(Stärke) = 0.84 Target-Z-hat(Stärke) = (0.25− )/( ) = 0.25 Prozesskontrolle

47 Six Sigma Teil des TQM-Konzepts von Motorola Anforderungen:
s so, dass LSL und USL mindestens 6s von Tg (USL−Tg, Tg−LSL ≥ 6s) m höchstens 1.5s von Tg (|m – Tg| < 1.5s) Prozess mit normalverteilter Qualitäts-variabler produziert maximal 3.4 defekte Stücke per Million! Prozesskontrolle

48 Six Sigma: Forts. Bei X ~ N(Tg + 1.5s, s 2) P(defektes Stück)
= 1 – P(Tg−6s  X  Tg+6s) = 1 – P(-7.5  X  4.5) 1 – (4.5) = Beachte! Cp=2; Cpk = 1.5, wenn m = Tg + 1.5s Prozesskontrolle

49 Fähigkeitsindizes in der Praxis
Gutes Instrument zur Dokumentation Wahl von LSL und USL entscheidend Normalverteilungsannahme Stabiler Prozess vs. fähiger Prozess Schätzung der Fähigkeitsindizes Prozesskontrolle

50 Normalverteilungsannahme
Bei Nichtzutreffen irreführend! Beispiel X ~ U(-1, 1), so dass m = 0, s = 0.577 seien LSL = -1.5, USL = 1.5 die Wahrscheinlichkeit für defekte Produktion ist Null! Aber Cp = 3/(6*0.577) = 0.87! Achtung! Bei light-tail Verteilungen ist der Prozess fähiger, als es Fähigkeitsindizes anzeigen; und umgekehrt. Prozesskontrolle

51 Schätzung der Fähigkeitsindizes
einfache Stichprobe nicht ausreichend aus Prozesskontrolle: (n) (A3) (s-bar)/3 oder (n) (A2) (R-bar)/3 als Schätzer für s (besser als s-bar!) x-barbar als Schätzer für m Voraussetzung: stabiler Prozess! Prozesskontrolle

52 Konfidenzintervall für Cpk
Cpk {1 ± 2√[1/(9nCpk2)+1/(2(n-1))]} n: Zahl der Beobachtungen zum Schätzen von Cpk Voraussetzung: Normalverteilter Prozess Prozesskontrolle

53 Pre-Control Karte Kontrolle der Fähigkeit; analog zur Mittelwertskarte
CL: Tg PC-lines: Tg ± |USL- Tg|/2 schließen grüne Zone ein Gelbe Zonen: PC-line bis LSL bzw. USL Rote Zonen: außerhalb LSL bis USL Prozesskontrolle

54 Pre-Control Karte: Verfahren
Probelauf (PLauf): 5x in GrZ: Beginne Standardprüfung Wiederhole, wenn 1x in GeZ Justiere, wenn 2x in GeZ oder 1x in RZ Standardprüfung: Ziehen von Paaren 2 in GrZ oder je 1x in GrZ und GeZ: OK 2 in gleicher GeZ: justiere Niveau, PLauf 2 in versch. GeZ: justiere Prozess, PLauf ≥1 in RZ: justiere Prozess, PLauf Prozesskontrolle