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Telecooperation/RBG Technische Universität Darmstadt Copyrighted material; for TUD student use only Grundlagen der Informatik 1 Thema 6: Generative Rekursion.

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1 Telecooperation/RBG Technische Universität Darmstadt Copyrighted material; for TUD student use only Grundlagen der Informatik 1 Thema 6: Generative Rekursion Prof. Dr. Max Mühlhäuser Dr. Guido Rößling

2 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Inhaltsverzeichnis Einführung in generativ rekursive Funktionen Sortieren mittels generativ rekursiver Prozeduren Richtlinien für den Entwurf von generativ rekursiven Prozeduren Strukturelle versus generative Rekursion Backtracking-Algorithmen: Durchlaufen von Graphen 2

3 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Generative Rekursion Bisher haben wir strukturelle Rekursion verwendet, um strukturell rekursive Daten zu verarbeiten –Wir haben die Eingabedaten in ihre direkten strukturellen Komponenten zerlegt –Wir haben die Komponenten verarbeitet und die Ergebnisse kombiniert Allerdings: 1.Nicht alle Probleme lassen sich mit strukturell rekursiven Funktionen lösen 2.Auch wenn es geht, ist strukturelle Rekursion nicht immer die beste Lösung In dieser Vorlesung werden wir eine neue Funktionsart kennen lernen –Generativ rekursive Funktionen 3

4 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Generative Rekursion Teile und herrsche (Divide & Conquer) –Wenn das Problem trivial lösbar ist, wird die entsprechende Lösung zurückgeliefert –Ansonsten: Teile das Problem in neue kleinere Teilprobleme (es werden kleinere Probleme generiert) Herrsche: Die kleineren Probleme werden gelöst Kombiniere die Lösungen der kleineren Probleme zu einer Lösung für das Ursprungsproblem Design von generativ rekursiven Funktionen (Algorithmen) ist eher eine kreative Aktivität, die einen Einblick braucht – ein Heureka, ich hab's!. 4

5 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Modellieren eines Balls, der auf dem Tisch rollt… Aufgabenbeschreibung –Der Ball rollt mit einer konstanten Geschwindigkeit, bis er von der Tischkante herabfällt –Den Tisch stellen wir als einen Fl ä che mit einer festgelegten Länge und Breite dar –Den Ball stellen wir als eine Scheibe dar, welche sich auf der Fl ä che bewegt –Bewegung stellen wir durch die Wiederholung folgender Schritte dar: Zeichne die Scheibe in der aktuellen Position auf der Fl ä che Warte eine bestimmte Zeitperiode Lösche die Scheibe von der aktuellen Position Verschiebe sie an die aktuelle Position 5

6 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 ;;TeachPack: draw.ss ;; structure: (make-ball number number number number) (define-struct ball (x y delta-x delta-y)) ;; draw-and-clear : a-ball -> true (define (draw-and-clear a-ball) (and (draw-solid-disk (make-posn (ball-x a-ball) (ball-y a-ball)) 5 'red) (sleep-for-a-while DELAY) (clear-solid-disk (make-posn (ball-x a-ball) (ball-y a-ball)) 5 'red))) Ballstruktur und -operationen 6

7 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Ballstruktur und -operationen 7 ;; move-ball : ball -> ball (define (move-ball a-ball) (make-ball (+ (ball-x a-ball) (ball-delta-x a-ball)) (+ (ball-y a-ball) (ball-delta-y a-ball)) (ball-delta-x a-ball) (ball-delta-y a-ball))) ;; Dimension of surface (define WIDTH 100) (define HEIGHT 100) ;; Delay constant (define DELAY.1)

8 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Das Rollen des Balls 8 Um den Ball einige Male zu verschieben, können wir schreiben: Das wird nach einiger Zeit langweilig. Wir brauchen eine Funktion, die den Ball verschiebt, bis er außerhalb der Grenze ist. (define the-ball (make-ball )) (and (draw-and-clear the-ball) (and (draw-and-clear (move-ball the-ball))...))

