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Die zerbrochene Scheibe. Bei Barts letzter Skateboardtour ging leider eine Glasplatte zu Bruch. Aus dem Reststück soll eine rechtwinkelige Glasplatte.

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Präsentation zum Thema: "Die zerbrochene Scheibe. Bei Barts letzter Skateboardtour ging leider eine Glasplatte zu Bruch. Aus dem Reststück soll eine rechtwinkelige Glasplatte."—  Präsentation transkript:

1 Die zerbrochene Scheibe

2 Bei Barts letzter Skateboardtour ging leider eine Glasplatte zu Bruch. Aus dem Reststück soll eine rechtwinkelige Glasplatte gefertigt werden. 60 cm 100 cm 10 cm 4 cm Die zerbrochene Scheibe

3 Wie geht man vor, wenn die Platte einen möglichst großen Flächeninhalt haben soll?

4 Welt der Mathematik Reale Welt Grundsätzlich wichtig:

5 Übersetzung in die Welt der Mathematik 60 cm 100 cm 10 cm 4 cm x y Gesucht ist das Maximum der Rechteckfläche Zeichnung zur Unterstützung anfertigen

6 Zielfunktion aufstellen (1) 60 cm 100 cm 10 cm 4 cm x y A(x,y) = x y (auch Extremalbedingung) A(x,y) ist eine Funktion, die von zwei Variablen abhängt. Damit können wir schlecht rechnen.

7 ? Zielfunktion aufstellen (2) Welcher Zusammenhang besteht zwischen x und y ? (Ziel: wir wollen y durch einen Term mit x ersetzen) Der Eckpunkt P (x/y) liegt auf einem Geradenstück der Geraden g mit: Es gilt: (Nebenbedingung)

8 Wir wissen: Also ist: (Zielfunktion) und Einsetzen liefert: 100 cm 10 cm 4 cm 60 cm x y A(x) ist nur noch von x abhängig. A(x) ist nur noch von x abhängig. Zielfunktion aufstellen (3)

9 Wann ist nun der Flächeninhalt maximal? Bestimmung der Extremstelle: 120 ist die Nullstelle der 1. Ableitung. 120 ist eine Extremstelle von A(x). (hinr. Bed. bzw. Zeichnung) Extremum der Zielfunktion bestimmen

10 Ist das nun die Lösung? Passt unsere errechnete Lösung zum realen Problem?

11 Wir erinnern uns: 60 cm 100 cm 10 cm 4 cm x y Als optimalen Wert erhielten wir x = 120. Wir suchten optimale x- und y-Werte für unsere Glasplatte.

12 Was ist passiert? Was ist passiert? Der Graph der von uns bestimmten Zielfunktion besitzt an der Stelle 120 eine Extremstelle. 120 liegt aber nicht in der Definitionsmenge für die x-Werte. x ist mindestens 0 und höchstens 100!

13 60 cm 100 cm 10 cm 4 cm x y

14 Was ist passiert? Was ist passiert? Der Graph der von uns bestimmten Zielfunktion besitzt an der Stelle 120 eine Extremstelle. 120 liegt aber nicht in der Definitionsmenge für die x-Werte. x ist mindestens 0 und höchstens 100! In der Zeichnung erkennt man, dass an der Stelle 100 ein Randextremum vorliegt. Für x = 100 beträgt der Flächeninhalt 5600 cm². (Für x = 0 ist er 0 cm²)

15 Zusammenfassung 1. Übertragen in die Welt der Mathematik (ggf. Zeichnung) - Nebenbedingung in die Extremalbedingung einsetzen, damit die Zielfunktion nur eine Variable hat (Definitionsmenge/zulässigen Bereich angeben) 4. rechnerische Lösung an realem Problem überprüfen (Definitionsmenge, rel. Extrema, Randextrema, absolutes Extremum) 3. Extremstellen berechnen (relative Extrema, Randextrema) 5. Lösung angeben x [0;100] 2. Zielfunktion aufstellen: - Extremalbedingung aufstellen: A(x,y) = x y - Nebenbedingung aufstellen (Ziel: Wir wollen eine Variable in der Extremalbedingung loswerden.)

16 Zusammenfassung Welt der Mathematik Reale Welt

17 Drei Fragen Wie hängen Extremalbedingung und Zielfunktion zusammen? Was sind die einzelnen Schritte bei dieser Art der Extremwertberechnung? Wozu dient die Nebenbedingung?

18 Aufgaben Aufgaben S Beispielaufgabe durcharbeiten S. 130 Strategie zum Lösen von Extremwertaufgaben kennen Aufgaben des Lernzirkels Basic S. 131 Nr. 6, 8 Top S. 132 Nr. 21

19 Autoren Anke Braun, Katrin Kipp 2005 Göde Klöppner 2006


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