Deterministic Random Walks Tobias Friedrich Max-Planck-Institut für Informatik Saarbrücken Friedrich-Schiller-Universität Jena.

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1 Deterministic Random Walks Tobias Friedrich Max-Planck-Institut für Informatik Saarbrücken Friedrich-Schiller-Universität Jena

2 Tobias Friedrich Random Walk vs. Propp Machine Ein-Knoten-Diskrepanz Aggregating Model Übersicht = Theorie = Praxis/Anwendung

3 Tobias Friedrich R an d om W a lk au f Z 2

4 Zusätzlich Zeiger an jeder Position: Propp Machine

5 Tobias Friedrich Propp Machine

6 Tobias Friedrich Propp Machine Detailansicht : 1. 2. 3. 4. ( " ; ! ; # ; Ã ) Kreisförmige Rotor Sequence ( " ; ! ; # ; ( " ; ! ; ( " ;

7 Tobias Friedrich Propp Machine Detailansicht: 1. 2. 4. 3. ( " ; ! ; Ã ; # )( " ; ( " ; ! ; ( " ; ! ; Ã ; Nicht-Kreisförmige Rotor Sequence

8 Tobias Friedrich Fragestellung Wie gut beschreibt die Propp Machine einen Random Walk?

9 Tobias Friedrich Voraussetzung 1 Anfangskonfiguration hat Chips nur auf einer Parität

10 Tobias Friedrich (1,0) (0,1) (0,-1) (0,0)(-1,0) Angepaßtes Koordinatensystem Voraussetzung 2

11 Tobias Friedrich (1,1) (-1,1) (-1,-1) (1,-1) (0,0) Angepaßtes Koordinatensystem Voraussetzung 2

12 Tobias Friedrich Für feste Anfangskonfiguration Notation [ Rechnung siehe Tafel ] H ( x ; t ) : = WSK, d ass Ch i pvon x i n t zu f Ä a ll i gen S c h r i tt enam U rsprungan k omm t Weitere Notation

13 Tobias Friedrich Bekannte Ergebnisse Cooper und Spencer [1]: Cooper, Spencer, Doerr, Tardos [2]: max x 2 Z d max t ¸ 0 ¡ propp ( x ; t ) ¡ rw ( x ; t ) ¢ · c d max x 2 Z 1 max t ¸ 0 ¡ propp ( x ; t ) ¡ rw ( x ; t ) ¢ ¼ 2 : 29 [1]Joshua Cooper, Joel Spencer: Simulating a random walk with constant error. Zu erscheinen in Combinatorics, Probability and Computing [2]Joshua Cooper, Benjamin Doerr, Joel Spencer, Gábor Tardos: Deterministic random walks on the integers. Zu erscheinen in European Journal of Combinatorics

14 Tobias Friedrich Unser Ergebnis max x 2 Z 2 max t ¸ 0 j propp ( x ; t ) ¡ rw ( x ; t ) j A u fd emzwe i - d i mens i ona l en G i tt er Z 2 ¼ ( 7 : 83 f Ä ur k re i s f Ä orm i ge R o t or S equences 7 : 28 f Ä urn i c h t - k re i s f Ä orm i ge R. S.

15 Tobias Friedrich Intuition Propp Machine W i rwo ll en propp ( 0 ; t ) ¡ rw ( 0 ; t ) max i m i eren

16 Tobias Friedrich Intuition 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 2 1 4 1 4 1 2 1 4 1 2 1 2 Random WalkPropp Machine D aserg i b t propp ( 0 ; 2 ) ¡ rw ( 0 ; 2 ) = 4 ¡ 1 = 3.

17 Tobias Friedrich Ein einfaches Beispiel propp ( 0 ; t ) ¡ rw ( 0 ; t ) ¼ 6 : 68.

18 Tobias Friedrich Ein besseres Beispiel propp ( 0 ; t ) ¡ rw ( 0 ; t ) ¼ 7 : 77. f Ä ur ( % ; & ;. ; - ) nurer l au b t f a ll s - un d. i n R o t or S equence au f e i nan d er f o l gen d s i n d

19 Tobias Friedrich propp ( 0 ; t ) ¡ rw ( 0 ; t ) ¼ 7 : 22. Ein besseres Beispiel f Ä ur ( % ; - ; & ;. )

20 Tobias Friedrich Obere Schranke Satz: Diskrepanz kann nach oben abgeschätzt werden durch die Summe der worst-case Beiträge aller Positionen: j propp ( 0 ; t ) ¡ rw ( 0 ; t ) j · X x 2 Z 2 con ( x )

21 Tobias Friedrich Pfeil = Chip in diese Richtung geschickt zu bestimmter Zeit Pfeill ä nge = Beitrag dieses Chips Roter Pfeil = negativer Beitrag W ors t -case f Ä ur ( % ; - ;. ; & )

22 Tobias Friedrich Worst-case Konfigurationen K re i s f Ä orm i ge R o t or S equence ( % ; - ;. ; & ) N i c h t - k re i s f Ä orm i ge R o t or S eq. ( % ; - ; & ;. )

23 Tobias Friedrich 10 3 ¢ con ( x ) B e i t r Ä ageversc h i e d ener x K re i s f Ä orm i ge R o t or S equence ( % ; - ;. ; & ) N i c h t - k re i s f Ä orm i ge R o t or S eq. ( % ; - ; & ;. )

24 Beweise Berechne X k x k 1 > 800 con ( x ) · 0 : 16 Ob ere S c h ran k e X k x k 1 · 800 con ( x ) ¼ ( 7 : 83 f Ä ur k re i s f Ä orm i ge R. S. 7 : 28 f orn i c h t - k re i s f Ä orm i ge R. S.

25 Tobias Friedrich Untere Schranke Untere Schranke = obere Schranke !! Worst-case Konfigurationen sind konstruierbar

26 Tobias Friedrich Zusammenfassung Theorieteil Ergebnisse für die 2D Propp Machine: Diskrepanz 7.83/7.28 für kreisförmige/nicht- kreisförmige Rotor Sequences (scharf!) Erster Beweis, daß die Reihenfolge in der die Nachbarn bedient werden überhaupt einen Einfluß hat Genaue Charakterisierung der Worst-cases

27 Tobias Friedrich Offene Fragen Welche Graphen haben Propp-Eigenschaft ? Was ist mit durchschnittlicher Diskrepanz? Was passiert auf Intervallen von Zeit/Ort?...

28 Tobias Friedrich Aggregating Model Diffusion Limited Aggregation: Beschreibt Schneeflocken, Korallen, Blitze, Kristalle, Nebel, Rauch, …

29 Tobias Friedrich Aggregating Model Random Walk von 100 Chips:

30 Tobias Friedrich Aggregating Model Random Walk von 1600 Chips:

31 Tobias Friedrich Aggregating Model Random Walk von 25600 Chips:

32 Tobias Friedrich Aggregating Random Walk Differenz Inkreis/Umkreisradius mit hoher Wahrscheinlichkeit O(n 1/3 ) Experimentell anscheinend O(log n)

33 Tobias Friedrich Aggregating Propp Machine

34 Tobias Friedrich Aggregating Propp Machine Konvergiert gegen Kreis Experimentell anscheinend konstant(!!)

35 Tobias Friedrich Aggregating Propp Machine # Ã! " Danke! # Ã " ! # !Ã " # ! " Ã 0.92 1.61 #" Ã! 1.85 #" !Ã