9 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Das Rollen des Balls 9 Herausfinden, ob ein Ball außerhalb der Grenze ist: Schablone für die Funktion, die den Ball verschiebt, bis er außerhalb der Grenze ist: ;; out-of-bounds? : a-ball -> boolean (define (out-of-bounds? a-ball) (not (and (<= 0 (ball-x a-ball) WIDTH) (<= 0 (ball-y a-ball) HEIGHT)))) ;; move-until-out : a-ball -> true (define (move-until-out a-ball) (cond [(out-of-bounds? a-ball)... ] [else...])) Der triviale Fall: wir geben true zurück ? true

10 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Das Rollen des Balls 10 Nachdem der Ball gezeichnet und verschoben wurde, wenden wir move-until-out wieder an: rekursive Funktion (define (move-until-out a-ball) (cond [(out-of-bounds? a-ball) true] [else (and (draw-and-clear a-ball) (move-until-out (move-ball a-ball)))])) Wir können nun die Funktion wie folgt testen: Eine Fl ä che der richtigen Größe, und ein Ball, der sich nach links unten bewegt, werden erzeugt. (start WIDTH HEIGHT) (move-until-out (make-ball )) (stop)

11 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 (define (move-until-out a-ball) (cond [(out-of-bounds? a-ball) true] [else (and (draw-and-clear a-ball) (move-until-out (move-ball a-ball)))])) Neuer Typ von Rekursion Die Prozedur move-until-out verwendet einen neuen Typ von Rekursion –Bedingungen haben nichts mit den Eingabe-Daten zu tun –Die rekursive Anwendung im Rumpf verarbeitet keinen Teil der Eingabe move-until-out generiert eine andere komplett neue Ball- Struktur und benutzt diese für die Rekursion 11 Wir haben noch kein Designrezept dafür

12 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Inhaltsverzeichnis Einführung in generativ rekursive Funktionen Sortieren mittels generativ rekursiver Prozeduren Richtlinien für den Entwurf von generativ rekursiven Prozeduren Strukturelle versus generative Rekursion Backtracking: Durchlaufen von Graphen 12

13 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Sortieren: Quicksort & Mergesort Es geht erneut um das Sortieren der Elemente einer Liste… –Wir haben schon insertion sort kennengelernt Eine strukturell rekursive Prozedur –Nun werden wir zwei andere Algorithmen zum Sortieren kennen lernen: Quicksort & Mergesort Klassische Beispiele für generative Rekursion Basieren auf der "Teile & Herrsche"-Idee 13

14 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 [Erinnerung: insertion sort ] 14 ;; sort : list-of-numbers -> list-of-numbers ;; creates a sorted list of numb. from numbers in alon (define (insertion-sort alon) (cond [(empty? alon) empty] [else (insert (first alon) (sort (insertion-sort rest alon)))])) an sortedunsorted

15 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Quicksort : Die Idee Der Verlauf eines beliebigen Zwischenschritts: das Sortieren einer beliebigen Subliste L 0 =(list el p … el r ) –Teile: Partitioniere L 0 in zwei (eventuell leere) Listen, L 1 = (list el p … el q-1 ) und L 2 = (list el q+1 … el r ), so dass: jedes Element aus L 1 kleiner oder gleich el q ist, jedes Element aus L 2 größer als el q ist –Herrsche: Wende die gleiche Prozedur rekursiv an, um L 1 und L 2 zu sortieren –Kombiniere: Stelle die Elemente der sortierten Listen L 1 und L 2 einfach nebeneinander 15 <= el q > el q el q Drehpunkt

16 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Quicksort : Die Idee Zwei offene Fragen bisher: –Wie wählen wir das Drehpunktelement? Wir nehmen das erste Element als Drehpunkt –Wann hören wir auf? Mit anderen Worten: Was ist der Trivialfall für Quicksort ? Die leere Liste ist immer sortiert! 16

17 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Quicksort : Vorgehensweise 1.Wähle das erste Element der Liste als Drehpunkt-Element (Pivot) 2.Bestimme die erste Teilliste mit Elementen <= Pivot 3.Sortiere diese Teilliste rekursiv mit Quicksort 4.Bestimme die zweite Teilliste mit Elementen > Pivot 5.Sortiere diese Teilliste rekursiv mit Quicksort 6.Füge die sortierten Teillisten zu einer Liste zusammen 17

