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Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation II Vorlesung 5 SS 2000 Konstruktion der Voronoi-Diagramme I.

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Präsentation zum Thema: "Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation II Vorlesung 5 SS 2000 Konstruktion der Voronoi-Diagramme I."—  Präsentation transkript:

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2 Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation II Vorlesung 5 SS 2000 Konstruktion der Voronoi-Diagramme I

3 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 52 Übersicht I Voronoi Regionen (Wdhg.) Eigenschaften von Voronoi-Diagrammen (Wdhg.) Konstruktion des Voronoi-Diagramms Was ist das schwierigste Teilproblem? –Split –Rekursion I –Rekursion II –Merge Teilschritte von Divide and Conquer Split VD( P 2 ) VD( P 1 )

4 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 53 Übersicht II Merge Konstruktion des trennenden Kantenzuges Konvexe Hülle von P1 und P2 Konstruktion der Nord- und Südspitzen Vereinigung Löschen der überflüssigen Segmente Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P Datenstruktur für Voronoi-Diagramm Kosten Länge des Kantenzuges im Worst Case Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case O(n) * O(n) = O(n2) ? Investitionen müssen sich amortisieren

5 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 54 Voronoi Regionen (Wdhg.) beschränkte Voronoi Regionen unbeschränkte Voronoi Regionen Die konvexe Hülle ver- bindet die unbeschränkten Voronoi Regionen Jede Voroni-Region ist konvex!

6 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 55 Eigenschaften von Voronoi-Diagrammen (Wdhg.) Vereinfachende Annahme: aus der gegebenen Punktmenge liegen keine 4 Elemente auf einem gemeinsamen Kreis Jeder Voronoi-Knoten hat genau drei Kanten Das Voronoi-Diagramm von n Punkten hat höchstens 2n – 4 Knoten und 3n – 6 Kanten (linear!) Die Knoten mit unbeschränkten Regionen bilden die konvexe Hülle Der duale Graph, bei dem benachbarte Punkte miteinander verbunden werden, bildet eine Delaunay-Triangulation

7 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 56 Konstruktion des Voronoi-Diagramms Divide and Conquer 1.Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten 2.Split: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P 1 und P 2 3.Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von VD(P 1 ) und VD(P 2 ) 4.Merge: Verknüpfe VD(P 1 ) und VD(P 2 ) 5.Halt: Der Abschluß ist erreicht, wenn das Voronoi-Diagramm eines Punktes zu bilden ist, dies ist die ganze Ebene Wie oft ist dieser Zyklus zu durchlaufen?log n mal Die gewünschte Laufzeit O(n * log n) wird erreicht, wenn Split and Merge nicht mehr als O(n) Schritte benötigen, Was ist das schwierigste Teilproblem?

8 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 57 P1P1 P2P2 Was ist das schwierigste Teilproblem? - Split

9 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 58 Was ist das schwierigste Teilproblem? - Rekursion I

10 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 59 Was ist das schwierigste Teilproblem? - Rekursion II

11 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 510 Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge

12 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 511 Teilschritte von Divide and Conquer Input: Sortiere aufsteigend nach x-Koordinate Split: –Bestimme den Median –Zerlege in annähernd gleich große Teilmengen links und rechts des Medians Merge –Konstruktion des trennenden Kantenzuges –Abschneiden überflüssiger Kanten –Bildung der Voronoi-Regionen (wie bei Overlay-Algorithmus) –Einfachster Fall von Merge: die Teilmengen enthalten je einen Punkt der trennende Kantenzug ist die Mittelsenkrechte dieser Punkte

13 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 512 P1P1 P2P2 Split P

14 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 513 VD( P 2 )

15 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 514 VD( P 1 )

16 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 515 Merge

17 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 516 Konstruktion des trennenden Kantenzuges Was wissen wir über den trennenden Kantenzug? monoton in Nord-Süd-Richtung jede Kante ist Grenze (Mittelsenkrechte) zwischen einer roten und einer grünen Region Problem: sukzessive Identifikation der benachbarten roten und grünen Punkte die nördlichsten und südlichsten Teilstücke sind unbeschränkt, also Halbgeraden die benachbarten roten und grünen Punkte bilden dort unbeschränkte Voronoi-Regionen sie liegen also jeweils auf der roten bzw. grünen konvexen Hülle beginnen wir also mit den beiden (grünen und roten) Nordspitzen

18 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 517 max y min y max y Konvexe Hülle von P 1 und P 2

19 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 518 max y min y max y Konvexe Hülle von P 1 und P 2

20 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 519 Konstruktion der Nord- und Südspitzen die konvexe Hülle ist Abfallprodukt der Erzeugung des Voronoi-Diagramms synchrone Herleitung beider Strukturen die konvexe Hülle ergibt sich aus den Teilstrukturen durch Einfügen zweier zusätzlicher Kanten diese verbinden die roten und grünen Nord- und Südspitzen miteinander die neuen Spitzen ergeben sich aus den Minima/Maxima der alten rot-grünen Spitzen Datenstruktur wie bei Overlay (doppelt verkettete Kanten) zusätzlicher Aufwand: O(1)

21 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 520 Vereinigung Mittelsenkrechte bilden

22 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 521 Vereinigung

23 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 522 Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen

24 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 523 Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Neues aktives VD

25 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 524 Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Neues aktives VD Mittelsenkrechte zuwischen den aktiven VD

26 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 525 Vereinigung Schnittpunkte suchen

27 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 526 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

28 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 527 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

29 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 528 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

30 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 529 Vereinigung Schnittpunkte suchen

31 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 530 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

32 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 531 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

33 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 532 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

34 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 533 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

35 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 534 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

36 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 535 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

37 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 536 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

38 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 537 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

39 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 538 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

40 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 539 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

41 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 540 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

42 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 541 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Verknüpfung mit der Mittel- senkrechten vom Anfang

43 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 542 Vereinigung

44 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 543 Löschen der überflüssigen Segmente

45 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 544 Löschen der überflüssigen Segmente

46 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 545 Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P

47 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 546 Datenstruktur für Voronoi-Diagramm Doppelt verkettete Kantenliste Durchlaufen des Kantenumrings in linearer Zeit Direkter Zugriff auf die benachbarten Maschen

48 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 547 Kosten wie lange dauert die Konstruktion des trennenden Kantenzuges? Zahl der Teilkanten / Knoten des Kantenzuges Zahl Berechnungen von Schnittpunkten mit den benachbarten Voronoi-Regionen

49 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 548 O(n) Länge des Kantenzuges im Worst Case

50 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 549 Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case O(n)

51 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 550 O(n) * O(n) = O(n 2 ) ? Voronoi- Regionen sind konvex Kantenzug ist monoton war jetzt alles umsonst?

52 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 551 O(n) * O(n) = O(n 2 ) ? Voronoi- Regionen sind konvex Kantenzug ist monoton Keine Kante öfter als zwei mal anfassen!

53 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS Vorlesung 552 Investitionen müssen sich amortisieren Ziel: keine Kante mehr als zwei mal anfassen Es gibt insgesamt höchstens 3* n – 6 Kanten O(n) Konvexität der Voronoi-Regionen höchstens zwei Schnittpunkte mit der aktiven Halbgeraden Es genügt, die linken (grünen) Kantenumringe im Uhrzeigersinn und die rechten (roten) Kantenumringe gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen und den zuletzt gefundenen und verworfenen Schnittpunkt als Haltepunkt zu merken!


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