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Die zerbrochene Scheibe

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Präsentation zum Thema: "Die zerbrochene Scheibe"—  Präsentation transkript:

1 Die zerbrochene Scheibe

2 Die zerbrochene Scheibe
Bei Barts letzter Skateboardtour ging leider eine Glasplatte zu Bruch. Aus dem Reststück soll eine rechtwinkelige Glasplatte gefertigt werden. 60 cm 100 cm 10 cm 4 cm

3 Wie geht man vor, wenn die Platte einen möglichst großen Flächeninhalt haben soll?

4 Grundsätzlich wichtig:
Welt der Mathematik Reale Welt

5 Übersetzung in die Welt der Mathematik
60 cm 100 cm 10 cm 4 cm Zeichnung zur Unterstützung anfertigen y x „Gesucht ist das Maximum der Rechteckfläche“

6 „Zielfunktion“ aufstellen (1)
60 cm 100 cm 10 cm 4 cm y x A(x,y) = x ∙ y (auch „Extremalbedingung“) A(x,y) ist eine Funktion, die von zwei Variablen abhängt. Damit können wir schlecht rechnen.

7 Zielfunktion aufstellen (2) Welcher Zusammenhang besteht zwischen x und y ? (Ziel: wir wollen y durch einen Term mit x ersetzen) Der Eckpunkt P (x/y) liegt auf einem Geradenstück der Geraden g mit: ? Es gilt: (Nebenbedingung)

8 „Zielfunktion“ aufstellen (3)
100 cm 10 cm 4 cm Wir wissen: 60 cm x y und Einsetzen liefert: A(x) ist nur noch von x abhängig.  Also ist: (Zielfunktion)

9 Wann ist nun der Flächeninhalt maximal?
Extremum der Zielfunktion bestimmen Wann ist nun der Flächeninhalt maximal? Bestimmung der Extremstelle: 120 ist die Nullstelle der 1. Ableitung. 120 ist eine Extremstelle von A(x). (hinr. Bed. bzw. Zeichnung)

10 Ist das nun die Lösung? Passt unsere errechnete Lösung zum realen Problem?

11 Wir erinnern uns: Wir suchten optimale x- und y-Werte für unsere Glasplatte. 100 cm 10 cm 4 cm y 60 cm x Als optimalen Wert erhielten wir x = 120.

12 Was ist passiert? Der Graph der von uns bestimmten Zielfunktion besitzt an der Stelle 120 eine Extremstelle . 120 liegt aber nicht in der Definitionsmenge für die x-Werte. x ist mindestens 0 und höchstens 100!

13 100 cm 10 cm 4 cm y 60 cm x

14 Was ist passiert? Der Graph der von uns bestimmten Zielfunktion besitzt an der Stelle 120 eine Extremstelle . 120 liegt aber nicht in der Definitionsmenge für die x-Werte. x ist mindestens 0 und höchstens 100! In der Zeichnung erkennt man, dass an der Stelle 100 ein Randextremum vorliegt. Für x = 100 beträgt der Flächeninhalt 5600 cm². (Für x = 0 ist er 0 cm²)

15 Zusammenfassung 1. Übertragen in die Welt der Mathematik (ggf. Zeichnung) 2. Zielfunktion aufstellen: - Extremalbedingung aufstellen: A(x,y) = x ∙ y - Nebenbedingung aufstellen (Ziel: Wir wollen eine Variable in der Extremalbedingung loswerden.) - Nebenbedingung in die Extremalbedingung einsetzen, damit die Zielfunktion nur eine Variable hat (Definitionsmenge/zulässigen Bereich angeben) x[0;100] 3. Extremstellen berechnen (relative Extrema, Randextrema) 4. rechnerische Lösung an realem Problem überprüfen (Definitionsmenge, rel. Extrema, Randextrema, absolutes Extremum) 5. Lösung angeben

16 Zusammenfassung Welt der Mathematik Reale Welt

17 Drei Fragen Wie hängen Extremalbedingung und Zielfunktion zusammen?
Was sind die einzelnen Schritte bei dieser Art der Extremwertberechnung? Wozu dient die Nebenbedingung?

18 Aufgaben S Beispielaufgabe durcharbeiten S. 130 „Strategie zum Lösen von Extremwertaufgaben“ kennen Aufgaben des Lernzirkels Basic S. 131 Nr. 6, 8 Top S. 132 Nr. 21

19 Autoren Anke Braun, Katrin Kipp Göde Klöppner 2006


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