18 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Quicksort at Work 18 Sortiere (list ) : 1.Wähle das erste Element von '( ) als Drehpunkt-Element:11 2.Bestimme die erste Teilliste mit Elementen <= 11: '(8 7) 3.Sortiere diese Teilliste 1.Wähle das erste Element von '(8 7) als Drehpunkt-Element: 8 2.Bestimme die erste Teilliste mit Elementen <= 8: '(7) 3.Sortiere diese Teilliste 1.Wähle das erste Element von '(7) als Drehpunkt-Element: 7 2.Bestimme die Teilliste mit Elementen <= 7: empty 3.Sortiere diese Teilliste Ergebnis empty 4.Bestimme die zweite Teilliste mit Elementen > 7: empty 5.Sortiere diese Teilliste Ergebnis empty 6.Füge (empty 7 empty) zu einer Liste zusammen -> (list 7) 4.Bestimme die zweite Teilliste mit Elementen > 8: empty 5.Sortiere diese Teilliste Ergebnis empty 6.Füge ((list 7) 8 empty) zu einer Liste zusammen (list 7 8) 4.Bestimme…

19 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Quicksort at Work 19

20 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Quicksort schematisch 20 Liste, die sortiert werden soll Sortierprozess für Partition mit Werten kleiner/gleich Drehpunkt Sortierprozess für die Partition mit Elementen größer als Drehpunkt sortierte Liste Drehpunkt (Pivot-Element)

21 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 quicksort unterscheidet zwei Fälle: –Ist die Eingabe leer, wird empty zurückgegeben –Ansonsten wird eine Rekursion durchgeführt. Jede Teilliste wird separat mit quicksort sortiert Die beiden sortierten Versionen der zwei Listen werden dann mit append kombiniert Quicksort Algorithmus 21 ;; quicksort2: (listof number) -> (listof number) (define (quicksort2 alon) (cond [(empty? alon) empty] [else (append (quicksort2 (less-or-equal (rest alon) (first alon))) (list (first alon)) (quicksort2 (greater-than (rest alon) (first alon)))) ]))

22 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Hilfsfunktionen von Quicksort 22 greater-than filtert die Elemente heraus, die größer als threshold sind: less-or-equal filtert die Elemente heraus, die kleiner als oder gleich threshold sind: (define (greater-than alon threshold) (filter1 > alon threshold))) (define (less-or-equal alon threshold) (filter1 <= alon threshold)))

23 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Auswertungsbeispiel Quicksort 23 (quicksort (list )) = (append (quicksort (list 8 7)) (list 11) (quicksort (list 14))) = (append (append (quicksort (list 7)) (list 8) (quicksort empty)) (list 11) (quicksort (list 14))) = (append (append (append (quicksort empty) (list 7) (quicksort empty)) (list 8) (quicksort empty)) (list 11) (quicksort (list 14))) =...

24 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Auswertungsbeispiel Quicksort 24 = (append (append (append empty (list 7) empty) (list 8) empty) (list 11) (quicksort (list 14))) = (append (append (list 7) (list 8) empty) (list 11) (quicksort (list 14))) = (append (list 7 8) (list 11) (quicksort (list 14))) =...

25 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 mergesort: Die Idee 25 Idee: 1.Teile die Liste in der Mitte 2.Wende die Funktion rekursiv auf die zwei Teillisten an 3.Mische die sortierten Teillisten zu einer neuen geordneten Liste zusammen

26 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Zusammenmischen von zwei geordneten Listen Gegeben sind zwei geordnete Listen ls-1 und ls-2. Wie kann man sie in einer geordneten Liste zusammenmischen? ls-1ls sorted-list Vergleichen und kopieren des kleineren Elements, dann weitergehen

27 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Zusammenmischen von zwei geordneten Listen 27 (define (merge ls1 ls2) (cond [(empty? ls1) ls2] [(empty? ls2) ls1] [(<= (first ls1) (first ls2)) (cons (first ls1) (merge (rest ls1) ls2)) ] [else (cons (first ls2) (merge ls1 (rest ls2)))] ) )

28 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 mergesort: der Algorithmus 28 (define (mergesort alon) (local ((define (merge-step left right) (cond [(>= left right) alon] [else (local ( (define mid (floor (/ (+ left right) 2))) (define left-list (mergesort (extract alon left mid))) (define right-list (mergesort (extract alon (+ mid 1) right)))) (merge left-list right-list) ) ] ))) (merge-step 1 (length alon))))

29 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 mergesort : der Algorithmus 29 (define (extract alon left right) (cond [(empty? alon) empty] [(> left right) empty] [(> left 1) (extract (rest alon) (- left 1) (- right 1))] [else (cons (first alon) (extract alon (+ left 1) right))]))

30 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Inhaltsverzeichnis Einführung in generativ rekursive Funktionen Sortieren mittels generativ rekursiver Prozeduren Richtlinien für den Entwurf von generativ rekursiven Prozeduren Strukturelle versus generative Rekursion Backtracking: Durchlaufen von Graphen 30

31 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Richtlinien für den Entwurf von generativ rekursiven Prozeduren Verstehe die Natur der Daten der Prozedur Beschreibe den Prozess bzgl. der Daten durch Entwurf einer neuen Struktur oder Partitionieren einer Liste von Zahlen. Unterscheide zwischen den Eingabe-Daten –die trivial verarbeitet werden können, und denen, –die nicht trivial verarbeitet werden können. Die Generierung von Problemen ist der Schlüssel zum Entwurf von Algorithmen Die Lösungen der generierten Probleme müssen kombiniert werden 31

32 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Zurück zu den 6 Stufen des Designs 1.Datenanalyse und –entwurf –Analysiere und bestimme Datensammlungen, welche das Problem darstellen 2.Vertrag, Absicht, Kopf (Header) –Lege fest, was die Funktion tut –Erkläre in natürlicher Sprache, wie sie funktioniert 3.Funktionsbeispiele –Zeige, wie der Algorithmus für bestimmte Eingaben verfährt 4.Vorlage –Folge einer generellen Vorlage 5.Definition –Beantworte die Fragen, die die Vorlage vorgibt 6.Testen -Teste die fertig gestellten Funktionen -Beseitige die Fehler 32

33 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Allgemeine Vorlage für generative Prozeduren 33 (define (generative-recursive-fun problem) (cond [(trivially-solvable? problem) (determine-solution problem)] [else (combine-solutions... problem... (generative-recursive-fun (generate-problem-1 problem))... (generative-recursive-fun (generate-problem-n problem)))]))

34 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Prozedurdefinition 1.Was ist ein trivial lösbares Problem und die dazugehörige Lösung? 2.Wie generieren wir neue Probleme, die leichter zu lösen sind als das ursprüngliche Problem? Gibt es ein neues Problem, das wir generieren, oder gibt es viele? 3.Ist die Lösung für das gegebene Problem die gleiche wie für die (eines der) neuen Probleme? Oder müssen wir die Lösungen kombinieren, um eine Lösung für das ursprüngliche Problem zu erstellen? Und wenn das so ist, benötigen wir dann Teile der Daten des ursprünglichen Problems? 34

35 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Terminierung strukturell rekursiver Prozeduren Bisher hat jede Funktion immer eine Ausgabe für eine gültige Eingabe produziert Die Evaluierung der strukturell rekursiven Prozeduren hat immer terminiert. Wesentliches Merkmal unseres Rezepts für strukturell rekursive Prozeduren: –Jeder Schritt der natürlichen Rekursion konsumiert eine direkte Komponente der Eingabe und nicht die Eingabe selbst Da die Daten hierarchisch konstruiert sind, ist es sicher, dass die Eingabe in jedem Schritt kleiner wird –Früher oder später wird die Prozedur ein atomares Datum konsumieren und terminieren 35

36 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Terminierung generativ rekursiver Prozeduren Dieses Merkmal gilt nicht für generativ rekursive Funktionen –Die interne Rekursion konsumiert nicht eine direkte Komponente der Eingabe, sondern irgendein neues Datum, das aus der Eingabe generiert wird Ein Rekursionsschritt kann potenziell immer wieder die ursprüngliche Eingabe generieren und somit die Evaluierung daran verhindern, jemals ein Ergebnis zu produzieren –Wir sagen, dass das Programm in eine endlose Schleife gerät 36

37 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Nicht terminierende Programme Was passiert, wenn wir die folgenden drei Ausdrücke ans Ende des Definition-Fensters von DrScheme setzen und dann auf execute klicken? Produziert der zweite Ausdruck jemals einen Wert, so dass der dritte Ausdruck evaluiert werden kann, um die Fl ä che verschwinden zu lassen? 37 (start WIDTH HEIGHT) (move-until-out (make-ball )) (stop)

38 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Nicht terminierende Programme 38 ;; less-or-equal: (list-of-numbers) number -> (list-of-numbers) (define (less-or-equal alon threshold) (cond [(empty? alon) empty] [else (if (<= (first alon) threshold) (cons (first alon) (less-or-equal alon threshold)) (less-or-equal (rest alon) threshold))])) statt (rest alon) (quick-sort (list 5)) = (append (quicksort (less-or-equal 5 (list 5))) (list 5) (quicksort (greater-than 5 (list 5)))) = (append (quicksort (list 5)) (list 5) (quicksort (greater-than 5 (list 5)))) Kleine Fehler bei der Prozessdefinition können Endlosschleifen hervorrufen: Quicksort terminiert nicht mit der neuen Funktion

39 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Terminierungsargument Das Terminierungsargument ist ein zusätzlicher Schritt im Designrezept für generativ rekursive Funktionen Das Argument erklärt: –warum der Prozess für jede Eingabe eine Ausgabe liefert –wie die Funktion diese Idee implementieren kann –wann der Prozess eventuell nicht terminieren würde 39

40 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Terminierungsargument für Quicksort 40 Bei jedem Schritt teilt quicksort die Liste mit less- or-equal und greater-than in zwei Teillisten. Jede dieser Funktionen liefert eine Liste, die kleiner als die Eingabeliste (zweites Argument) ist, sogar dann, wenn das Drehpunktelement (erstes Argument) ein Element der Liste ist. Somit verarbeitet jede rekursive Anwendung von quicksort eine Liste, die auf jeden Fall kürzer ist als die Eingabeliste. Letztendlich bekommt quick-sort eine leere Liste und liefert empty.

41 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 ;; quick-sort : (listof number) -> (listof number) (define (quick-sort alon) (cond [(empty? alon) empty] [(empty? (rest alon)) alon] [else (append (quick-sort (less-or-equal (rest alon) (first alon))) (list (first alon)) (quick-sort (greater-than alon (first alon)))) ])) Neue Terminierungs-Fälle Das Argument der Terminierung kann eventuell zusätzliche Terminierungs-Fälle aufdecken. Dieses Wissen kann dem Algorithmus hinzugefügt werden: 41 So liefert (less-or-equal N (list N)) und (greater-than N (list N)) immer empty

42 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Richtlinien für den Entwurf von generativen Prozeduren 42 PhaseZielWeg BeispieleDen Ein-/Ausgabe- Prozess und den Berechnungsvorgang mit Beispielen beschreiben Entwirf und zeige Beispiele trivial lösbarer Probleme Entwirf und zeige Beispiele, die rekursives Vorgehen erfordern Stelle dar, wie man die Beispiele durchgeht Rumpf (Body)Einen Algorithmus definieren Formuliere Tests für trivial lösbare Probleme Formuliere Antworten für die trivialen Fälle Zeige, wie man aus den gegebenen Problemen neue generiert Zeige, wie man die Lösungen dieser Probleme zu einer Gesamtlösung für das gegebene Problem kombiniert … TerminierungZeigen, dass der Algorithmus für alle möglichen Eingaben terminiert Zeige, dass die Eingaben für die rekursive Anwendung kleiner als die gegebene Eingabe sind

43 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Inhaltsverzeichnis Einführung in generativ rekursive Funktionen Sortieren mittels generativ rekursiver Prozeduren Richtlinien für den Entwurf von generativ rekursiven Prozeduren Strukturelle versus generative Rekursion Backtracking: Durchlaufen von Graphen 43

44 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Strukturelle Rekursion als Spezialfall der generativen Rekursion 44 (define (generative-recursive-fun problem) (cond [(trivially-solvable? problem) (determine-solution problem)] [else (combine-solutions problem (generative-recursive-fun (generate-problem problem)))])) (define (generative-recursive-fun problem) (cond [(empty? problem) (determine-solution problem)] [else (combine-solutions problem (generative-recursive-fun (rest problem)))])) Vorlage für generative Rekursion Vorlage für Listenverarbeitung trivially-solvable?empty? generate-problemrest

45 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Strukturelle vs. generative Rekursion Gibt es einen Unterschied zwischen struktureller und generativer Rekursion? –Strukturell rekursive Funktionen scheinen lediglich Spezialfälle generativer Rekursion zu sein –Aber: Diese alles ist gleich-Einstellung hilft beim Verständnis des Entwurfsprozesses nicht weiter Strukturell und generativ rekursive Funktionen werden mit jeweils anderen Ansätzen entworfen und haben unterschiedliche Konsequenzen 45 Strukturelle RekursionGenerative Rekursion Beruht auf systematischer Datenanalyse Setzt tiefen Einblick in den Problem- lösungsprozess voraus Führt zu naturgemäß terminierenden Funktionen Benötigt ein Terminierungs-Argument

46 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Größter gemeinsamer Teiler (GCD) (GCD = engl. greatest common denominator) Beispiele: –6 und 25 sind beides Zahlen mit mehreren Teilern: 6 ist ganzzahlig teilbar durch 1, 2, 3, und 6; 25 ist ganzzahlig teilbar durch 1, 5, und 25. Der größte gemeinsame Teiler von 25 und 6 ist 1. –18 und 24 haben viele gemeinsame Teiler: 18 ist ganzzahlig teilbar durch 1, 2, 3, 6, 9, 18; 24 ist ganzzahlig teilbar durch 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Der größte gemeinsame Teiler ist 6. 46

47 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 GCD auf Basis struktureller Rekursion 47 ;; gcd-structural : N[>= 1] N[>= 1] -> N ;; structural recursion using data definition of N[>= 1] (define (gcd-structural n m) (local ((define (first-divisor i) (cond [(= i 1) 1] [(and (= (remainder n i) 0) (= (remainder m i) 0)) i] [else (first-divisor (- i 1))] ) ) ) (first-divisor (min m n)))) Ineffizient bei großen Zahlen! Testet für jede Zahl, i = [min(n,m), …,1], ob sie n und m ganzzahlig teilt und liefert die erste solche Zahl.

48 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Analyse der strukturellen Rekursion gcd-structural testet blind jede natürliche Zahl kleiner als min(n,m), ob sie sowohl n als auch m ganzzahlig teilt und gibt die erste solche Zahl zurück –Diese Strategie funktioniert nur für kleine Zahlen gut Für die folgende Berechnung muss gcd-structural – 177 = Zahlen testen! (gcd-structural ) 177 –Selbst schnelle Rechner brauchen Minuten dafür Fügen Sie die Definition von gcd-structural in das Definition- Fenster ein und evaluieren Sie im Interaktions-Fenster folgenden Ausdruck … und gehen Sie dann eine Weile Kaffee trinken (time (gcd-structural )) 48

49 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Der Euklidische Algorithmus Der Euklidische Algorithmus zur Bestimmung der größten gemeinsamen Teiler (GCD) zweier ganzer Zahlen ist einer der ältesten bekannten Algorithmen, –Erscheint in Euklids Elementen ca. 300 v. Chr. –Der Algorithmus wurde aber wahrscheinlich nicht von Euklid entdeckt; es könnte sein, dass der Algorithmus bereits 200 Jahre früher bekannt war. 49 Erkenntnis: Für zwei natürliche Zahlen n und m, n>m, GCD(n, m) = GCD(m,rest(n/m)). (gcd larger smaller) = (gcd smaller (remainder larger smaller)) Beispiel: GCD(24, 18) = GCD(18, remainder(24/18)) = GCD(18, 6) = GCD(6,0) = 6

50 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 GCD: generativer Algorithmus clever-gcd basiert auf generativer Rekursion: –Der trivial lösbare Fall ist smaller = 0. –Der generative Schritt ruft clever-gcd mit smaller und (remainder larger smaller) auf 50 ;; gcd-generative : N[>= 1] N[>=1] -> N (define (gcd-generative n m) (local ((define (clever-gcd larger smaller) (cond [(= smaller 0) larger] [else (clever-gcd smaller (remainder larger smaller))])) ) (clever-gcd (max m n) (min m n)))) (gcd-generative ) nur 9 Iterationen!

51 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Der Euklidische Algorithmus 51 Sei n = qm + r, dann teilt jede Zahl u, welche n und m teilt ( n = su, m = tu ), auch r r = n – qm = su – qtu = (s – qt)u Jede Zahl v, die m und r teilt ( m = s'v, r = t'v ), teilt auch n n = qm + r = qs'v + t'v = (qs' + t')v Jeder gemeinsame Teiler von n und m ist auch ein gemeinsamer Teiler von m und r. gcd(n,m) = gcd(m,r) Es reicht aus, den Prozess mit m und r weiterzuführen Da der absolute Wert von r kleiner ist als m, werden wir r = 0 nach endlich vielen Schritten erreichen

52 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Was sollte man benutzen? Frage: Soll man daraus schließen, dass generative Rekursion besser ist als strukturelle Rekursion? Antwort: Nein, nicht automatisch. –Selbst eine gut entworfene generative Prozedur ist nicht immer schneller als die strukturelle Rekursion So gewinnt quicksort gegenüber insertion sort nur für große Listen –Strukturelle Rekursion ist einfacher zu entwerfen Generativ rekursive Prozeduren zu entwerfen erfordert oft fundierte mathematische Kenntnisse –Strukturelle Rekursion ist einfacher zu verstehen Es könnte schwierig sein, die Idee des generativen Schritts zu verinnerlichen. 52

53 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Was sollte man benutzen? 53 Beginne mit struktureller Rekursion. Wenn sie zu langsam ist, versuche generative Rekursion einzusetzen. Dokumentiere die Problemgeneration mit guten Beispielen, finde ein gutes Terminierungs-Argument.

54 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Inhaltsverzeichnis Einführung in generativ rekursive Funktionen Sortieren mittels generativ rekursiver Prozeduren Richtlinien für den Entwurf von generativ rekursiven Prozeduren Strukturelle versus generative Rekursion Backtracking: Durchlaufen von Graphen 54

55 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Graphen traversieren Ein Graph ist eine Sammlung von Knoten und Kanten. Die Kanten repräsentieren gerichtete Verbindungen zwischen den Knoten. Kann benutzt werden, um folgendes zu beschreiben: –Einen Plan von Einbahnstraßen in einer Stadt, –Beziehungen zwischen Personen, –Verbindungen im Internet, etc. 55 A B E C F D G (define Graph '((A (B E)) (B (E F)) (C (D)) (D ()) (E (C)) (F (D G)) (G ()))) Scheme – Listen Darstellung

56 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Graphen traversieren 56 ;; find-route : node node graph -> (listof node) ;; to create a path from origination to destination in G ;; false, if there is no path (define (find-route origination destination G)...) (find-route 'C 'D Graph) = (list 'C 'D) (find-route 'E 'D Graph) = (list 'E 'C 'D) (find-route 'C 'G Graph) = false A B E C F D G

57 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Backtracking-Algorithmen Ein Backtracking-Algorithmus folgt einer bestimmten Vorgehensweise: 1.Verfolge einen (möglichen) Lösungsweg, bis die Lösung gefunden wurde (Erfolg! terminiere) oder der Weg nicht fortgesetzt werden kann. 2.Wenn der Weg nicht fortgesetzt werden kann: gehe den Weg zurück bis zur letzten Verzweigungsmöglichkeit, wo es noch nicht gewählte Alternativen gibt, wähle dort eine noch nicht gewählte Alternative und mache weiter bei Schritt 1. 3.Wenn der Ausgangspunkt erreicht ist und es keine Alternativen mehr gibt: Misserfolg! terminiere Anwendungen: –N-Damen-Problem, Wege in Graphen finden 57

58 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Graphen traversieren - Beispiel Finde den Weg von Knoten A nach G ! 58 A B E C F D G BACKTRACK !

59 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Graphen traversieren Ist der Startknoten gleich dem Zielknoten, ist das Problem trivial; die Lösung lautet (list destination). Ansonsten: versuche einen Weg von allen Nachbarknoten des Startknotens aus zu finden 59 (define (find-route origination destination aGraph) (cond [(symbol=? origination destination) (list destination)] [else... (find-route/list (neighbors origination aGraph) destination aGraph)...]))

60 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Nachbarknoten neighbors ist der Funktion contains-doll? ähnlich 60 ;; neighbors : node graph -> (listof node) ;; to lookup the node in graph (define (neighbors node graph) (cond [(empty? graph) (error 'neighbors "can't happen")] [(symbol=? (first (first graph)) node) (second (first graph))] [else (neighbors node (rest graph))]))

61 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Graphen traversieren find-route/list –Verarbeitet eine Liste von Knoten –Ermittelt für jeden von ihnen, ob ein Weg zum Zielknoten in diesem Graphen existiert 61 ;; find-route/list : ;; (listof node) node graph -> (listof node) or false (define (find-route/list lo-orig dest aGraph)...) Das Ergebnis von find-route hängt vom find- route/list Ergebnis ab, das eins der folgenden sein kann : –Ein Weg von einem der Nachbarknoten zum Zielknoten –false, wenn kein Weg von einem der Nachbarn aus gefunden werden konnte

62 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Graphen traversieren 62 (define (find-route origination destination aGraph) (cond [(symbol=? origination destination) (list destination)] [else (local ((define possible-route (find-route/list (neighbors origination aGraph) destination aGraph))) (cond [(boolean? possible-route)...] [else (cons? possible-route)...]))]))

63 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Graphen traversieren 63 (define (find-route origination destination aGraph) (cond [(symbol=? origination destination) (list destination)] [else (local ((define possible-route (find-route/list (neighbors origination aGraph) destination aGraph))) (cond [(boolean? possible-route) false] [else (cons origination possible-route)]))]))

64 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Graphen traversieren - Beispiel Finde den Weg von Knoten A nach G ! 64 A B E C F D G Nachbarn von A

65 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Graphen traversieren 65 (define (find-route/list lo-Os dest aG) (cond [(empty? lo-Os) false] [else (local ((define possible-route (find-route (first lo-Os) dest aG))) (cond [(boolean? possible-route) (find-route/list (rest lo-Os) dest aG)] [else possible-route]) ) ]) ) A B E C F D G A B E C F D G

66 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Graphen traversieren 66 A B E C F D G (find-route 'B 'D Cyclic-graph) =... (find-route/list (list 'E 'F) 'D Cyclic-graph)... =... (find-route 'E 'D Cyclic-graph)... =... (find-route/list (list 'C 'F) 'D Cyclic-graph)... =... (find-route 'C 'D Cyclic-graph)... =... (find-route/list (list 'B 'D) 'D Cyclic-graph)... =... (find-route 'B 'D Cyclic-graph)... =... Die Funktion terminiert nicht in einem Graph mit einem Zyklus: B, E, C ist ein Zyklus

67 Dr. G. Rößling Prof. Dr. M. Mühlhäuser RBG / Telekooperation © Grundlagen der Informatik I: T6 Zusammenfassung Es gibt Probleme, die mit der strukturellen Rekursion nicht oder nicht optimal gelöst werden Generative Rekursion basiert auf dem Prinzip Teile und Herrsche Das Design Rezept muss für generativ rekursive Funktionen angepasst werden –Insbesondere muss ein Terminierungsargument mitgeliefert werden Strukturell rekursive Funktionen sind eine Teilmenge der generativ rekursiven Funktionen Falls beide Strategien möglich sind, muss die Auswahl fallbasiert getroffen werden –Man kann nicht sagen, eine Klasse ist besser als die andere 67


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